Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingalevới thời gian rời rạc

TS Nguyễn Văn Quảng, chúng tôi đã chọn đềtài "Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingalevới thời gian rời rạc" nhằm nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này.. Trong chương này tác

rời rạc 61.4 Một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện 81.5 Một số tính chất cơ bản của martingale với thời gian rời rạc 11

2 Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale

2.1 Kỳ vọng có điều kiện 152.2 Martingale với thời gian rời rạc 21

Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất chính là các định lý về

kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc Vì những lý do trên,dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Văn Quảng, chúng tôi đã chọn đềtài "Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingalevới thời gian rời rạc" nhằm nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này

Nội dung của khóa luận được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tác giả trình bày về biến ngẫu nhiên G - đo được, tínhđộc lập, định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạccùng một số tính chất cơ bản cần thiết cho chương sau

Chương 2 Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và tingale với thời gian rời rạc

mar-Đây là phần chính của khóa luận Trong chương này, tác giả trình bàymột số tính chất của kỳ vọng có điều kiện đối với σ - đại số G và một sốtính chất của martingale với thời gian rời rạc

Khoá luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xinđược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tình hướng dẫn trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm

ơn đến Thầy giáo, TS Lê Văn Thành, Học viên Vũ Thị Ngọc Ánh đã đónggóp nhiều ý kiến quý báu, giúp tác giả hoàn thành khoá luận tốt hơn Đồngthời tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ xác suất thống

kê và toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảngdạy trong suốt quá trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình,người thân và bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành khoá luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luậnchắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhậnđược những lời chỉ bảo quý báu của thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc đểkhoá luận được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 5 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của F

1.1 Biến ngẫu nhiên G−đo được

1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo Ánh

xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ G với mọi a ∈ R

(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ G với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ G với mọi a ∈ R

(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ G với mọi a ∈ R

1.1.4 Định lý Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên G- đo đượccùng xác định trên (Ω, F , P), f : Rn −→ R là hàm đo được (tức f là

B(Rn)/B(R) đo được) Khi đó

Y = f (X1, , Xn) : Ω −→ R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên G- đo được

1.1.5 Hệ quả Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên G- đo được cùngxác định trên (Ω, F , P ), f : R −→ R là hàm liên tục a, b ∈ R Khi đó

aX +bY, XY, |X|, f (X), X+ = max(X, 0), X− = max(−X, 0), X

Y , (Y 6= 0)

đều là các biến ngẫu nhiên G- đo được

1.1.6 Định lý Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên G- đođược cùng xác định trên (Ω, F , P) Khi đó, nếu inf

n Xn, sup

n

Xn hữu hạn,thì inf

n Xn, sup

n

Xn, limXn, limXn, lim

n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫunhiên G- đo được

1.2.3 Định lý Giả sử biến cố A có P(A) = 0 hoặc P(A) = 1. Khi đó A

độc lập với mọi biến cố

Chứng minh Giả sử P(A) = 0 và B là biến cố bất kỳ Do P(AB) ≤ P(A)nên P(AB) = 0 = P(A)P(B). Do đó A và B độc lập.

Giả sử P(A) = 1 và B là biến cố bất kỳ Khi đó P(A) = 0 nên theo chứngminh trên A, B độc lập Do đó A, B độc lập

1.2.4 Định nghĩa Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi mộtnếu hai biến cố bất kỳ của họ đều độc lập

Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độclập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1, Ai2, , Ain của họ đó, tađều có

P(Ai 1Ai2 Ain) = P(Ai 1)P(Ai 2) P(Ai n)

1.2.5 Định nghĩa Họ các lớp biến cố (Ci)i∈I (Ci ⊂ F) được gọi là độclập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci, họ các biến cố (Ai)i∈I độc lập(độc lập đôi một)

Họ các biến ngẫu nhiên (Xi)i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một)nếu họ σ-đại số (σ(Xi))i∈I độc lập (độc lập đôi một)

1.3 Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian

rời rạc

1.3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên và G là σ-đại số con của F Khi đó biến ngẫu nhiên Y

gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-đại số G nếu

i) Y là biến ngẫu nhiên G- đo được;

ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

1 Nếu Y là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P) và G là σ-đại số concủa F sao cho Y là biến ngẫu nhiên G− đo được, thì ta viết Y ∈ G.

