Baøi 6 : Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñeàu caïnh a laø ………. Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp töù giaùc ñeàu caïnh a laø ………. Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp ngu[r]
Trang 1a c
C
B
A a
b' c'
b c
h H
B
C A
cạnh đối cạnh huyền
cạnh kề
C
b
a c
C
B
A
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC 9 HỌC KỲ II NĂM HỌC 11-12
A LÝ THUYẾT:
I Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac'
h2 = b'c ah = bc
a2 = b2 + c2 2 2 2
1 1 1
c b
h
II Tỉ số lượng giác của góc nhọn Sin = tan =
Cos = Cot =
0 < sin < 1; 0 < cos < 1
sin tan
cos
α α
α
cos cot
sin
α α
α
sin2 + cos2 = 1 tan.cot = 1
2
2
1
1 tan
cos
α
α
2
2
1
1 cot
sin
α
α
* Nếu hai góc và có + = 900 (phụ nhau) thì
sin = cos; cos = sin; tan = cot; cot = tan
III Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = asinB = acosC ; b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB ; c = btgC = bcotg B
IV Đường tròn.
1,Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi
là đường tròn tâm 0 bán kính R Kí hiệu : ( 0 ; R)
- Cách xác định:
+ Với 1 điểm cho trước và 1 khoảng cách làm bán kính ta chỉ vẽ được 1 đường tròn
+ Với 1 đoạn thẳng làm đường kính của đường tròn ta chỉ vẽ được 1 đường tròn
+ Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: Trong một đường tròn
+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây: Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
2, Vị trí tương đối:
Cạnh đối Cạnh huyền Cạnh kề Cạnh huyền
Cạnh đối Cạnh kề Cạnhkề Cạnh đối
Trang 2* Vị trí tương đối Của một điểm với một đường tròn :xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
* Vị trí tương đối Của một đường thẳng với một đường tròn :xét ( O ; R ) và
đường thẳng a bất kì (với d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa d và R
- Hai đường tròn cắt nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đường tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau
+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r OO' = 0
3 Tiếp tuyến của đường tròn :
a Định nghĩa : đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ có một
điểm chung với đường đó
b, Tính chất :
Trang 3x o
A
B
C
o
A B
C
B
o
A
C
E
o
A B D
C F M
B
o
A C
+ Tính chất 1(dấu hiệu nhận biết) : Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm (chứng minh đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung và đường thẳng vuông góc với bán kính qua điểm chung đó)
C/M: đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) thì ta cm:H (O) và H a; a vuông góc với OH
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau:MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB hay AMO=BMO
+ OM là phân giác của góc AOB hay AOM=BOM
c, Cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến:
Cách 1 : chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó
Cách 2 : Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính
Cách 3 chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của đường tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn
4 Góc trong đường tròn:
AOB sd AB
2 Góc nội tiếp
2
AMB sd AB
3 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung
1 2
xBA sd AB
4 Góc có đỉnh ở bên trong đường
2
AMB sd AB sdCD
5 Góc có đỉnh ở bên ngoài đường
1
2
AMB sd AB sdCD
Chú ý: Trong một đường tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa
số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
Trang 4O O D
A
B C
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
5, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
Đương tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc
* Cách 4 : chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
6 Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn
l
7 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn bán kính R : S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0:
2
360 2
R n lR
S
8 Các loại đường tròn
Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp
tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường
trung trực của 3 cạnh tam giác Tâm đường tròn nội tiếp là giao của ba
đường phân giác trong của tam giác
Đường tròn bàng tiếp
tam giác
Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của
hai đường phân giác các góc ngoài tại B hoặc C hoặc là giao
điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài
tại B (hoặc C)
9
Hình trụ, hình nón, hình cầu :
1.Hình trụ: 2.Hình nón: Sxq = rl Hình nón cụt:
Sxq = 2rh Stp = rl + r2 Sxq = (r r l1 2)
Stp = 2rh + 2r2 V =
2
1
3r h
2 2
1 2 1 2
1
3
V h r r r r
r
r
r1
Trang 5V = r2h
Bài tập PHẦN HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A; đường cao AH
a; Cho AH=16 cm; BH= 25 cm Tính AB ; AC ; BC ;CH
b; Cho AB =12m ; BH =6m Tính AH ; AC ; BC ; CH ?
