Một số tính chất của g hàm cơ sở yếu

đã thu được nhiều kết quả về tính khả mêtric của không gian mêtric suy rộng bằng cách sử dụng các tính chất của g-hàm cơ sở yếu.. Với mong muốn trình bày và chứng minh chi tiết lại một s

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA g-HÀM CƠ SỞ YẾU

Đà Nẵng, 05/2016

Người hướng dẫn : T.S LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Người thực hiện : HỒ THỊ TRANG

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô 4

1.2 13

1.3 16

1.4 Không gian con 18

1.5 Không gian compắc, không gian 19

1.6 21

1.7 23

CHƯƠNG 2 27

2.1 - - 27

2.2 Một số định lí khả mêtric nhờ tính chất của -hàm cơ sở yếu 30

38

39

đỡ để em hoàn thành tốt bài Báo cáo khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

đã thu được nhiều kết quả về tính khả mêtric của không gian mêtric suy rộng bằng cách sử dụng các tính chất của g-hàm cơ sở yếu

Với mong muốn trình bày và chứng minh chi tiết lại một số kết quả liên quan đến tính khả mêtric của không gian tôpô bằng cách sử dụng g-hàm cơ sở yếu, chúng tôi đã chọn đề tài “Một số tính chất của g-hàm cơ sở yếu”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong bản trình bày, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề trong lí thuyết trong không gian mêtric suy rộng với mục đích chứng minh chi tiết một số định lí về mêtric hóa của không gian tôpô nhờ sử dụng các tính chất của g-hàm

3 Đối tượng nghiên cứu

Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g-hàm, g-hàm cơ sở yếu

4 Phương pháp nghiên cứu

a) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức

b) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lí thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo cho những ai đang quan tâm nghiên cứu bài toán về tính khả mêtric của không gian tôpô bằng cách sử dụng các tính chất g-hàm, g-hàm cơ sở yếu

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn còn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo

Chương 1 Chương này hệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản về không gian tôpô và không gian mêtric để thuận tiện cho việc chứng minh các kết quả ở Chương 2

Chương 2 Trình bày các khái niệm và tính chất của cơ sở yếu, g-hàm, g-hàm

cơ sở yếu đồng thời hệ thống lại cũng như chứng minh chi tiết một số định lí khả mêtric thông qua các tính chất của g-hàm cơ sở yếu

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tôpô

1.1.1 Định nghĩa Giả sử là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con nào đó của

X thỏa mãn các điều kiện sau

(1) τ được gọi là một tôpô trên X

(2) không gian tôpô

5

∈ U, nếu ∈ τ, thì ∈ V ⊂ U Vì vậy,

∈ U, Suy ra, sao cho

Bởi vì

(1) đƣợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại sao cho

(2) đƣợc gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại sao cho

(3) đƣợc gọi là điểm biên của A nếu đồng thời không là điểm trong và

không là điểm ngoài của A, nghĩa là với mọi lân cận mở U của x ta có

(4) đƣợc gọi là điểm tụ (điểm giới hạn) của A nếu với mọi lân cận của ta

đều có

(5) đƣợc gọi là điểm cô lập của X nếu nó không là điểm tụ của X

1.1.8 Giả sử A là tập hợp con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó,

(1) Tập tất cả các điểm trong của A đƣợc gọi là phần trong của A và ký hiệu

là IntA

{ mở và Mặt khác, vì nên

{ mở và Như vậy,

IntA { mở và (a) Tiếp theo, giả sử { mở và Khi đó, tồn tại sao cho Suy ra x là điểm trong của A hay IntA Do đó,

{ mở và IntA (b)

Từ (a) và (b) ta suy ra IntA { mở và }

(2) Làm tương tự (1)

