Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB.. Chứng minh A'C vuông góc.[r]
Trang 1SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A, A1, B và D
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
x y
x (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình:
x
2 Tính tích phân:
2 0
3sin cos
dx
x c
Câu III ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', cạnh AB = AD = 2, AA' = 3,
góc BAD = 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB Chứng minh A'C vuông góc với mặt phẳng (B'D'MN) Tính thể tích khối chóp A'B'D'MN
Câu V (1,0 điểm ) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 2x22y2 xy1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 7(x4y4) 4 x y2 2
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Tìm m để đường thẳng (d): 2x my 1 2 0 cắt đường tròn (C): x2y2 2x4y 4 0 (có tâm I ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất Tính diện tích đó 2.Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M( 3; 1; -2 ), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + 3z - 4 = 0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: 2x - y + 5 = 0, d2: 3x + 6y - 1 = 0
và điểm M( 2;-1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với hai đường thẳng d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2
2.Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng :
n
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua
giao tuyến của hai mặt phẳng: 3x - y + z - 2 = 0 và x + 4y - 5 = 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng: 2x - z +7 = 0
(Lưu ý: Thí sinh thi khối D không phải làm câu V)
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh:
Trang 3SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT MINH KHAI
ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu
I.1
1,25
điểm
- Tập xác định
3
\ 2
D R
- Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên 2
1
x
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
2 v 2
0,5
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn và tiệm cận:
1 lim lim
2
tiệm cận ngang y =
1 2 ( 32) ( 32)
y
tiệm cận đứng x =
3 2
0,25
+ Bảng biến thiên
x
-
-3
2
y'
y
1
2 +
-
1 2
12
- Đồ thị: Giao với Ox tại ( -2; 0),
Giao với Oy tại (0;
2
3) -2 32 O x
Chú ý: Thí sinh có thể trình bày
theo chương trình cơ bản hoặc nâng cao
( ghi chú: Khối D cho 1,5 điểm )
0,5
Câu
I2
0,75
điểm
Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) là: M ( x0; y0) Ta có hệ số góc của tiếp
tuyến k = y'(x0) = 0 2
1 (2x 3)
Do tam giác OAB vuông cân tại O nên k = ± 1
0,25
1 (2x 3)
-Với x0 = -1 y0 = 1 PTTT: y = - (x + 1) + 1 y = -x ( loại vì qua O )
- Với x0= -2 y0 = 0 PTTT: y = - (x + 2) + 0 y = -x - 2
( ghi chú: Khối D cho 1 điểm )
0,25
y
2 3
Trang 4II 1
1đ
Ta có:
4sin 3 os2 1 2cos ( ) 2(1 cos ) 3 os2 1 1 os(2 )
2(1 cos ) 3 os2 2 sin 2 3 os2 sin 2 2cos
x
0, 25
os2 sin 2 cos os(2 ) os( )
7
k Z
0,5
Câu
II.2
1đ
3sin osx 2sin cos sinx 2cos s inx 2 cos
2
J
0,25
Đặt t = 2sinx + cosx, dt = (2cosx - sinx )dx
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 2
thì t = 2
Khi đó:J =
2 1
2
ln ln 2 1
dt
t t
0,5
Vậy : I = 2 ln 2
Câu
III
1đ
Đk:
1 1 2
x
y
0
x y
Với x 2 y 0 x4y
0,5
Thay vào PT (2) ta có PT:
4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 2 2 1 1
1
2 2 1 2 1
5
2 1 2
2
y y
0,25
Với y = 1/2 x = 2
Với y = 5/2 x = 10
0,25
a- Ta có: A'B'C' đều ( cạnh bằng 2 ) B'D'A'C' (1)
Lại có: AA' B'D' ( 2) Từ (1) và (2) B'D'(ACC'A') B'D' A'C (3)
Trang 5IV
1đ
0,5
-Giả sử A'C cắt O'J tại H ( hình vẽ ) H là giao điểm của A'C với mp(B'D'MN)
- Xét hình chữ nhật ACC'A' có A'C' =2AA' A'O'OA là hình vuông Từ đó chứng minh được A'I O'J hay A'C O'J ( 4)
Từ (3) và (4) A'C mp(B'D'MN) đpcm
b-Tứ giác B'D'MN là hình thang cân có đường cao là O'J Ta có: B'N = B B' 2BN2 2
Tính được O'J =
15 2
' '
( ' ' ) '
B D MN
S B D MN O J
(5)
0,5
A'O'I vuông tại O' có A'O' = 3, O'I =
3
2
Từ đó tính được
2 3 '
5
A H
'
( ghi chú: Khối D cho 1,5 điểm )
Câu
V
1đ
Ta có:
5
0,25
7( ) 10
xy
Đặt t = xy, t
2
[- ; ]
P=-5 3 4 t 2t 4
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
33 7 7
P=-4 t 2t4 trên đoạn
1 1 [- ; ]
5 3
0,25
Tìm được:
M P xy MinP xy
0,25
_
A'
_
_C _
B
D'
H
N
O'
I
O J
M
Trang 6Phần dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn.
