Một số tính chất tôpô và đại số của trường số p adic

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm và Đại học Tổng hợp đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập.. Làm đầy đủ Q theo chuẩn ta được trường các số p-ad

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGÔ TH Ị THANH HÀ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm và Đại học Tổng hợp đã

tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy

Mỵ Vinh Quang người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn chúng tôi trong suốt quá trình

hoàn thành luận văn này./

L ỜI NÓI ĐẦU

Nhờ định lí Oxtropxki ta biết rằng trên trường các số hữu tỉ Q chỉ có hai loại chuẩn,

đó là giá trị tuyệt đối thông thường ( ) và

p(với p là một số nguyên tố) Làm đầy đủ Q theo chuẩn ta được trường các số p-adic Qp – Bộ môn toán nghiên cứu các hàm với

biến là các số p-adic gọi là giải tích p-adic

Mục tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu các tính chất của trường các số adic Qp nói ở trên Luận văn gồm 2 phần Trong phần I chúng tôi trình bày ngắn gọn nhưng cũng khá đầu đủ về cách xây dựng và các kết quả về trường các số p-adic Qp Các

p-kết quả của phần này một mặt giúp ta hình dung rõ hơn trường Qp, mặt khác là cơ sở lí thuyết cho phần tiếp theo Phần thứ hai trình bày các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về trường các số p-adic Cụ thể chúng tôi đã cố gắng khảo sát các tính chất số học, đại số, tô

pô của trường các số p-adic Qp – Trong suốt quá trình nghiên cứu chúng tôi luôn luôn cố

gắng so sánh, đối chiếu với trường các số thực R Ta thấy trường các số p-adic có những tính chất khá giống với trường các số thực R Ví dụ như số các lớp thặng dư (mệnh đề 1.2), biểu diễn p-adic của một số hữu tỉ (mệnh đề 2.1, mệnh đề 2.2)

Tuy nhiên do đặc thù của chuẩn p trường Qpcu4ng có nhiều tính chấ khác lạ, khác

với số thực:

Ví dụ: Qp là mở rộng bậc vô hạn của Qp (mệnh đề 5.1), trong khi c chỉ là mở rộng

bậc 2 của R Một hình cầu có vô số tâm, vô số bán kính, Qp chỉ có một số đếm được hình

cầu, mặt cầu…(mệnh đề 4.1)…

Vì thời gian và khả năng hạn chế, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót – Rất mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp lượng thứ

M ỤC LỤC

L ỜI NÓI ĐẦU 4

M ỤC LỤC 5

BÀI 1: CHU ẨN TRÊN TRƯỜNG 8

1.1 Khái ni ệm: 8

1.2 Chu ẩn phi Acsimet: 8

1.3 Chu ẩn trên trường các số hữu tỉ 9

BÀI 2: XÂY D ỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC 15

2.1 Trường Qp 15

2.1.1 T ập hợp Qp 15

2.1.2 Các phép toán trong Qp 15

2.2 Chu ẩn trên Qp 16

2.3 T ập các số nguyên p-adic 17

2.4 Bi ểu diễn p-adic của số a trong Qp 18

2.4.1 D ạng chuẩn của số p-adic 18

BÀI 3: B Ổ ĐỀ ZENGEN 25

3.1 B ổ đề Zengen: 25

BÀI 1: S Ố HỌC TRONG VÀNH Zp 26

1.1 M ệnh đề: 26

1.2 M ệnh đề: 28

1.3 Tiêu chu ẩn Aidenstaiơ trong Z p : 29

BÀI 2: BI ỂU DIỄN P-ADIC CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 31

2.1 M ệnh đề: 31

2.2 M ệnh đề: 32

BÀI 3: S Ố CHÍNH PHƯƠNG TRONG Qp 38

3.1 TRƯỜNG Q p V ỚI P LÀ SỐ NGUYÊN TỐ LẺ 38

3.1.1 M ệnh đề (điều kiện cần và đủ để a ∈ Qp là s ố chính phương): 38

3.1.2 M ệnh đề: 40

3.2 ĐỐI VỚI Q 2 41

3.2.1 M ệnh đề: 41

3.2.2 M ệnh đề: 42

BÀI 4: TÍNH CH ẤT TÔPÔ CỦA TRƯỜNG SỐ P-ADIC Qp 45

4.1 M ệnh đề: 45

4.2 M ệnh đề: 50

4.3 M ệnh đề: 51

BÀI 5: M ỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG Qp 54

5.2 M ệnh đề: 55

5.3 M ệnh đề: 56

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 60

PH ẦN 1: XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC

Trong phần này chúng tôi trình báy cách xây dựng trường số p-dic Qp Vấn đề này

đã được nhiều tác giả trình bày theo những phương pháp khác nhau với các dụng ý khác nhau Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng Qp bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ (xem[5]) Vì theo chúng tôi đây là phương pháp xây dựng Qp một cách “tự nhiên” nhất