(8) ∂A = ∂(X\A)

minh (1) Ta có

IntA ∪ ∂A ∪ ExtA X

Mặt khác, với mọi thì hoặc IntA, hoặc A, hoặc ExtA Suy

ra IntA ∪ ∂A ∪ ExtA Do đó,

X IntA ∪ ∂A ∪ ExtA

Nhƣ vậy, X = IntA ∪ ∂A ∪ ExtA

(2) Với mọi ExtA, hay

Do đó, Suy ra với mọi

nên Suy ra Vì vậy,

(3) (i) Với mọi , vì tồn tại sao cho

Suy ra với mọi , tồn tại sao cho Do đó,

Do vậy, (ii) Với mọi , , hay

ẫn đến tồn tại sao cho

Suy ra với mọi tồn tại sao cho

Do đó, Suy ra Làm t , nếu

l thì Khi đó, tồn tại

Hơn nữa, bởi vì Suy ra tồn tại

Dẫn đến hay Nhƣ v , (7) Bởi v nên ta có Do đó,

10

Mặt khác, vì và nên Hơn nữa, vì

Suy ra là điểm biên của Nhƣ vậy,

1.1.11 Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ) Khi đó, giao

của tất cả các tập con đóng trong X chứa A đƣợc gọi là bao đóng của A

11

đóng,

= đóng, = đóng,

Vì v

(2) Ta có Hơn nữa,

v Suy ra

đóng, Dẫn đến

đóng chứa Hơn nữa, vì nên Vì v ,

(3) Thật vậy, v

với mọi , hoặc , hoặc Dẫn đến

Bởi vì nên Do v ,

(4) (i) Thật vậy, vì nên Suy ra

Mặt khác, vì nên là tập nên

Nhƣ v ,

Điều này m Vì vậy,

Khi đó, ta cần suy ra là tập Bây giờ, nếu ta đ

thì Lại vì

nên Điều này m Do vậy, khẳng định đã đƣợc chứng minh

13

1.2.1 Giả sử (X, τ) là một không gian tôpô

với mọi với mọi , tồn tại sao cho

1.2.2 Nhận xét Giả sử (X, τ) là không gian tôpô và ⊂ τ Khi đó,

(1) Nếu là cơ sở của τ, thì mỗi phần tử của là một tập hợp mở trong X, nhƣng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc

(2) là cơ sở của không gian tôpô (X,τ) khi và chỉ

14

một tập mở hay Hơn nữa, vì là một cơ sở của không gian tôpô (X, τ) nên với mọi , tồn tại sao cho

(2) tôpô (X, τ) nên với mọi với mọi

sao cho

1.2.3

sao cho

sở lân cận tại x nên nếu gọi , thì Do đó, theo Định nghĩa 1.2.3, tồn tại sao cho

Mặt khác, vì là cơ sở lân cận tại x nên theo Định nghĩa 1.2.3 ta suy ra với mọi

(2) Gọi Bây giờ, giả sử với mọi

Ta chứng minh tồn tại sao cho Thật vậy, vì nên V mở, kéo theo V là lân cận của mọi điểm thuộc nó Do đó, V là lân cận của x Suy ra Hơn nữa, vì nên tồn tại sao cho

15

(3) Gọi Bởi vì nên U, V là các tập

mở kéo theo cũng là tập mở Do đó, là lân cận của mọi điểm thuộc nó Hơn nữa, vì nên Suy ra là lân cận của x, dẫn đến

Lại vì nên tồn tại sao cho

1.2.4 Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(1) X đƣợc gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi

điểm của X có một cơ sở lân cận đếm đƣợc

(2) X đƣợc gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu có

một cơ sở tôpô đếm đƣợc

1.2.5 N Nếu X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm đƣợc thứ hai, thì nó là không gian thỏa mãn tiên đề đếm đƣợc thứ nhất Tuy nhiên, chiều ngƣợc lại không đúng

(3) Lấy Khi đó, U là lân cận của x Do đó, tồn tại sao cho

Lại vì là cơ sở của nên tồn tại sao cho Do đó, tồn tại sao cho

Lúc này, Do v ,

16

1.2.8 Định nghĩa Giả sử là một dãy trong không gian tôpô X Ta nói rằng

là dãy hội tụ đến trong X nếu với mọi lân cận U của , tồn tại

sao cho

1.3

1.3.1 Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(1) X đƣợc gọi là T 1 - không gian nếu với mọi