Câu
VIa1
1đ
Ta có: Tâm I( 1; -2), bán kính R = 3 Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
2 2
2 1
2
m
m
0,25
A (d) B
I
S = dt IAB =
sin 3.3.sin
2IA IB AIB2
S lớn nhất khi sin 1 900
0,25
Lúc đó khoảng cách h từ I tới đường thẳng d là
2 3 2
AB R
0,25
Giải Pt : 2
4 max
2
m
m
Câu
VIa2
1đ
Gọi số cần tìm là: a a a a a a1 , , , , , 2 3 4 5 6 (a1 ≠ 0)
Theo đề ra ta có:
10 11
a a a
a a a
0,25
Trong mỗi tổ hợp: - Hoán vị ba chữ số đầu : có 3! Cách
- Hoán vị của ba chữ số cuối: có 3! Cách
Câu
VIIa
1đ
Gọi ( ) mặt phẳng cần lập , do ( ) //Ox và ( ) : x - 2y + 3z - 4 = 0 nên
[ , ] (0; 3; 2)
n i
n i n
n n
0,5
Vậy phương trình của mặt phẳng () là: 0( x - 3 ) - 3( y - 1 ) - 2( z + 2 ) = 0
3y + 2z + 1 = 0
0,5
Phần dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao
Trang 7VIb1
1đ
Pt đường các phân giác l1, l2 của góc tạo bởi d1và d2 là:
1
2
( ) : 3 9 16 0
( ) : 9 3 14 0
l x y
l x y
0,5
Đường thẳng (d) qua M tạo với d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao của d1, d2 khi và chỉ
khi hoặc (d) song song với (l1) hoặc (d) song song với (l2)
TH1: (d) // (l1), suy ra (d) có PT: 3(x-2)-9(y+1)=0 x-3y-5=0
TH2: (d) // (l2), suy ra (d) có PT: 9(x-2)+3(y+1)=0 3x+y-5=0
0,5
Câu
VIb2
1đ
Xét khai triển
0
n k
Lấy tích phân hai vế của (1) ta có:
Từ đó dẫn tới :
n
(Đpcm) 0,25
Câu
VIIb
1đ
Gọi () là mặt phẳng cần lập
Chọn M ( 1; 1; 0 ), N ( 5; 0; -13 ) là các điểm chung của hai mặt phẳng đã cho
mp: 2x - z + 7 = 0 có vtpt n (2;0; 1)
Ta có:
[ , ] (1; 22; 2)
n MN
n MN n
n n
0,5
Vậy phương trình mp() là: 1( x - 1 ) - 22( y - 1 ) + ( z - 0 ) = 0
x - 22y + z + 21 = 0 0,5
Chú ý : Mọi cách giải đúng đều cho điểm tương ứng.