bpt va he bpt bac hai

[r]

bÊt ph ¬ng tr×nh vµ

hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai

«n tËp ch ¬ng IV

PhÇn 1: Ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn

PhÇn 2: HÖ ph ¬ng tr×nh bËc hai hai Èn

PhÇn 3: BÊt ph ¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn PhÇn 4: Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh qui vÒ bËc hai

§Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai

Cho tam thøc : f(x) = ax + bx + c (a  0)

vµ b2 - 4ac

§Þnh lÝ.

NÕu th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, víi mäi sè thùc x NÕu th× f(x) cïng dÊu víi a víi mäi x  - /

NÕu th× f(x) cã hai nghiÖm x vµ x vµ gi¶ sö x < x ThÕ th× f(x) cïng dÊu víi a víi mäi x ngoµi ®o¹n  x ; x 

(tøc lµ x < x hay x > x ) vµ f(x) tr¸i dÊu víi a khi x ë trong

kho¶ng hai nghiÖm ( tøc lµ x < x < x ) .

VÝ dô ¸p dông:

Gi¶i c¸c bÊt ph ¬ng tr×nh sau:

a)3x2 + 7x - 6 < 0

b) -x2 + 6x + 16  0

c) 9x2 + 6x +19 > 0

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a 0),  R

af() < 0

* f(x) có hai nghiệm phân biệt x, x (x < x)

1) Định lí.

* x <  < x.

Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

2) Hệ quả 1.Ph ơng trình bậc hai f(x) = ax + bx + c = 0 (a  0) có hai

nghiệm phân biệt x , x (x < x)

3) Hệ quả 2.

Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a  0) Và hai số  (<.

Ph ơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm,

một nghiệm  (, nghiệm kia

nằm ngoài đoạn []  f().f() < 0 (1)

af( ) < 0

 số  :

*) Ví dụ áp dụng

Cho tam thức bậc hai

f(x) = ( m2 +1)x2 - ( m4 + m2 + 1 )x + m4 - m2 - 1

Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt  m

Bài giải

Ta có f(1) = m2 + 1 - m4 - m2 + 1 + m4 - m2 - 1 = - ( m2 + 1)

Do đó a.f(1) = - ( m2 + 1)< 02  m

Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt  m

So s¸nh mét sè  víi c¸c nghiÖm cña

tam thøc bËc hai

TÝnh af()

f(x) cã 2 nghiÖm

x1<  < x2

= 0

f(x)

-TÝnh  (’)

+

f(x) v« nghiÖm

-+

= 0

f(x) cã 2 nghiÖm

 < x1 < x2

-f(x) cã 2 nghiÖm

x1<x2< 

+

Bài 8 Trang 129

So sánh số -3 với các nghiệm của ph ơng trình:

(m2 +1)x2 - 2(m+ 2)x -2 = 0

Bài giải:

Ta có: f(-3) = 9(m2 + 1) + 6(m+2) -2 = 9m2 + 6m +19 > 0  m

af(-3) = (m2 + 1)( 9m2 + 6m +19) > 0  m

’ = (m+2)2 + 2(m2 +1) = 3m2 + 4m + 6 > 0  m

m+2

m2+1 +3

= 3m2+m+5

m2+1 > 0  m.

Do đó ph ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

- (-3) =

S

2

Bài 9 Trang 129

Cho ph ơng trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

a) Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 c) Ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]

Bài giải:

a)Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu  ac < 0

 (m+1)(2m-12) < 0

 -1 < m < 6

Bài 9 Trang 129

Cho ph ơng trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1

Bài giải:

b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x1 < x2)



af(1) > 0

’ > 0 

(m+1)(5m - 15) > 0

-m2+6m+16 > 0 1- 2m

> 0



m < -1

m > 3 -2 < m < 8 -1 < m < 1/2 S

2 - 1 > 0

Bài 9 Trang 129

Cho ph ơng trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

c) ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]



m + 1  0

(m-7)(5m-15) < 0

m  -1

3 < m < 7

Bài giải:

ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] a  0

f(-1)f(1) < 0

3 < m < 7