sao cho

(2) X đƣợc gọi là T 2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi

, tồn tại các lân cận U sao cho U ∩ V = ∅

(3) X đƣợc gọi là không gian chính quy nếu với mọi tập hợp đóng F ⊂ X và

với mọi , tồn tại các lân cận U của và V của F sao cho U ∩ V = ∅

(4) X đƣợc gọi là T 3 - không gian nếu nó là T1- không gian và chính quy

(5) X đƣợc gọi là không gian chuẩn tắc nếu với E, F là các tập con đóng

trong X sao cho E ∩ F = ∅, tồn tại các lân cận U của E và V của F sao cho

U ∩ V = ∅

(6) X đƣợc gọi là T 4 - không gian nếu nó là T1- không gian và chuẩn tắc

1.3.2 Đối với không gian X, các khẳng định sau là đúng

17

Suy ra Do đó, và

Khi đó, ta có t Do v , - không gian

Thật vậy, nếu ta đặt , thì F đóng và Lại v

Mặt khác, bởi vì

V là lân cận

Suy ra Mặt khác, vì nên

18

Khi đó, ta cần Thật vậy, nếu ta đặt , thì ta suy ra

1.4.2 Giả sử M là không gian con của không gian tôpô X và E ⊂ M Khi đó,

(1)

(2)

(1) (i)

vì E

M nên Suy ra sao cho

1.5 Không gian compắc

1.5.1 Giả sử A là tập con của không gian tôpô X và U là họ gồm các tập con nào đó của X Khi đó,

Suy ra Do vậy, E là tập compắc

(2) -không gian, compắc Khi đó, cần

-không gian nên với mọi tồn tại

sao cho Bởi vì -compắc nên

21

vì A compắc Lại vì nên

B compắc Ta đ

Suy ra Vì v , là tập compắc

(1)

sao cho

Do đó, Suy ra Điều này Do vậy,

(4)

Th Khi đó, v

Do đó, , suy ra

, kéo theo

Vì nên điều này mâu t Do v , Bây

Khi đó, vì đ nên ta suy Bởi vì,

nên điều này Do v ,

26

mêtric trên X sao cho tôpô mêtric tôpô τ

27

CHƯƠNG 2

MÊTRIC -

28

(a) Hơn nữa, v

là một cơ sở yếu tại x với mọi

Khi đó, v nên trong X Suy ra sao cho

(2.1) nên

(2.2) , ta suy ra

Do vậy,

(4)⟹(1) Theo B

sao cho không Khi đó,

sao cho

sao cho

, compắc , sao cho

34

Lại vì

,

,

(2)⟹(3) G

-,

Kh sao cho

35

Suy ra

cho Khi đó, sao cho

nên ta suy ra -

(b) và

36

sao cho

sao cho

2.2.5 Hệ quả Không gian X là khả mêtric khi và chỉ khi X có một g-hàm cơ sở yếu

g thỏa mãn rằng nếu F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho

, thì tồn tại sao cho với mỗi x X, chỉ giao nhiều nhất

Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử X là không gian khả mêtric, F là tập hợp

đóng và C là tập compắc trong X sao cho Khi đó, theo Định lí 2.2.4 ta

suy ra rằng

Điều này chứng tỏ rằng chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập

(2) Điều kiện đủ Giả sử g là một g-hàm trên X thỏa mãn rằng nếu F là tập

hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho , thì tồn tại sao cho với mỗi chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập Để chứng minh X là không gian khả mêtric ta chỉ cần chứng minh rằng g thỏa mãn khẳng định

37

(5) trong Định lí 2.2.4 Thật vậy, giả sử là hai dãy bất kì trong X,

hội tụ đến X và

với mọi

Nếu dãy không hội tụ đến x, thì tồn tại một lân cận mở V của x và một dãy con

của sao cho

Ta đặt

F = X\V và Khi đó, F là một tập hợp đóng và C là tập compắc trong X thỏa mãn Suy ra tồn tại sao cho với mọi chỉ giao nhiều nhất một phần

tử của tập Bởi vì

với mọi nên ta suy ra rằng

với mọi Hơn nữa, nhờ cách đặt của C ta suy ra

Bởi vì g là g-hàm cơ sở yếu nên , kéo theo

Suy ra giao với hai phần tử của tập hợp { Điều này mâu thuẫn với khẳng định chỉ giao với nhiều nhất một phần tử của tập { Do vậy, khẳng định (5.1) trong Định lí 2.2.4 được thỏa mãn Cuối cùng, chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta cũng suy ra được rằng khẳng định (5.2) trong Định lí 2.2.4 được thỏa mãn Do vậy, X là không gian khả mêtric