Bài 2 : Tính các góc của ABC Biết AB = 3 cm ; BC =5 cm
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC tại A AH là đường cao ; BH = 4 cm ;
CH = 9 cm Tính AB ; AC ; AH ; Góc C và góc B
Bài 4: Cho ABC có AB= 6 cm ; AC = 4,5 cm ; BC = 7,5 cm C/m
ABC vuông ở A Tính góc B ; góc C ; đường cao AH của ABC
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết AB 6, AC 8 Tính tỷ số
lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C
PHẦN ĐƯỜNG TRÒN Bài 6: Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là ……….
Bán kính r đường tròn nội tiếp tứ giác đều cạnh a là ………
Bán kính r đường tròn nội tiếp ngũ giác đều cạnh a là ………
Bán kính r đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh a là ………
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là ………
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp tứ giác đều cạnh a là………
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều cạnh a là………
Bán kính R đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh a là………
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại B Một điểm M bất kỳ trên cạnh
BC, đường tròn đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia
BN tại điểm thứ hai D
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
Bài 8 : Cho (O;R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và
MA < MB Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại
điểm thứ hai N Trên tia đối của tia MN lấy điểm C Nối C với B cắt đường
tròn tại điểm thứ hai I Giao điểm của AI với MN là K
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh : CI CB = CK CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
Bài 9 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn đó (AC <
BC), D là mộ t điểm trên dây BC nhưng không trùng với B và C AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là E, BE cắt đường thẳng AC tại F
a) Chứng minh tứ giá c CDEF nội tiếp
b) Chứng minh CDF BAC
H 1
3 2 1
1 O
E
B
A
Hình bài 16
Trang 6
Bài 10 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đường tròn Qua A kẻ một cát tuyến d cắt
đường tròn tại điểm B và C (B nằm giữa A và C) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn tại M và N, gọi I là trung điểm của BC
a) Chứng minh : AM2 = AB AC
b) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp được
c) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E Chứng minh IE // MC
Bài 11 : Cho tam giác ADC (A 90o) Điểm B nằm giữa A và C (B ≠ A, B ≠ C) Đường tròn (O) đường kính BC giao CD tại M Tia AM giao với (O) tại
điểm thứ hai N.Kẻ NP vuông góc với AC (P (O))
a) Chứng minh CM CD = CB CA
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp
Bài 12: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, M là trung
điểm của AB Đươ øng thẳng đi qua M vuông góc với đường
chéo AC tại H cắt đường thẳng CD tại N
1/ Chứng minh tứ giác MBCH nội tiếp nội đường tròn và tính chu
vi đường tròn theo a
2/ Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh
AB Kẻ đường tròn tâm O đường kính MB cắt cạnh BC tại E Đường
thẳng CM cắt (O) tại N
1/ Chứng minh tứ giác ANBC nội tiếp
2/ Chứng minh tam giác MEB vuông cân
Bài 14: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp
tuyến Bx và lấy 2 điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC
và AD cắt Bx lần lượt tại E và F (F ở giữa B và E)
1/ Chứng minh: góc ABD bằng góc DFB
2/ CMR: Tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp
3/ CMR: AE AC = AD.AF
Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các
đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại
M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H và M đối xứng nhau qua BC
5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 16 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn
3 Chứng minh ED = 2
1
BC
Hình bài 16
/ /
y x
N C
D I
M
B O
A
H
( (
2
1
1 1 P
N
F
E
M
B
A
O
Hình bài 15
Trang 74 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
5 Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm
Bài 17 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D
Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N
1 Chứng minh AC + BD = CD
2 Chứng minh COD = 900
3.Chứng minh AC BD = 4
2
AB
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
5.Chứng minh MN AB
Bài 18 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d
với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát
tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp
điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB là hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
PHẦN HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN, HÌNH CẦU
Bài 13: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm
a Tính Sxq của hình nón b Tính V của hình nón
Bài 14: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm
a Tính Sxq của hình nón cụt b Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt đó
Câu 15: Một hình trụ có chiều cao bằng 16cm , bán kính đáy bằng 12cm Tính diện tích toàn phần, thể
tích của hình trụ?
Câu 16: Một hình cầu có bán kính bằng 5cm Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu ?
/ /
y x
N C
D I
M
B O
A
Hình bài 17
d
H I
K
N P
M
D
C
B
A
O
Hình bài 18