LTDH Chuyen de Tich phan

Trường hợp cả hai số m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc để bài toán đơn giản hơn.. 2..[r]

Chuyên đề: TÍCH PHÂN

I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp 1) ∫dx=x +c

2)

1 1

x

x dx c











∫

3) ∫1xdx=ln|x|+c

4) ∫cos x dx=sin x +c

5) ∫sin x dx=− cos x+ c

6) ∫cos12

x dx=tgx+c

7) ∫sin12x dx=− cot gx+c

8) ∫e x dx=e x+c

9) ∫a xdx= a

x

ln a+c

1)

ax+b¿α+1

¿

¿

(ax +b)dx=1

a¿

∫¿

2) ∫ax +b1 dx=1

aln|ax +b|+c

3)

∫cos (ax +b)dx=1

a sin(ax+b)+c

4)

∫sin(ax+b)dx=−1

a cos (ax +b)+c

5)

∫cos2(ax+ b)1 dx=

1

a tg(ax+ b)+ c

sin2(ax+b) dx=−

1

a cot g x+c

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

Dạng I :

b

a

f(x)dx

∫

Đặt x(t)với là hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn[ ; ]  và a ( );b ( )

Khi đĩ

b

f(x)dx f( (t)) '(t)dt

a



 Các bài tốn dạng I:

a) f(x) k2 x2

Đặt x ksint với t [ ; ]

2 2

 

 

Ví dụ 1 : Tính

1

2 0

4 x dx

∫

Ta đặt x 2sin t với t [ ; ]

2 2

 

 

x 2sin t dx 2 costdt

x 1 t

6













Vậy

2

2

0

4 x dx 4 cost costdt

1

4 cos tdt 2 [1 cos2t]dt 2(t sin2t)

2 3





 

1 f(x)





Đặt x ksin t với t ( ; )

2 2

 

 

Ví dụ 2 : Tính

1 2

2 0

1 dx

1 x

∫

Ta đặt x sin t với t ( ; )

2 2

 

 

x sin t dx costdt













Vậy

1

6 2

2

6

0

cost

cost

dt

6







∫

c) 2 2

1 f(x)



 Đặt x k tan t;t ( ; )

2 2

 

Ví dụ 3 : Tính

2 3 2 0

1 dx

x 4

∫

x 2 tan t với t ( ; )

2 2

 

 

x 2tan t dx 2 2 dt 2(1 tan t)dt

cos t

x 0 t 0

3







Vậy

3

0

1 dx 2(1 tan t)dt

  x 4      4(1 tan t)   

1 dt











∫

Dạng II :

b

a

f( (x)) '(x)dx 

∫

Đặt t(x) dt'(x)dxvới  (a); (b)và F(t) là 1 nguyên hàm của f(t)

Khi đó

(b) (b)

b

f( (x)) '(x)dx f(t)dt F(t)





Ví dụ 1 : Tính

1 2 0

2x 1 dx



 

∫

2

Ví dụ 2:

e

1

sin(lnx)dx x

∫

dx sin(ln x)d(ln x) cos(ln x)1 [cos(ln e) cos(ln1)] 1 cos1 x

B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I.Công thức tính tích phân từng phần:

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]

Thì

b

udv uv vdu

a∫  a a∫

du=u'(x)dx u=u(x)

v= v(x)dx=V(x)+C dv=v(x)







∫

Đặt

Ta chọn C = 0 suy ra

b v(x)dx V(x)

Ví dụ 1:

1 x

x.e dx

0∫

Tính

dv=e dx V=e



Đặt

π

2

0∫xcosxdx

Ví dụ 2:

Tính

Đặt

dv=cosxdx V=sinx



Ví dụ 3:

e

2xlnxdx

1∫

dx du=

u=lnx

dv=2xdx

V=x





x

Ví dụ 4:

Tính

1 2 xx e dx

0



∫

Đặt

u x

x

dv e dx















II Các dạng cơ bản: Dựa vào các ví dụ trên ,ta suy ra cách đặt như bảng sau Hàm số f(x) Đặt u(x) Đặt d(v(x))

P(x)sin(ax+b) P(x) Sin(ax+b)dx

P(x)cos(ax+b) P(x) Cos(ax+b)dx

P(x)ln(ax+b) Ln(ax+b) P(x)dx

P(x)eax+b P(x) eax+bdx

eax+bsin(a’x+b’) eax+b(hoặcsin(a’x+b’)) Sin(a’x+b)dx

eax+bcos(a’x+b’) eax+b(hoặc cos(a’x+b)) Cos(a’x+b’)dx

Dùng tích phân hai lần với u=eax+b

III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Tích phân dạng :

b a

P(x) dx Q(x)

