DE CHON HSG TOAN 9 5

Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhấtb. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn.[r]

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.

NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 Giải phương trình

a. x210x27 6 x x 4

b. 2011 x2  2006 x2 2

Câu 2 Cho đường thẳng (d) có phương trình:

m



  , với m tham số m 2.

a Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

b Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d)

là lớn nhất

Câu 3

a Cho B =

11 1122 225

1

     

; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5 Chứng minh B là số chính phương.

b Cho p là số nguyên tố; p 5 Chứng minh rằng nếu 2p 1 là số nguyên tố thì:

2

2p 1 là hợp số.

c Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên ( ; )x y thỏa mãn: x2 2 2 y2 2011

d Cho x y z ; ; 0 và x y z  1, chứng minh:

3 3 3

2 2 2 1

Câu 4 Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA,

PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M Qua M kẻ dây cung CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O) Hai tiếp tuyến của (O) tại C và

D cắt nhau ở Q Chứng minh:

a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO tại P.

Câu 5 Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy

không cắt (O) Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng

xy (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận)

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ

CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.

NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

1

a

x  x   x x , Điều kiện: x  4 6

HS biến đổi:

( 2 .5 25) 2 ( 5) 2 2

VT  x  x    x   , Dấu “=” xẩy ra khi x 5

2 2

VP  x x    x x   , Dấu “=” xẩy ra khi x 5

Vậy nghiệm: x 5 thỏa mãn điều kiện x  4 6

0,25

0,25 0,25

1,75

b

2011 x  2006 x 2, ĐK: 0x2 2006

Nhân 2 vế với : 2011 x2  2006 x2 0và biến đổi đưa về hệ PT:

2







Đối chiếu điều kiện:

32095 4

x 

thỏa mãn

0,25

0,5

0,25

2

a

(d) :

m



  ; với m tham số, m 1; 2 Gọi ( ; )x y0 0 là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có:

m



  , Với mọi m  my0 2y0 2x0 2mx02,m

0,5

0,5

1,75

b Nhận thấy (d) không đi qua O

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A

1

;0 1

m



Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B

2 0;

2

m



Ta có: AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên:

OH OA OB Hay

2 2

( 1)

4

A B

m m



0,25

0,25

HD CHẤM

(Gồm 3 trang)

2 2

5

OH

m

; Dấu “=” xẩy ra

6 5

x 

Xét m 1 y2; K/c từ O đến (d) bằng 2 5 Vậy ax

6 5

5

m

0,25

3

a

B =

2 11 1122 225 11 11.10 22 22.10 5

n



2

n

B



2

  vì (10n15) 3 Nên B là số chính phương

0,25

0,25

2,0 b

p là số nguyên tố; p 5nên plẻ và p không chia hết cho 3 p1chẵn (p 1) 2;

pchia cho 3 dư 1 hoặc 2

HS lập luận để chứng tỏ 2p 2 1 là hợp số

0,2 0,3

c

2 2 2 2 2011 2 2 2 2013

x   y   x  y   xlẻ, đặt x2k1;(k Z )thay vào ta có:

2y 4k 4k 2012 y 2k 2k1006 (1) ychẵn, y2 ; (t t z )

Thay x y; vào (1) và biến đổi: 2t2 k k( 1) 503 (2)

Xét thấy VT của (2) luôn chẵn; VP của (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích 2 số nguyên

liên tiếp) Vậy dấu “=” của (2) không thể xẩy ra Không tồn tại cặp số nguyên (x; y)

thỏa mãn: x2 2 2 y2 2011

0,25

0,25

d

x y  ; xét

3

2

y

Chứng minh tương tự:

3

2 3 2

y

3

2 3 2

z

x   Cộng vế theo vế ta có:

y z x            y z x  (Đpcm)

0,25 0,25

2,5 4

a

Gọi giao điểm của QO và CD là N HS áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại Q

để suy ra: CD QO tại N,  MNO vuông tại N

 OM>ON AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây )

0,5 0,5

b

HS áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: OAP, OQC có:

mà OA = OC nên OM OP = ON OQ

0,25 0,25

Từ c/m đã có: OM OP = ON OQ

(1) Xét MON và QOP có POQ chung và (1) MON đồng dạng QOP 

  900

ONM OPQ hay QP PO tại P

0,25

0,25 0,25

5

Vẽ hình cả 2 trường hợp:

+ At cắt xy

+ At // xy

0,25

2,0

Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O):

+ Nếu At cắt xy tại P: dựng phân giác của góc tạo bởi At và xy, Phân giác đó cắt OA

tại K Dựng (K; KA) là đường tròn cần dựng

+ Nếu At // xy: Dựng giao của OA với xy tại I, Dựng K là trung điểm của AI, dựng

(K; KA)

0,25 0,5

0,5 Biện luận: + Nếu OAxy bài toán có 1 nghiệm hình

+ Nếu OA không vuông góc xy thì At tạo với xy hai góc nên bài toán có 2 nghiệm

hình

0,25 0,25

Học sinh giải các cách khác phù hợp và đúng theo yêu cầu vẫn chấm điểm tối đa

N Q

D

M

A

B

O

P

C

t

y x

K K'

P O

A