2 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên đã cho trên (Ω, F , P) và G là σ-đại sốsinh bởi Y, thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|Y ) và được gọi là kỳ vọng điềukiện của biến ngẫu nhiên X đối với biến ngẫu nhiên Y

3 Nếu X1, X2, là các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P) và G là

σ-đại số sinh bởi chúng thì E(X|G) được ký hiệu là E(X|X1, X2, )

4 Nếu X = IA, A ∈ G thì E(X|G) được ký hiệu là P(A|G) và được gọi làxác suất điều kiện của biến cố A đối với σ-đại số G E(IA|X1, X2, ) được

ký hiệu là P(A|X1, X2, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố Ađối với các biến ngẫu nhiên X1, X2,

1.3.2 Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất (Xn, n ∈ N)

là dãy biến ngẫu nhiên (Fn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số Khi đó dãy

• martingale trên nếu

(i) Xn đo được đối với Fn, n ∈ N

(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N

(iii’) Với m ≤ n, m, n ∈ N

E(Xn|Fm) ≤ Xm h.c.c

• martingale dưới nếu

(i) Xn đo được đối với Fn, n ∈ N

• Điều kiện (ii) có thể thay thế bằng điều kiện: có kỳ vọng điều kiện.

1.4 Một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện

Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, các biến ngẫu nhiên đều có kỳvọng, G là σ - đại số con nào đó của F

1.4.1 Định lý Nếu X=c (hằng số) thì

E(X | G) = E(c | G) = c (h.c.c)

Chứng minh Đặt Y = c Khi đó Y ∈ G và với mọi A ∈ G

(aX + bY )dP

Từ các lập luận trên suy ra

E(aX + bY | G) = aE(X | G) + bE(Y | G)

1.4.6 Định lý Nếu X là G- đo được thì E(X | G) = X h.c.c.

Chứng minh Theo giả thiết ta có Y = X ∈ G Mặt khác, với mọi A ∈ G tacó

Khi đó, E(Y | G2) = Y và Y = E(Z | G1) Thật vậy, ta có Y = E(X | G1),

suy ra Y ∈ G1 Do đó G1 ⊂ G2 Do đó, theo Định lý 1.4.6, Y = E(Y | G2).Mặt khác, với mọi A ∈ G1 thì A ∈ G2, nên ta có

E(X | G1) = E[E(X | G1) | G2] = E[E(X | G2) | G1]

1.4.8 Định lý (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ là hàm lồi, X là ϕ(X) khảtích thì

E[ϕ(X) | G] ≥ ϕ[E(X | G)] (h.c.c)

1.5 Một số tính chất cơ bản của martingale với thời gian rời rạc

1.5.1 Định lý (i) Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale, thì hàm trungbình EXn không đổi

(ii) Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale dưới (martingale trên), thì hàmtrung bình EXn không giảm (không tăng) theo n ∈ N.

Chứng minh (i) Với(Xn, Fn, n ∈ N)là martingale, ta cóXm = E(Xn | Fm)

với m ≤ n, suy ra

EXm = E[E(Xn | Fm)] = EXn

(ii) Với (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale dưới Với mọi m ≤ n ta có

EXm ≤ E[E(Xn | Fm)] = EXn

Trường hợp martingale trên chứng minh tương tự

1.5.2 Định lý (i) Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale và ϕ là hàm lồivới E | ϕ(Xn) |< ∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn), Fn, n ∈ N) là martingale dưới.(ii) Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale dưới và ϕ là hàm lồi không giảmvới E | ϕ(Xn) |< ∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn), Fn, n ∈ N) là martingale dưới.Chứng minh (i) Để chứng minh (ϕ(Xn), Fn, n ∈ N) là martingale dưới takiểm tra các điều kiện

E(Xn | Fn−1) = Xn−1(h.c.c)

Điều này kéo theo

ϕ[E(Xn | Fn−1)] = ϕ(Xn−1)(h.c.c) (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

E[ϕ(Xn) | Fn−1] ≥ ϕ(Xn−1)(h.c.c)

Vậy (i) được chứng minh

(ii) Để chứng minh (ϕ(Xn), Fn, n ∈ N) là martingale dưới ta kiểm tra cácđiều kiện

Vậy (ii) được chứng minh

1.5.3 Hệ quả (i) Cho p ≥ 1 Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale với

E|Xn|p < ∞, n ∈ N, thì (|Xn|p, Fn, n ∈ N) là martingale dưới, do đó hàm

E|Xn|p không giảm theo n ∈ N

(ii) Nếu (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale dưới thì (Xn+, Fn, n ∈ N) cũng làmartingale dưới

Chứng minh (i) Với p ≥ 1, thì |x|p là hàm lồi, nên theo tính chất trên

(|Xn|p, Fn, n ∈ N) là martingale dưới, do đó hàm E|Xn|p không giảm theo

n ∈ N

(ii) Tương tự x+ là hàm lồi không giảm nên ta có điều phải chứng minh

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ

MARTINGALE VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

Y dP =

Z

¯ A

XdP = a2

Hơn nữa Y IA¯ = b2IA¯ suy ra E(Y IA¯) = E(b2IA¯) = b2P ( ¯A) Kết hợp với trên

ta có b2P ( ¯A) = a2, do đó

b2 = a2P(A)¯ =

a2

¯ A

2.1.3 Mệnh đề Nếu X là biến ngẫu nhiên và ϕ(x) là hàm đo được saocho tồn tại E[ϕ(X)], thì

E[ϕ(X) | X] = ϕ(X)

Chứng minh Ta có X ∈ σ(X), mà ϕ(X) là hàm đo được, do đó ϕ(X) ∈σ(X) Theo Định lý 1.4.6 suy ra

E[ϕ(X) | X] = ϕ(X)

Đó là điều phải chứng minh

2.1.4 Mệnh đề Nếu tất cả các biến cố của σ- đại số G đều có xác suấtbằng 0 hoặc bằng 1, thì với xác suất 1 ta có E(X | G) = EX, với mọibiến ngẫu nhiên X

Chứng minh Lấy A ∈ G ta có P (A) = 0 hoặc P (A) = 1, suy ra A độc lậpvới mọi biến cố B Do đó với mọi A ∈ G , mọi B ∈ σ(X) thì ta có A, B độclập, nên G độc lập với X Theo Định lý 1.4.4 suy ra

Nên theo Mệnh đề 2.1.4 suy ra

E(X | G1 ∩ G2) = EX (h.c.c)

Đó là điều phải chứng minh

2.1.6 Mệnh đề Giả sử G1, G2, là dãy không tăng các σ- đại số, X làbiến ngẫu nhiên Khi đó

E( E(X | G1) | G2 | Gn) = E(X | Gn) (2.5)Chứng minh Với n = 1, (2.5) hiển nhiên đúng

Giả sử (2.5) đúng với n = k, ta chứng minh (2.5) đúng với n = k + 1 Thậtvậy,

2.1.7 Mệnh đề Giả sử G1, G2, là dãy không giảm các σ- đại số, X

là biến ngẫu nhiên Khi đó

Đó là điều phải chứng minh.

2.1.10 Mệnh đề Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên bình phương khảtích, cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) và G là σ- đại sốcon nào đó của F Ta định nghĩa

D(X | G) := E[(X − E(X | G))2 | G]

Cov[(X, Y ) | G] := E[(X − E(X | G))(Y − E(Y | G)) | G]

D(X | G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đốivới σ- đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X | G) Cov[(X, Y ) | G] được

gọi là covariance có điêu kiện của X, Y đối với σ- đại số G Khi đó

a)DX = ED(X | G) + DE(X | G)

b)Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)]

Chứng minh a) Ta có

ED(X | G) + DE(X | G)

= E{E[(X − E(X | G))2 | G]} + E{[E(X | G)]2} − {E[E(X | G)]}2

= E[(XX2 − 2XE(X | G) + E(X | G)) | G] + E[E(X | G)]2 − (EX)2

= EX2+ 2E{E(X | G)[E(X | G) − X]} − (EX)2

= E{E(X | G)[E(E(X | G)) | G − E(X | G)]}

= E{E(X | G)[E(X | G) − E(X | G)]} = 0

Kết hợp điều này với (2.6) ta được ED(X | G) + DE(X | G) = DX

b Ta có

ECov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)]

= E{E[XX − E(X | G)(Y X − E(Y | G))\]}

+ E[(XE(X | G) − EX)(E(Y | G) − EY )]

= E{XY − Y E(X | G) − XE(Y | G) + E(X | G)E(Y | G)

+ E(X | G)E(Y | G) − E(X | G)EY − EXE(Y | G) + EXEY }

= E{(X − EX)(Y − EY )

+ [E(Y | G) − EX][E(X | G) − EY ] + [E(Y | G) − Y ][E(X | G) − EX]}

= Cov(X, Y ) + E[E(X | G) − X][E(Y | G) − EY ]

+ E[E(Y | G) − Y ][E(X | G) − EX]

E[E(X | G) − X][E(Y | G) − EY ]

= E{E[E(X | G) − X][E(Y | G) − EY ] | G}

= E{[E(Y | G) − EY ]E[(XE(X | G) − X) | G]}

= E{[E(Y | G) − EY ][E(E(X | G)) | G − E(X | G)]}

= E{[E(Y | G) − EY ][E(X | G) − E(X | G)]} = 0

Tương tự ta cũng chứng minh được

E[E(X | G) − Y ][E(X | G) − EX] = 0

Từ đó suy ra

Cov(X, Y ) = Ecov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)]

2.2 Martingale với thời gian rời rạc

2.2.1 Mệnh đề Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,với EXn = 0, n ∈ N Đặt

2.2.2 Mệnh đề Giả sử (Xn, n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lậpvới EXn = 1, n ∈ N Đặt

2.2.4 Mệnh đề Giả sử (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale dưới và dãy

(EXn, n ∈ N) không đổi Khi đó (Xn, Fn, n ∈ N) là martingale

Chứng minh Với mọi m ≥ n, ta có

2.2.5 Mệnh đề Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn,

(Fn, n ∈ N) là dãy không giảm các σ-đại số Đặt Xn = E(X|Fn) Khi đó

2.2.7 Mệnh đề Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, (Xn, Fn, n ∈ N)

và (Yn, Fn, n ∈ N) là hai martigale cùng xác định trên (Ω, F , P) và bìnhphương khả tích Khi đó

a) E(XmYn|Fm) = XmYm h.c.c với mọi m 6 n

KẾT LUẬN

Kết quả đã đạt được

Khóa luận nghiên cứu về kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gianrời rạc

Khóa luận đã thiết lập được một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện,

đó là các mệnh đề trong 2.1 Khóa luận cũng đưa ra được một số dạngmartingale với thời gian rời rạc, đó là các mệnh đề trong 2.2

Hướng phát triển khóa luận

Tiếp tục nghiên cứu các tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingalevới thời gian rời rạc

Nghiên cứu sự hội tụ của martingale với thời gian rời rạc

Nghiên cứu các tính chất của martingale với thời gian liên tục

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến Cơ Sở Lý Thuyết Xác Suất, NXBĐại học Quốc gia Hà Nội, 2006

[2] Nguyễn Văn Quảng Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia HàNội, 2008

[3] Đặng Hùng Thắng Mở đầu về lý thuyết xác suất, NXB Giáo duc, 2000.[4] Nguyễn Duy Tiến Các mô hình xác suất và ứng dụng, NXB Đại họcQuốc gia Hà Nội, 2005