∫

;P(x) và Q(x) là các đa thức

Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng thì ta phải chia P(x) cho Q(x).Ta xét trường hợp bậc của P(x) nhỏ hơn bậc Q(x)

Dạng 1: I =

dx (a,c 0) (ax b)(cx d)





∫



Xác định các số A;B sao cho :

(ax b)(cx d) ax b cx d     

Dạng 2: 2

P(x)dx (a 0) (x )(ax bx c)





∫

 Nếu  0 : Xác định các số A;B;C sao cho :

2

P(x)dx

x

 ; trong đó x ;x1 2là hai nghiệm của pt: 2

ax bxc = 0

 Nếu  0 : Xác định các số A;B;C sao cho

P(x)dx

x

(x x )



2

ax bxc = 0

 Nếu  0 : Xác định các số A;D;E sao cho :

P(x)dx

x



; đưa về các dạng

ta đã biết tính ở trên

Dạng 3: n

P(x)dx (a 0)

(ax b)





∫

  ;Xác định các số :A ;A ;A1 2 nsao cho:

P(x)

ax b

A



ta đặt t = ax + b để tính

P(x)dx (a;c 0) (ax b) (cx d)





∫

Xác định các số :A ;A ;A1 2 n;B ;B ;B1 2 msao cho:

P(x)

(cx d) (cx d)

(cx d)



Ví dụ 1: Tính tích phân sau :

1 2 0

1



∫

2

( 0)

Ví dụ 2: Tính tích phân sau :

1 2 0

dx I



 

∫

I

( 0)

(có dạng 2 2

1 f(x)



 )

Đặt

2

1

2

0

I

9



 

∫

Ví dụ 3: Tính tích phân sau :

0 x 8x 16

 ∫

2

2 0

0 x 8x 16

4 (x 4)

 ∫



∫

( 0)

Dùng đồng nhất thức

Ví dụ 4 : Tính tích phân sau :

2

3 2x 41x 91

2

2 (x 1)(x x 12)



2

3 2x 41x 91

2

2 (x 1)(x x 12)

∫

Ví dụ 5 : Tính tích phân sau :

1

0

4x 1





∫



Ví dụ 6 : Tính tích phân sau :

3

2

2

x 1

x (x 1)







∫







Ví dụ 7 : Tính tích phân sau :

5 3x 7

4 x 5x 6



 ∫

2



Ví dụ 8 : Tính tích phân sau :

1

3 0

x

(x 1)





∫

8

Ví dụ 9 : Tính tích phân sau

1

0

dx I

(x 3x 2)



∫

2

1 1 1 1

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

2

2 0

6 1

6

2 d 2

1

x 2x 2

(x x

x 1

b c

e f

x) g









6

1

dx h





MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1 Dạng ∫sinm xcosn xdx m n  , 

1.1 Trường hợp trong hai số m,n có ít nhất một số lẻ

* Nếu lũy thừa của cosx lẻ thì ta biến đổi u sinx

VD: ∫cos3xdx∫cos cos2x xdx∫ 1 sin 2 x d sinx∫ 1 u du2

* Nếu lũy thừa của sinx lẻ thì ta biến đổi ucosx

VD: ∫sin os3x c 2xdx∫sin os2x c 2xdcosx ∫ u21u du2

1.2 Trường hợp cả hai số m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc để bài toán đơn giản hơn

2 Dạng ∫{sinmx.cos ,sinnx mx.sinnx,cosmx.cos }nx dx: Sử dụng công thức biến tích thành tổng

3 Dạng

tan

os

m

n

x dx

c x

∫

3.1 Nếu lũy thừa của cosx là chẵn thì ta biến đổi u t anx

3.2 Nếu lũy thừa của tanx là lẻ thì ta biến đổi

1 cos

u

x



, chú ý 2

sinx '

os

u

c x



1

dx dx u u du

c x  c x c x  

dx dx u u du

c x  c x c x  

2

os

xdx x x dx u du u du

4 Dạng sin , cos

x x

e ax e bx

∫

Phương pháp: Tích phân từng phần 2 lần với

 1 sin

x

u e

dv ax

 





 2 cos

x

u e

dv ax

 





 sau đó thế (2) và (1) để tính tích phân đã cho