bất và hệ bất bậc hai

bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai... ôn tập chương IVPhần 1: Phương trình bậc hai một ẩn Phần 2: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn Phần 3: Bất phương trình và hệ bất phương tr

bất phương trình và

hệ bất phương trình bậc hai

ôn tập chương IV

Phần 1: Phương trình bậc hai một ẩn

Phần 2: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Phần 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Phần 4: Phương trình và bất phương trình qui về bậc hai

§Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai

Cho tam thøc : f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0)

vµ ∆ = b2 - 4ac

§Þnh lÝ.

NÕu ∆ < 0 th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a, víi mäi sè thùc x NÕu ∆ = 0 th× f(x) cïng dÊu víi a víi mäi x ≠ - /

NÕu ∆ > 0 th× f(x) cã hai nghiÖm x vµ x vµ gi¶ sö x < x ThÕ th× f(x) cïng dÊu víi a víi mäi x ngoµi ®o¹n [ x ; x ]

(tøc lµ x < x hay x > x ) vµ f(x) tr¸i dÊu víi a khi x ë trong kho¶ng hai nghiÖm ( tøc lµ x < x < x ) .

Ví dụ áp dụng:

Giải các bất phương trình sau: a)3x2 + 7x - 6 < 0

b) -x2 + 6x + 16 ≥ 0

c) 9x2 + 6x +19 > 0

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a≠ 0), ∝∈ R

af(∝) < 0

* f(x) có hai nghiệm phân biệt x, x (x < x)

1) Định lí.

* x < ∝ < x.

Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

2) Hệ quả 1 Phương trình bậc hai f(x) = ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai

nghiệm phân biệt x , x (x < x)

3) Hệ quả 2.

Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Và hai số α, β (α < β)

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,

một nghiệm ∈ (α, β), nghiệm kia

nằm ngoài đoạn [α, β] ⇔ f(α).f(β) < 0 (1)

af(α ) < 0

⇔ ∃số α :

*) Ví dụ áp dụng

Cho tam thức bậc hai

f(x) = ( m2 +1)x2 - ( m4 + m2 + 1 )x + m4 - m2 - 1

Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m Bài giải

Ta có f(1) = m2 + 1 - m4 - m2 + 1 + m4 - m2 - 1 = - ( m2 + 1)

Do đó a.f(1) = - ( m2 + 1)< 02 ∀ m

Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai

phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m

So s¸nh mét sè α víi c¸c nghiÖm cña

tam thøc bËc hai

f(x) cã 2 nghiÖm

x1< α < x2

= 0

f(x)

-TÝnh ∆ ( ∆ ’)

+

f(x) v« nghiÖm

-+

= 0

< x1 < x2

-f(x) cã 2 nghiÖm

x1<x2< α

+

Bài 8 Trang 129

So sánh số -3 với các nghiệm của phương trình:

(m2 +1)x2 - 2(m+ 2)x -2 = 0

Bài giải:

Ta có: f(-3) = 9(m2 + 1) + 6(m+2) -2 = 9m2 + 6m +19 > 0 ∀ m

af(-3) = (m2 + 1)( 9m2 + 6m +19) > 0 ∀ m

∆’ = (m+2)2 + 2(m2 +1) = 3m2 + 4m + 6 > 0 ∀ m

m+2

m2+1 +3 =

3m2+m+5

m2+1 > 0 ∀ m

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

- (-3) =

S

2

Bài 9 Trang 129

Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 c) Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]

Bài giải:

a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0

⇔ (m+1)(2m-12) < 0

⇔ -1 < m < 6

Bài 9 Trang 129

Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1

Bài giải:

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x1 < x2)

⇔

af(1) > 0

∆’ > 0 ⇔

(m+1)(5m - 15) > 0

-m2+6m+16 > 0 1- 2m > 0

⇔

m < -1

m > 3 -2 < m < 8 -1 < m < 1/2 S

2 - 1 > 0

Bài 9 Trang 129

Cho phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0

Xác định m để :

c) phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]

⇔ m + 1 ≠ 0

(m-7)(5m-15) < 0

m ≠ -1

3 < m < 7

Bài giải:

phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)

còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] a ≠ 0

⇔ f(-1)f(1) < 0

3 < m < 7