Các kết quả được trình bày trong phần này đều trung thành với ([5]) Tuy nhiên hầu

hết các chứng minh chúng tôi sẽ không trình bày ở đây, một phần để luận văn không quá dài, phần khác các chứng minh có thể tìm thấy trong ([5])

BÀI 1: CHU ẨN TRÊN TRƯỜNG

1.1 Khái ni ệm:

Đây là một chuẩn của trường F mà ta gọi là chuẩn tầm thường

Nhận xét rằng khái niệm chuẩn trên trường chính là sự mở rộng của khái niệm trị tuyệt đối trên Q

Giả sử hàm là chuẩn của trường F Khi đó hàm : d(x,y)= x-y là metric trong F d(x,y) được gọi là metric tương ứng với chuẩn

Hai chuẩn được gọi là tương đương nếu chúng sinh ra các metric tương đương (các

tô pô được sinh ra bởi chúng là như nhau)

1.2 Chu ẩn phi Acsimet:

Giả sử là chuẩn của trường F Nếu chuẩn này thỏa điều kiện mạnh hơn:

3i /' x+y ≤max( x , y )

Thì ta sẽ nói đó là chuẩn phi Acsimet, một mêtric được gọi là metric phi Acsimet

nếu:

d(x,y) ≤ max( d(x,z), d(z,y)) ∀ x,y,z ∈ F

đặc biệt metric sinh bởi một chuẩn phi Acsimet cũng phi Acsimet

* ) Nguyên lí tam giác cân: Tính ch ất 3i/ của chuẩn còn gọi là bất đẳng thức tam giác Trong trường F với metric phi Acsimet ta có:

x±y ≤max( x , y )

Và n ếu x ≠ y thì d ấu “=” xảy ra Tất cả các tam giác đều cân

Ch ứng minh

Giả sử x ≠ y không mất tính tổng quát ta giả sử rằng y > x , khi đó cạnh thứ 3

của tam giác: x – y có độ dài:

1.3 Chu ẩn trên trường các số hữu tỉ

* ) Định nghĩa 1: Giả sử p={2, 3, 5, 7,…} là tập tất cả các số nguyên tố Với mỗi số

a≠0 ta gọi ordpa là số nguyên không âm m lớn nhất sao cho:

a ≡ 0 (modpm

)

Nếu a = 0 ta viết ordpa = ∞

Ví dụ: ord550 = 2; ord27 = 0,…

* ) Định nghĩa 2: Trên trường số hữu tỉ Q ta định nghĩa một ánh xạ (kí hiệu p):

1( ) x 0

0 x= 0

x p

ord

p p x



= 



Hàm p được định nghĩa như vậy là một chuẩn phi Acsimet của trường Q

Nhờ định lí Oxtropxki ta biết rằng mọi chuẩn trên Q đều có thể mô tả được

* ) Định lí Oxtropxki: Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỉ Q tương đương với chuẩn p(p là m ột số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với giá

tr ị tuyệt đối thông thường trên Q

Chứng minh

Ta xét 2 trường hợp:

a) n∃ ∈N: n >1

Trong tất cả các số n thỏa điều kiện (a) chọn số nhỏ nhất kí hiệu n0

Vì n >10 nên n0 =nα0 với a là số thực dương nào đó (a ∈ R+)

Bây giờ viết số n trong hệ đếm n0 :

k+1 (k+1)

0 0 k+1 k+1 α

vào chỗ của n trong bất đẳng thức cuối, lấy căn bậc

N rồi chuyển qua giới hạn khi N → ∞ ta được:

Gọi n0 là số nhỏ nhất trong các số tự nhiên n thỏa n <1 Số n0 như vậy luôn tồn tại

vì chuẩn đang xét là chuẩn không tầm thường Mặt khác n0 phải là số nguyên tố vì nếu

Ta sẽ chỉ ra được rằng: q =1với mỗi số nguyên tố q ≠ p:

Giả sử ngược lại có q <1, khi đó với số tự nhiên N đủ lớn:

Trong đó (**) chỉ có thừa số p1 sao cho p1 = p (nếu có) có chuẩn khác 1 với số

mũ b1 tương ứng trùng với ordpa nên:

ord a

a = p

Với p= p

Công thức này đúng cho bất kì số hữu tỉ a ≠ 0 (do tính chất 2 chuẩn)

Mà a = p ord a tương đương ap

Vậy chuẩn không tầm thường bất kì trên Q chỉ tương đương với hai loại chuẩn

hoặc p

BÀI 2: XÂY D ỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ P-ADIC

2.1 Trường Qp

Ta biết rằng trường số thực R có thể xem là một trường đầy đủ của trường số hữu tỉ

Q với chuẩn Mặt khác theo định lí Oxtropxki trên Q chỉ có hai loại chuẩn và p

Từ đó một cách tự nhiên nảy sinh vấn đề: Trường đầu đủ của trường Qp theo chuẩn p là

gì ? Đó chính là trường các số p-adic Qp Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một cách cụ thể

việc xây dựng Qp theo ý tưởng trên

2.1.1 T ập hợp Qp

Trong không gian metric (Q,

p) , Q là trường các số hữu tỉ với chuẩn p Dãy {a1,

a2,…} các phần tử của Q được gọi là dãy cosi nếu:

a -bi i →0 khi i → ∞ Dễ thấy rằng quan hệ được xác định như vậy là một quan hệ tương đương

Ta gọi Qp là tập tất cả các lớp tương đương của các dãy cosi trong Q theo quan hệ tương đương trên

Dễ dàng chứng minh được Qp cùng với phép toán cộng, nhân và các phép tìm phần

tử nghịch đảo đã nói ở trên là một trường Hơn nữa Qp là một trường đầy đủ

Trường Q là một trường con của Qp nhờ ánh xạ nhúng:

I : Q → Qp

2.2 Chu ẩn trên Qp

Định nghĩa: Trong Qp cho a = { }a i , ta có a p =lima i p

Cách định nghĩa như vậy thực sự cho ta một chuẩn trên Qp vì:

*) lim i p

i a

→∞ luôn tồn tại:

a = a ∀ (nguyên lí tam giác cân)

**) Chuẩn a i pkhông phụ thuộc việc chọn phần tử đại diện:

*) Chú ý: Khi đi từ Q đến R miền của những giá trị của hàm tăng lên đến tập tất

cả các số thực âm còn khi đi từ Q đến Qp thì tập tất cả các giá trị có thể của hàm p cụ

Tổng, hiệu, tích các phần tử của Zp cũng thuộc Zp nên Zp là vành con của Qp

Các phần tử của Z*p còn gọi là các đơn vị p-adic

2.4 Bi ểu diễn p-adic của số a trong Qp

2.4.1 D ạng chuẩn của số p-adic

Ta đã biết rằng nếu a ∈ Qp thì ta có thể viết a = { }a i với { }a i là đại diện bất kì của

lớp tương đương a Tuy nhiên ta có định lí sau:

Định lí: Mỗi số a trong Qp mà ap ≤1có duy nhất một đại diện là dãy cosi các số nguyên {bi} thỏa:

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử x ∈ Q và xp ≤1 Khi đó ∀1 ∈ N, ∃a ∈ Z sao cho -i

Do x p ≤1 nên p không chia hết b ⇒ (pi,b)=1

Vậy có thể chọn được 2 số m, n sao cho:

Mb + npi = 1 Đặt a = a.m

Nhận xét rằng mb và 1 chênh nhau một lượng rất nhỏ theo chuẩn p-adic nên m có

thể coi là gần đúng cúa/b suy ra a.m có thể dùng làm gần đúng rất tốt cho x a

b

= Chính xác hơn ta có đánh giá sau:

p p p i p i

p pp i i

= p 1 p

i p

1α-x

p

≤

vẫn đúng

Bây giờ ta chứng minh: Giả sử cho trước dãy cosi {ci} là một đại diện bất kì của a,

ta phải tìm một dãy côsi {bi} tương đương với nó thỏa điều kiện 1) và 2)

Xét {ci} cho tương ứng mỗi số j = 1,2,3,… với một số N(j), sap cho:

Từ (1) và (2) và tính chất của dãy {bi} ta được {bi} chính là dãy cần tìm

Nhận xét: Với {bi} thỏa các điều kiện trên ta có thể viết:

b1 = a0

b2 = a0 +a1p

b3 = a0 + a1p + a2p2

bn = a0 + a1p + a2p2 +…+anpnTrong đó 0 ≤ an ≤ p – 1 ∀n = 0,1,2,3,… khi đó từ định lí trên mỗi số a trong Zp đều

có một đại diện duy nhất dạng:

với bi = b’i.pm Dựa vào cách biểu diễn số a’ trong Zp và đánh số lại cho thích hợp ta có:

ta nói rằng dạng trên là dạng chuẩn của số p-adic a

b/ Biểu diễn p-adic của số a trong Qp

Ta gọi

1

n n c

Với số a bất kì thuộc Qp mà dạng chuẩn là:

Từ công thức biểu diễn p-adic của số a trong Qp ta có:

Với mỗi a, ∃m ∈ Z sao cho:

a = pm.ε (ε ∈ Z*p, m ∈ Z)

Ta gọi đây là biểu diễn chính tắc của số a

BÀI 3: B Ổ ĐỀ ZENGEN

3.1 B ổ đề Zengen:

Giả sử f(x) = c0 + c1x +…+ cnxnlà đa thức với hệ số nguyên p-adic

Còn : f’(x)c1 + 2c2x +…+ ncnxn-1 là đạo hàm của nó Ta giả sử rằng a0 là một số nguyên p-adic thỏa:

0 0

Cho f(x) là đa thức với hệ số trong Zp nếu có số a0 trong Zp thỏa:

2M 1 0

M 0

M 1 0

PH ẦN 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG SỐ P-ADIC Qp

Trong phần thứ hai này chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu của chúng tôi

về trường các số p-adic Qp Như ta đã biết ở phần trên, trường Qp được xây dựng từ

trường các số hữu tỉ Q bằng một phương pháp tương tự như phương pháp xây dựng trường các số thực R Bởi vậy ta có thể xem Qp là một tương tự p-adic của trường R và khi nghiên cứu trường Qp chúng tôi luôn luôn so sánh nó với trường các số thực R cả về

sự giống nhau lẫn khác nhau của chúng

BÀI 1: S Ố HỌC TRONG VÀNH Zp

1.1 M ệnh đề:

Zp là vành chính và là vành địa phương (tức là vành có iđêan tối đại duy nhất) p là

phần tử bất khả qui duy nhất của Zp

Chứng minh:

Ta có: Zp ={x∈Qp : xp ≤1} Dễ thấy Zp là miền nguyên Ta chứng minh Zp là vành chính

Trước hết nhận xét rằng mọi tập có dạng pm.Zp đều là idean của Zp

Ngược lại nếu I là một idean của Zp thì:

*) I{0}⇒ I là idean sinh bởi 0

**) I≠ {0}⇒ ∃a = pkε≠0 (k≥0), a ∈ I

⇒pk = aε-1 ∈ I

Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa: pm ∈ I

b) p là phần tử bất khải qui duy nhất:

Kết luận: Ngoài p không có phần tử nào khác trong Z p b ất khả qui hay p là phần tử

b ất khả qui duy nhất của vành Z p

Nh ận xét: ∀x ∈ Qp đều có thể viết x = a/p m v ới a ∈ Z p , m ∈ N (p m∈ Z p ) Mà Z p là

1.2 M ệnh đề:

p

Z Z

Z b

p Z ≅ p Z

Từ mệnh đề 1.2 ta rút ra được các kết luận sau:

i/ S ố lớp đồng dư modun p n trong Z p g ồm n lớp:

ii/ V ới hai phần tử a,b ∈ Z : a ≡ b (modp n ) trong Z khi và ch ỉ khi a ≡ b (modp n ) trong Z p

iii/ V ới mỗi a ∈ Z p , ∃a ∈ Z sao cho a ≡ a (modp n

) trong Zp 1.3 Tiêu chu ẩn Aidenstaiơ trong Z p :

Do Zp là vành chính và p là phần tử bất khải qui duy nhất của vành Zp nên tương tự tính chất của vành Z ta xũng có tiêu chuẩn Aidenstainơ trong vành Qp

Tiêu chuẩn Aidenstainơ trong vành Qp:

Gi ả sử f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…+a n x n là đa thức với hệ số nguyên p-adic nếu:

i n

2 0

BÀI 2: BI ỂU DIỄN P-ADIC CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Ta biết rằng bất kì một số thực nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng thập phân Một

số hữu tỉ thì có biểu diễn thập phân tuần hoàn Một số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn Vấn đề đặt ra là đối với các số p-adic thì sao ? Mục này sẽ cho chúng ta câu trả lời là : Đối với các số p-adic các kết quả gần như tương tự Cụ thể ta có:

2.1 M ệnh đề:

Bi ểu diễn p-adic của số a trong Qp bị ngắt khi và chỉ khi a là số hữu tỉ dương

v ới mẫu là một lũy thừa nào đó của p

0+ 1 +

n

b b p b p a

Tức là biểu diễn của a bị ngắt

Chúng ta biết rằng: Một số thực là số hữu tỉ khi và chỉ khi phân số p-phân biểu diễn

nó là tuần hoàn Điều tương tự cũng xảy ra trong Qp, ta có:

2.2 M ệnh đề:

M ột số a thuộc Qp là số hữu tỉ khi và chỉ khi biểu diễn p-adic của nó bắt đầu từ

m ột chỗ nào đó tuần hoàn

Do đó ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho trường hợp ap =1là đủ

Giả sử a∈Qp; ap =1và a có biểu diễn tuần hoàn, tức là: ∃r ∈N:

Ta có : b, c ∈ Z

Và

k r

p p

Ta phải chứng minh a có khải triển tuần hoàn

*) Trước hết ta có nhận xét rằng: Với bất kì số hữu tỉ a bao giờ cũng tồn tại số M∈Z

và số r∈N sao cho a có biểu diễn: a

Trong A không có cặp hai số nào đồng dư với nhau theo modn vì:

Giả sử ∃ I,j=0,1,2,…n (i>j) sao cho:

1 – pj ≡ 1 – pj (modn)

⇒ pj

(1-pi-j)≡0 (pj,n)=1

⇒ 1- pi-j ≡ 0 (modn) (vô lí)

Do tập A gồm n phần tử mà phép chia cho n chỉ có n – 1 số dư, kết hợp với nhận xét trên ta phải có:

k r k k

r k r k

⇒ a có biểu diễn p-adic tuần hoàn

Vậy với a=-1

5 các số tương ứng với mệnh đề 2.2 trong biểu diễn p-adic của a trong

BÀI 3: S Ố CHÍNH PHƯƠNG TRONG Qp

Một số a ∈ F được gọi là số chính phương nếu ∃b ∈ F sao cho a ≡ b2 Đối với trường các số thực R một số a là số chính phương khi và chỉ khi a ≥ 0, vá bao giờ cũng

tồn tại hai số a1, a2 (chẳng hạn a1=1, a2=-1) sao cho với bất kì a ∈ R, a ≠ 0 thì trong các

số a1a, a2a có đúng một số là số chính phương Đối với trường hợp Qp thì sao ? Ta sẽ

thấy là trong Qp tình hình không hẳn là như vậy Cụ thể ta có:

3.1 TRƯỜNG Q p V ỚI P LÀ SỐ NGUYÊN TỐ LẺ

3.1.1 M ệnh đề (điều kiện cần và đủ để a ∈ Qp là s ố chính phương):

Gi ả sử a là số p-adic có biểu diễn chính tắc:

Trường hợp a ≠p 1 ta luôn có thể viết:

a = pm a’ với m ∈ Z và a ='p 1 khi đó hiển nhiên ta có:

a chính phương khi và chỉ khi m chẵn và a’ chính phương

≡ −

Như vậy với b là một số không chính phương, ta có:

a chính phương ⇒ ab không chính phương

a không chính phương ⇒ ab chính phương Quay trở lại việc chứng minh mệnh đề:

Xét 4 số a1=1, a2=b, a3=p, a4=pb

Trong đó b ∈ Z, α =1p , và b không chính phương theo modp

Khi đó với 0 ≠ a ∈ Qp có biểu diễn chính tắc là:

+ +

1 m

Như vậy với bất kì số a ∈ Qp, a ≠ 0 có đúng 1 số trong 4 số aa1, aa2, aa3, aa4 là

số chính phương Mệnh đề được chứng minh

3.2 ĐỐI VỚI Q 2

3.2.1 M ệnh đề:

Gi ả sử a ∈ Q 2 có bi ểu diễn chính tắc a = 2 m

a v ới a' =12 , khi đó:

a chính phương khi và chỉ khi a ≡ 1 (mod8), và m chẵn

Nói cách khác: N ếu a có biểu diễn p-adic: