Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
…… ….***…………
NGÔ THỊ KIM QUY
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP BỐN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2017
Trang 2Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 1: …
Phản biện 2: …
Phản biện 3: …
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ’, ngày … tháng … năm 201…
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trang 3MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của luận án
Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác được mô tả bởi các phương trình và hệ phương trình vi phân với các điều kiện biên khác nhau
Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình
vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạo hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không đầy đủ
Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học như Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhà toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, cũng nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân
Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán học của nhiều bài toán trong cơ học Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn
Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trình
vi phân phi tuyến cấp bốn dạng
u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)) (0.0.2)
hoặc
u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x)) (0.0.3) trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L Các điều kiện biên tại hai đầu của dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán Đã có một số kết quả nghiên cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên như
sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm Đáng chú ý phải kể đến các bài báo của Alves và cộng sự (2009), Amster và cộng sự (2008), Bai (2004), Li (2010), Ma và cộng sự (1997), , ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng Trong các bài
1
Trang 4báo này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f (x, u, v) hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được
Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn không chứa đạo hàm cấp ba Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình
u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)) (0.0.6) thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Li và cộng sự (2013), Li (2016), Minhós và cộng sự (2009), Pei
và cộng sự (2011), ) Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm Các công cụ được sử dụng là lý thuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei và cộng sự (2011)), định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên (xem Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós
và cộng sự (2009)) hoặc giải tích Fourier (xem Li và Liang (2013))
Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiết rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện Nagumo và một
số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng Cần lưu ý rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng
Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn Kang và cộng sự (2012), L¨u và cộng sự (2005), Zhu và cộng sự (2010), trong đó các tác giả xét phương trình vi phân chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn Với các điều kiện phức tạp, bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trên nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương Tuy nhiên, các kết quả đạt được là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm
Minhós và Coxe (2017, 2018) là các tác giả đầu tiên xét hệ hai phương trình
vi phân cấp bốn đầy đủ Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của hệ bằng việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm bất động Schauder Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, đòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h
Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên cứu định tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học, luôn đặt ra các bài bài toán mới phức tạp trong phương trình cũng như các điều kiện biên Các bài toán này
có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực tiễn Hơn nữa, trong các bài báo
kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều kiện Nagumo và điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải Với phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng Mặt khác, một số bài báo chưa
có ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên cứu cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và hệ
Trang 5khoa học và thực tiễn.
Đó là lý do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn"
2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không dùng đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo của hàm vế phải
3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán
tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất
và một số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán đối với phương trình và
hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ
Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp
Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán
4 Kết quả đạt được của luận án
Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải Các kết quả đạt được là:
• Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra
• Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ cấp số nhân
•Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các định lý của họ
• Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp lặp Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [1]-[6] trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án
3
Trang 65 Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm bất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương trình vi phân Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3
Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, chúng tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất của nghiệm đối với một
số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp Một số ví dụ, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng được đưa ra đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ, chúng tôi cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp Các kết quả này làm phong phú thêm và khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM
Trang 7Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu Ladde (1985), Melnikov và cộng sự (2012), Samarskii và cộng sự (1989), Zeidler (1986)
Trong mục này, chúng tôi trình bày ba định lý điểm bất động có ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân: Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder
với phương trình vi phân
Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình vi phân
là phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm
Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tương ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution) của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện
α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ≤ αk ≤ ≤ u ≤ u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β
Trong trường hợp u = u, bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếu khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên
5
Trang 81.3 Hàm Green đối với một số bài toán
Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trị biên Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán
Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất
L[y(x)] ≡ p0(x)d
ny
dxn + p1(x)d
n−1y
dxn−1 + + pn(x)y = 0, (1.3.1)
Mi(y(a), y(b)) ≡
n−1
X
k=0
αikd
ky(a)
dxk + βkid
ky(b)
dxk
= 0, i = 1, n, (1.3.2)
trong đó pi(x), i = 0, n là các hàm liên tục trên (a, b), p0(x) 6= 0 với mọi điểm thuộc (a, b)
Định nghĩa 1.4 (Melnikov và cộng sự (2012)) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bài toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) nếu xem như hàm của biến x, nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây với mọi t ∈ (a, b) :
(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n
và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:
L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b)
(ii) G(x, t) phải thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.3.2), tức là
Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, , n
(iii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp (n − 2) là các hàm liên tục
lim
x→t +
∂kG(x, t)
∂xk − lim
x→t −
∂kG(x, t)
∂xk = 0, k = 0, , n − 2
(iv) Đạo hàm riêng cấp (n − 1) theo biến x của G(x, t) là gián đoạn khi x = t,
cụ thể
lim
x→t +
∂n−1G(x, t)
∂xn−1 − lim
x→t −
∂n−1G(x, t)
p0(t).
Định lý sau chỉ ra điều kiện về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green
Định lý 1.6 (Melnikov và cộng sự (2012)) (Tồn tại và duy nhất) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất trong (1.3.1)-(1.3.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại duy nhất hàm Green tương ứng với bài toán
Xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
L[y(x)] ≡ p (x)d
ny + p (x)d
n−1y + + p (x)y = −f (x), (1.3.3)
Trang 9với các điều kiện biên thuần nhất
Mi(y(a), y(b)) ≡
n−1
X
k=0
αikd
ky(a)
dxk + βkid
ky(b)
dxk
= 0, i = 1, n (1.3.4)
trong đó các hệ số pj(x) và các hàm vế phải f (x) trong phương trình (1.3.3) là các hàm liên tục, vớip0(x) 6= 0 trên (a, b)và Mi biểu diễn các dạng độc lập tuyến tính với các hệ số hằng
Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3)-(1.3.4) với bài toán thuần nhất tương ứng
Định lý 1.7 (Melnikov và cộng sự (2012)) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với (1.3.3)-(1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3)-(1.3.4)
có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng
y(x) =
Z b a
G(x, t)f (t)dt,
trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng
Để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân, người ta chỉ có thể tìm được nghiệm giải tích của chúng trong một số rất ít các trường hợp đặc biệt còn đại đa số các trường hợp buộc phải sử dụng phương pháp giải gần đúng Phương pháp sai phân là một trong những phương pháp số giải gần đúng phương trình
vi phân Ý tưởng chung của các phương pháp sai phân là đưa bài toán vi phân
về bài toán rời rạc trên một lưới điểm dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Bài toán giá trị biên đối với các phương trình vi phân cấp hai, bằng phương pháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận hệ số dạng ba đường chéo Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu giải hệ này là phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phương pháp khử) Trong mục 1.4 chúng tôi trình bày chi tiết phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (xem Samarskii
và cộng sự (1989))
7
Trang 10Chương 2
Phương pháp lặp giải bài toán biên
đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn
Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong những năm gần đây Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder (Pei và Chang (2011)), định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên, chẳng hạn, Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós và cộng
sự (2009) hoặc giải tích Fourier (Li và Liang (2013)) Trong các bài báo này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng
là không thể thiếu được Trong các bài báo nêu trên, các tác giả đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với ẩn hàm u(x) Khác với cách tiếp cận đó, trong các bài báo [1]-[4], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải ϕ(x) = f (x, u(x), v(x), ) Ý tưởng này bắt nguồn
từ một bài báo trước đây của tác giả Đặng Quang Á (2006) khi nghiên cứu bài toán Neumann đối với phương trình kiểu song điều hòa Xét trong miền bị chặn thích hợp, chúng tôi không dùng đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo của hàm vế phải Khi đó, toán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bị chặn là toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, bài toán ban đầu có duy nhất nghiệm và đảm bảo sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra Một số ví dụ, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết được đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được
Các kết quả của chương này được trình bày trong các bài báo [1]-[4] trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án Cần nói thêm rằng, trong bài báo của tác giả Đặng quang Á và Trương Hà Hải (2016) đã phát triển phương pháp trên với phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến