Nghiên cứu một số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên c

Nhiều kếtquả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trướcnhững năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lý Josefson về sự tươngđương giữa tính đa cực địa phươn

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, TS.VũViệt Hùng, người thầy đáng kính đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫntận tình chúng tôi, giúp đỡ chúng tôi về tài liệu nghiên cứu cũng như độngviên chúng tôi có nghị lực hoàn thành đề tài này!

Trong quá trình làm đề tài, chúng tôi cũng đã nhận được sự giúp đỡ củacác thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong Bộmôn Giải tích, Phòng KHCN & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc,các bạn sinh viên Lớp K56 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ vàđộng viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôihoàn thành đề tài này Nhân dịp này chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn

về những sự giúp đỡ quý báu nói trên

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 6 năm 2018Sinh viên thực hiện đề tàiTênh Ly Vang Sua Xênh

Vừ A GiôngBùi Thị ChâuNguyễn Hải YếnNguyễn Thị Thùy

Mục lục

1.1 Hàm khả vi phức 7

1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann 8

1.3 Hàm chỉnh hình một biến 11

1.3.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình 11

1.3.2 Khai triển chuỗi lũy thừa các hàm chỉnh hình 12

1.4 Tích phân Cauchy 14

1.4.1 Tích phân phức 14

1.4.2 Định lý tích phân Cauchy 15

1.5 Hàm nửa liên tục 16

1.6 Hàm điều hòa 18

1.6.1 Hàm điều hòa và hàm chỉnh hình 18

1.6.2 Tích phân Poisson 25

1.6.3 Điều hòa dương 28

2 Hàm điều hòa dưới và một số tính chất 32 2.1 Hàm điều hòa dưới 32

2.1.1 Hàm nửa liên tục trên 33

2.1.2 Hàm điều hòa dưới và các tính chất cơ bản 36

2.1.3 Tính khả tích của hàm điều hòa dưới 40

2.1.4 Một số định lý hữu ích về hàm điều hòa dưới 43

2.2 Thế vị và toán tử Laplace tổng quát 43

2.2.1 Thế vị logarit 43

2.2.2 Tập cực 46

2.2.3 Độ đo cân bằng 48

2.3 Phương trình Laplace và Pisson tổng quát 49

2.4 Phương trình Poisson 55

3 Một số bài toán ban đầu đối với hàm điều hòa dưới trên C 60 3.1 Bài toán Dirichlet và độ đo điều hoà 60

3.1.1 Bài toán Dirichlet 60

3.1.2 Hàm Perron 61

3.1.3 Độ đo điều hòa 65

3.2 Dung lượng và đường kính siêu hạn 68

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn

từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó Giải tích phức đặc biệt

là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng trong cơ khí Nó cũng được

sử dụng trong lý thuyết số giải tích Ngày nay giải tích phức được nghiên cứunhiều với những ứng dụng trong động lực phức và Fractal Một nhánh quantrọng khác của giải tích phức là lý thuyết thế vị và đa thế vị Đây là mộtnhánh được phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây Nhiều kếtquả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trướcnhững năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lý Josefson về sự tươngđương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong Cn.Trong những năm sau đó, một số tác giả tiếp tục trình bày các hướng nghiêncứu khác của lý thuyết này như giải bài toán Dirichlet, thiết lập sự hội tụyếu của dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng với sự hội tụ theo dung lượng,nghiên cứu bài toán xấp xỉ đối với các hàm đa điều hoà dưới Có thể nói,đóng vai đối tượng chủ yếu trong các vấn đề nghiên cứu nói trên chính làlớp hàm điều hoà, điều hoà dưới nói riêng và đa điều hòa dưới nói chung Vìvậy nghiên cứu hàm điều hoà, đa điều hoà dưới để có được cái nhìn cơ bảnban dầu về các lớp hàm này, từ đó tổng hợp lại một số kiến thức của Hàmbiến phức, đồng thời mong muốn tìm hiểu bộ môn Hàm biến phức cũng nhưnhững ứng dụng đẹp của bộ môn trong sự phát triển của toán học nói chung

và trong lý thuyết hàm biến phức nói riêng

Tại Trường ĐH Tây Bắc, nghiên cứu về lớp các hàm điều hòa dưới vẫnchưa được nghiên cứu một cách nhiều và có tính hệ thống, điều này đã gâykhó khăn cho sinh viên khi tìm tài liệu tham khảo, đặc biệt đối với sinhviên Khoa Toán - Lý - Tin Ta có thể tìm thấy trong Thư viện Trường Đại

học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ được giới thiệu trong mộtmục nhỏ thông qua các cuốn Cơ sở lí thuyết Đa thế vị[1], Phương trình đạohàm riêng[2], Hàm biến phức [3], Giải tích phức phần II hàm nhiều biến[4] vàThe complex Monge-Ampere operatro in pluripotential theory, Lecture notes,unpublish [5] Hơn nữa, hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàmđiều hòa nói chung là rất ít Để tìm hiểu về nó không phải lúc nào cũng dễdàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạn sinh viên, nhất là các bạnsinh viên học Toán và Lý.

Như vậy có thể nói việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến hàm điềuhoà, đa điều hoà dưới trên Cn nói chung và trên C nói riêng sẽ giúp cho sinhviên có sự hiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần vớinhững nội dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếptheo về vấn đề này

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài: “Nghiên cứu một

số tính chất của lớp hàm điều hòa dưới trên C” để làm đề tài nghiên cứu chokhóa luận của mình nhằm tìm hiểu hiệu quả hơn về hàm điều hòa dưới trênC

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu và làm sáng tỏ một số tính chất của hàm điều hoà và điềuhoà dưới

- Nghiên cứu một số ứng dụng ban đầu của hàm điều hoà dưới

- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết các tính chất cơ bản của hàm điều hòa dưới trên C

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về hàmđiều hòa dưới trên C

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminarvới tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài Từ đó tổng hợp kiếnthức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch vàhoàn thành đề tài

6 Tính mới và hướng phát triển của đề tài

6.1 Tính mới mẻ của đề tài

Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong giải tích phức Đồngthời đây cũng là một vấn đề còn chưa được tiếp cận nhiều đối với các bạnsinh viên ĐHSP Toán hiện nay tại Nhà trường

6.2 Hướng phát triển của đề tài

Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về hàm điều hòa dưới trên C nói riêng vàtrên Cn nói chung

Chương 2: Nghiên cứu và trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bảnnhất của hàm điều hòa và điều hòa dưới trên C

Chương 3: Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đa điều hòa và điềuhòa dưới trong lý thuyết thế vị trong C

Do đó hàm f không có đạo hàm tại mọi điểm z ∈ C.

1.2 Điều kiện Cauchy - Riemann

Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) và z = x + iy ∈ D với D là tập mởkhác rỗng trong C Hàm f được gọi là R2- khả vi tại z nếu các hàm u(x, y) vàv(x, y) khả vi tại (x, y) theo nghĩa giải tích thực (tồn tại các đạo hàm riêngliên tục)

Định lý 1.2.1 Hàm f được gọi là C - khả vi tại z = x + iy ∈ D nếu f

là hàm R2 - khả vi tại điểm z và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann tại(x, y):

Chứng minh Giả sử f là khả vi phức tại z Khi đó ta có: lim

Do đó các điểm mà f khả vi phức là các điểm nằm trên trục tọa độ

b) Hàm f (z) := excos y + iexsin y với z = x + iy Làm tương tự như ví dụtrên ta thấy f (z) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann đúng với mọi điểmtrong C nên f khả vi phức trong C

Nhận xét 1.2.3 1) Không phải tất cả các hàm khả vi thực u(x, y) đều làphần thực của một hàm khả vi phức Điều kiện Cauchy-Riemann đưa ra mộtđiều kiện cần cho hàm u để điều này xảy ra

∂z =

12

 ∂u

∂x − i∂v

∂y

+ i ∂v

ta có:

∂f

∂z(z) =

12

Nhận xét 1.3.2 Một hàm chỉnh hình tại z0 thì hàm đó khả vi phức tại z0nhưng hàm khả vi phức tại z0 thì không nhất thiết chỉnh hình tại điểm z0.Lấy hàm f (z) = z.z như ví dụ 1.1.2 b, hàm này khả vi phức tại z = 0 nhưngkhông chỉnh hình tại điểm này

Định lý 1.3.3 (Định lý giá trị trung bình) Cho D là tập mở khác rỗng trong

C Nếu hàm f chỉnh hình trong D và B(z0, r) ⊂ D, với z0 ∈ D thì

∂B(z 0 ,r)

f (z)

z − z0dz.

Thực hiện phép đổi biến z = z0+ reiϕ, ϕ ∈ [0, 2π], ta có

Nhận xét 1.3.6 Nếu miền D không bị chặn thì định lí không còn chính xácnữa Ví dụ ta xét hàm f (z) = ez trên D = {z ∈ C : Re z > 0} Hàm |f | khôngđạt cực đại trên biên vì |f (z)| = 1 với mọi điểm z nằm trên biên

Định lý 1.3.7 Cho f là hàm chỉnh hình trên miền D Khi đó f có đạo hàmmọi cấp trên D, các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên D và đượccho bởi công thức

f(k)(z) = k!

2πiZ

γ

f (η)(η − z)k+1dη,với mọi k ∈ N, trong đó γ là chu tuyến quanh z sao cho Dγ ⊂ D

Với mọi điểm c ∈ D ta ký hiệu d := dc(D) là khoảng cách từ c đến biêncủa D Khi đó B(c, d) là đĩa lớn nhất có tâm c và nằm hoàn toàn trong D.Định lý 1.3.8 (Khai triển Taylor) Cho D là một tập mở khác rỗng trong C.Mọi hàm chỉnh hình f trong D được khai triển tại mỗi c ∈ D thành chuỗi lũythừa

Taylor được cho bởi

cn = f

(n)(c)

12πiZ

∂B

f (η)

với B := B(c, r) và 0 < r < d := dc(B)

Trường hợp khi hàm f là hàm khả vi phức vô hạn lần trong D và với mọi đĩa

B như trên ta có công thức tích phân loại Cauchy với mọi z ∈ B, ∀k ∈ N

f(k)(z) = k!

2πiZ

γ

f (η)(η − z)k+1dη

n

trong định lý khai triển Taylor được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (z) tại c

Ví dụ 1.3.9 a) Tìm khai triển Taylor của hàm f (z) = 1

z − 3 trong lân cậncủa điểm z0 = 1

1

1 − z − 1

2

= −12

∞

X

k=0

 z − 12

Một hàm chỉnh hình luôn có thể biểu diễn địa phương thành các chuỗiTaylor Nên có thể đưa ra một dạng của định lý đồng nhất như sau.

Định lý 1.3.10 (Định lý đồng nhất) Nếu f, g ∈ Hol(D) với điểm c ∈ D và

U là một lân cận cả c trong D sao cho f |U = g|U thì f |B(c,d) = g|B(c,d) trong

đó d := dc(D) là khoảng cách từ c đến biên của D

Một dạng định lý đồng nhất khác là hệ quả của công thức tích phânCauchy là: Nếu f, g là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của đĩa đóng B

0, , n − 1 Khi max |ηv+1− ηv| → 0, tồn tại giới hạn của họ tổng trên khôngphụ thuộc vào phép chia và cách chọn các điểm ηv∗ thì giới hạn đó được gọi

là tích phân của hàm f (z) theo đường cong γ từ A tới B và ký hiệu là:

< 

1.4.2 Định lý tích phân Cauchy

Trước hết, chúng tôi nhắc lại (không chứng minh) các định lý tích phânCauchy cho miền đơn liên và đa liên trong [1]

Định lý 1.4.3 (Định lý tích phân Cauchy cho miền đơn liên) Nếu hàm

f (z) = ω là chỉnh hình trong miền đơn liên D thì với mọi chu tuyến trơn từngkhúc γ ⊂ D ta có

Z

γ

f dz = 0

Tiếp theo, giả sử D là miền n−liên nếu biên của D gồm có chu tuyến ngoài

γ và các chu tuyến γ1, , γn−1 đôi một không giao nhau nằm trong Dγ, tứclà

f (z0) = 1

2πiZ

γ

f (η)

η − z0dη.

Chứng minh Giả sử γ là chu tuyến tùy ý quanh z0 sao Dγ ⊂ D Chọn p > 0

đủ bé để hình tròn B(z0, p) ⊂ Dγ Ký hiệu Γp là biên của B(z0, p) và đặt

Dγ,p = Dγ/B(z0, p)

Do Dγ,p là miền 2-liên, nên ta có R

γ∪Γ−p

f (η)

η − z0dη = 0, từ đó có đẳng thứcZ

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử X là không gian metric Khi đó

i) Hàm f : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên nếu

Mệnh đề 1.5.2 f : X → [−∞, +∞) là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu

ρ(x,x0)=δ

f (x))

với ρ là một khoảng cách trên X

Chứng minh Giả sử {x ∈ X : f (x) < α} là tập mở với mọi α ∈ R Ta sẽchứng minh lim sup

Thật vậy, với mọi α ∈ R, xét điểm bất kì x0 ∈ {x ∈ X : f (x) < α}

Vậy {x ∈ X : f (x) < α} là tập mở với mọi α ∈ R

Định lý 1.5.3 (Dini) Nếu {fn} là dãy đơn điệu giảm (t.ư tăng) các hàmnửa liên tục trên (t.ư nửa liên tục dưới) hội tụ điểm tới hàm liên tục f trênkhông gian compact X, thì dãy {fn} hội tụ đều tới f trên X

Chứng minh Chỉ cần chứng minh đối với trường hợp nửa liên tục trên Cho

 > 0, với mỗi n > 1, đặt

An = {x ∈ X : fn(x) − f (x) > }

Vì f liên tục, fn− f là nửa liên tục trên Do đó An là đóng với mọi n> 1 Hơnnữa do dãy {fn} đơn điệu giảm, dãy {An} cũng đơn điệu giảm Nếu An 6= ∅với mỗi n > 1, chọn xn ∈ An Khi đó dãy {xn} có dãy con {xnk} → x0, dotính compact của X Với mỗi số tự nhiên n, ta có

Bây giờ ta đi đến định nghĩa hàm điều hòa dưới như sau Trước hết, ta kíhiệu C2(D) là không gian hàm số trên D có đạo hàm cấp hai và liên tục.Định nghĩa 1.6.2 Một hàm h : D −→ R gọi là hàm điều hòa trên D nếu

là hàm điều hòa trên C

Nhớ lại rằng hàm giá trị phức h là chỉnh hình trên một miền D khi và chỉkhi nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D Sự tồn tại đạo hàm phức là mộtđiều kiện rất mạnh: Mọi hàm chỉnh hình đều khả vi vô hạn và được biểu diễnbởi chuỗi Taylor của nó Bây giờ ta xét hàm h(z) = f (z) + ik(z), khi đó ta đãbiết, hàm h chỉnh hình khi và chỉ khi h thỏa mãn điều kiện Cauchy Riemann:

Định lý 1.6.5 Nếu h điều hòa trên D và D là miền đơn liên thì h = Re fvới f là một hàm chỉnh hình trên D Hàm h là hàm duy nhất nếu không kểtới sự sai khác một hằng số.

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh tính duy nhất Nếu h = Re fvới hàm chỉnh hình f nào đó, ở đó f = h + ik, khi đó theo điều kiện Cauchy-Riemann ta có

f0 = hx+ ikx = hy − ihy (1.5)

Do đó, nếu f tồn tại, thì nó xác định duy nhất bởi các đạo hàm cấp một của

h và do đó là duy nhất nếu không kể tới sự sai khác một hằng số

Phương trình (1.5) chính là là một cách gợi ý để xây dựng hàm f như yêucầu

Thật vậy, đặt g = hy− ihy, khi đó g ∈ C(D) và g thỏa mãn điều kiện Riemann bởi vì hxx = −hyy (h là diều hòa) và hxy = hyx Vậy g là chỉnh hìnhtrong D Bây giờ cố định z0 ∈ D và xác định nguyên hàm f của g

Ở đó tích phân được lấy dọc theo đường cong nằm trong D nối liền từ z0 đến

z Do D là miền đơn liên nên theo Định lý Cauchy thì tích phân không phụthuộc vào đường cong lấy tích phân Theo cách xây dựng, f là chỉnh hình và

Ta có một hệ quả từ Định lí 1.6.5 cho ta tính khả vi vô hạn của hàm điềuhòa.

Hệ quả 1.6.6 Nếu h hàm điều hòa trên một miền D thì f ∈ C∞(D)

Hệ quả quan trọng khác của Định lý 1.6.5 cho ta một tính chất quan trọngcủa hàm điều hòa mà chính từ đó chúng ta sẽ sử dụng để đưa ra định nghĩacho lớp hàm điều hòa dưới sau này

Cho 4(w, r) là đĩa tâm ω bán kính r và ¯4(w, r) là bao đóng của đĩa tâm

ω bán kính r,

4(w, r) = {z : |w − z| < r},

¯4(w, r) = {z : |w − z| ≤ r}

Chứng minh Hàm h là điều hòa trên 4(w, r) với p > r nào đó Theo Định

lí 1.6.5, tồn tại một hàm chỉnh hình f trên 4(w, p) và h = Re f Theo côngthức tích phân Cauchy cho hàm f ta có

f (w) = 1

2πiI

|z−w|=r

f (z)

z − wdz.

Đưa vào tham số z = w + reiθ cho tích phân trên (θ chạy từ 0 đến 2π) với

dz = ireiθdθ, ta được

Bằng cách lấy phần thực hai bên của tích phân này ta có được điều phảichứng minh

Nhắc lại rằng mọi hàm chỉnh hình luôn xác định trên một miền bởi giá trị của

nó trong một lân cận của một điểm, đây cũng là một tính chất quan trọngcủa hàm điều hòa

Định lý 1.6.8 (Nguyên lí đồng nhất) Cho h là hàm điều hòa trên miềm Dtrong C Nếu h = 0 trên một tập mở U 6= ∅ của D thì h = 0 khắp nơi trongD

Chứng minh Xét g = hx− ihy, theo chứng minh Định lí 1.6.5, g là chỉnh hìnhtrong D Do đó h = 0 trên U là g Vậy theo Nguyên lí đồng nhất cho hàmchỉnh hình, g = 0 trên D và vì vậy hx = hy = 0 trên D Do đó h là hàm sốhằng trên D và vì nó bằng 0 trên U nên bằng 0 trên D

Chú ý 1.6.9 Nguyên lí đồng nhất cho hàm chỉnh hình là mạnh hơn theonghĩa, nếu f chỉnh hình trên D và triệt tiêu tại vô hạn điểm mà có giới hạnnằm trong D thì f triệt tiêu hầu khắp trên miền D Tuy nhiên, điều nàykhông đúng với trường hợp hàm điều hòa, chẳng hạn như hàm h = Re z triệttiêu trên trục ảo và chỉ trên đó

Định lý dưới đây khẳng định hàm điều hòa không có giá trị lớn nhất haygiá trị nhỏ nhất địa phương trên tập mở U trừ khi chúng là hằng số Hơnnữa, nếu một hàm điều hòa là âm hay dương trên biên của một tập mở U thì

nó sẽ âm hay dương trên khắp U

Định lý 1.6.10 (Nguyên lí cực đại) Cho h là một hàm điều hòa trên miền

D trong C Khi đó

a) Nếu h đạt cực đại địa phương trong D thì h là hằng số.

b) Giả sử D là miền bị chặn và h có mở rộng liên tục trên biên ∂D của D.Nếu h ≤ 0 trên ∂D thì h ≤ 0 khắp D

Chứng minh Giả sử h đạt cực đại địa phương trong D Tồn tại đĩa mở ˜4 saocho h ≤ M trong ˜4 với hàng số M nào đó Xét tập hợp K = {z ∈ ˜4 : h(z) =

M } Do h là liên tục, K là đóng trong 4 bởi vì tập hợp các điểm mà hàmliên tục đạt giá trị M là đóng Ngoài ra nó khác rỗng theo giả thiết Giả sửtồn tại một điểm biên ζ của K trong ˜4 Vì K là đóng, h(ζ) = M và ˜4 là tập

mở, nên tồn tại một đĩa 4(ζ, ρ) tâm ζ bán kính ρ sao cho 4(ζ, ρ) ⊂ ˜4 Tồntại tập điểm trên biên của đĩa 4(ζ, ρ) ở đó h < M (nếu không thì ζ khôngnằm trên biên của K) Lấy ζ + ρeiθ0 là một trong những điểm như vậy Bởi vìphần bù của K là một tập mở, tồn tại một lân cận của ζ + ρeiθ0 ở đó h < M

Do vậy, ta có thể chọn ε > 0 và δ > 0 sao cho |θ − θ0| < δ :

|θ−θ 0 |<δ

h(ζ + ρeiθ)dθ + 1

2πZ

|θ−θ 0 |≥δ

h(ζ + ρeiθ)dθ

Tích phân đầu tiên là không trội hơn 2δ(M − ε) theo (1.6) và tích phân thứhai không trội hơn (2π − 2δ)M bởi vì h ≤ M khắp ˜4 Khi đó ta đi tới kếtluận

h(ζ) < 1

2π[2δ(M − ε) + (2π − 2δ)M ] < M,điều này mâu thuẫn bởi cách xây dựng h(ζ) = M Vì thế K = {z ∈ ˜4 :h(z) = M } không thể có điểm biên trong ˜4 và do đó K = ˜4 Vậy h là hằng

số trên ˜4 Tiếp theo, bởi Nguyên lý đồng nhất trong Định lý 1.6.8, h là hằng

số trên D và phần a) được chứng minh

Để chứng minh b), quan sát rằng h là liên tục trên ¯D bởi giả thiết Từ ¯D

là compact, nên h phải đạt một giá trị lớn nhất (toàn cục) tại một số điểm

w ∈ ¯D Nếu ∈ ∂D thì h(w) ≤ 0 bởi giả thiết và vậy thì h ≤ 0 trên D Nếu

w ∈ D thì bởi phần a), h là hằng số trên D Vì thế h là hằng số trên ¯D mà

∂D là tập con và tiếp tục ta được h ≤ 0

Từ Nguyên lý đồng nhất ta suy ra nếu hai hàm điều hòa trùng nhau trongmột lân cận của một điểm thuộc miền D thì chúng trùng nhau khắp trong

D Bây giờ chúng ta có một tính chất mạnh hơn như sau Nếu hai hàm điềuhòa trùng nhau trên biên của một đĩa xung quang một điểm nằm trong D thìchúng trùng nhau khắp nơi trong D

Đầu tiên chúng ta chứng minh sự duy nhất mà kết quả được biết đến vớitên gọi là Định lý duy nhất sau đây

Định lý 1.6.11 (Định lí duy nhất) Cho D là một miền trong C và h1 và

h2 là hai hàm điều hòa có mở rộng liên tục lên biên ∂D của D Nếu h1 = h2trên ∂D khi đó chúng bằng nhau khắp nơi trong D

Chứng minh Xét hàm h = h1 − h2 Đây là hàm điều hòa và theo cách xâydựng thì h = 0 trên ∂D Khi đó theo Nguyên lí cực đại (Định lí 1.6.10), h ≤ 0trên D Áp dụng Nguyên lý cực đại cho hàm −h ta có h = 0 trên D vì thế

h1 = h2

Từ Định lý 1.6.11, ta đi đến hệ quả sau về tính duy nhất

Hệ quả 1.6.12 Cho D là một miền trong C và z ∈ D Nếu h1 và h2 là haihàm điều hòa trên D sao cho h1 = h2 trên biên của một đĩa tâm z trong Dthì chúng bằng nhau khắp nơi trong D

1.6.2 Tích phân Poisson

Trong mục trên ta đã biết một hàm điều hòa là xác định duy nhất bởi giátrị trên biên của miền (dưới giả thiết về mở rộng liên tục lên trên biên) Mộtvấn đề tự nhiên đặt ra là tìm ra biểu thức của hàm điều hòa từ giá trị của nótrên biên Một bài toán được biết đến tổng quát hơn đó là Bài toán Dirichletđược định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.6.13 Cho D là một miền trong C và hàm φ : ∂D −→ R làhàm liên tục Bài toán Dirichlet là bài toán tìm hàm điều hoà h trên D saocho

lim

z→ζh(z) = φ(ζ) với ∀ζ ∈ D

Theo Định lý duy nhất 1.6.11 thì nghiệm Bài toán Dirchlet là nghiệm duynhất Tính tồn tại của nghiệm được chứng minh khó khăn hơn cả Chúng ta

sẽ giải Bài toán ở trong một trường hợp quan trọng đó là miền tròn (đĩa), khi

đó câu trả lời thu được là khả quan và tường minh bằng cách sử dụng NhânPoisson

Bây giờ chúng ta xét bài toán tìm hàm điều hòa trên một đĩa khi biết giátrị trên biên của đĩa đã cho Trước hết ta có định nghĩa về Nhân Poisson nhưsau

Định nghĩa 1.6.14 Hàm thực của hai biến biến phức z và ζ xác định bởi

Chúng ta đi tới một số tính chất cơ bản của Nhân Poisson như sau

Bổ đề 1.6.15 (Tính chất của Nhân Poisson) Ta có

a) P (z, ζ) > 0 với |z| < 1 và |ζ| = 1;

b) 2π1 R02πP (z, eiθ)dθ;

c) sup|ζ−ζ0|P (z, ζ) → 0 khi z → ζ0, (|ζ0| = 1 và δ > 0

Chứng minh Phần a) và c) là hiểu nhiên, chẳng hạn đối với phần c) ta thấy

z tiến đến ζ0 phần tử thức của định nghĩa Nhân Poisson tiến đến 0 và phầnmẫu thức bị chặn bởi bất đẳng thức tam giác |z − ζ| ≥ |ζ − ζ0| − |z − ζ0|

Ta sẽ chứng minh phần b) Ta thấy

12π

|ζ|=1

ζ + zdζ

ζ − zζ



Bởi vì

ζ + z(ζ − z)ζ =

2

ζ − z − 1

ζ,nên b) được suy từ Công thức tích phân Cauchy

f (z) = 1

2πi

I f (ζ)dζ

ζ − zcho hàm chỉnh hình

Nhân Poisson là xác định với z nằm trong đĩa đơn vị tại gốc tọa độ Bằngcách biến đổi biến u = z−wρ có thể lập một ánh xạ từ một đĩa tâm w bán kính

ρ trong mặt phẳng z lên đĩa đơn vị tâm tại gốc tọa độ trong mặt phẳng u.Điều này dẫn tới định nghĩa sau

Định nghĩa 1.6.16 Cho φ : ∆(w, ρ) → R là hàm liên tục Khi đó tích phânPoisson P∆φ xác định bởi

Trong tọa độ cực đối với z thuộc đĩa tâm tại w biểu thức trên có dạng

Bổ đề 1.6.17 (Tính chất của tích phân Poisson) Ta có

a) P∆φ là điều hòa trên ∆ (khẳng định này cũng đúng với φ khả tích Lebesgue).b) lim

P (z, eiθ)φ(eiθ)dθ

Sử dụng tính chất a) và b) của Nhân Poisson

P (z, eiθ)|φ(eiθ) − φ(ζ0)|dθ

Ta tách tích phân thành hai phần, một là trên miền các định của θ với

|eiθ− ζ0| < δ và phần còn lại Cho ε > 0 nhỏ tùy ý, ta có thể chọn nhỏ hơn đềphù hợp với δ Điều này có được bởi vì φ là liên tục Với mỗi δ cố định thì sốhạng sau đó dần đến 0, khi z tiến dần đến ζ0 theo tính chất c) của tích phânPoisson Bởi vì ε > 0 tùy ý, nên giới hạn trong phần b là khẳng định

Một hệ quả của Bổ đề 1.6.17 đó là xác định được tường minh giá trị củahàm điều hòa từ giá trị trên biên của đĩa Kết quả cơ bản này là tương tựnhư Công thức tích phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình

Định lý 1.6.18 (Công thức tích phân Poisson) Nếu h là hàm điều hòa trênmột lân cận của đĩa ¯∆(w, ρ) thì với r < ρ, nghĩa là bên trong của đĩa ta có

Chứng minh Bởi vì h là điều hòa trong một lân cận của ¯∆(w, ρ) nên nó liêntục trên biên ∂∆ Ta kí hiệu hạn chế này trên ∂∆ bởi φ, nghĩa là φ = h|∂∆.Theo trên, P∆φ(z) là điều hòa trên ∆, mở rộng liên tục lên trên biên của ∆

và trùng với h Do đó, theo Định lý duy nhất 1.6.11 ta có h = P∆φ

Viết Công thức tích phân Poisson tại tâm của đĩa, nghĩa là r = 0, ta đượctính chất giá trị trung bình của hàm điều hòa mà ta đã thiết lập trước đó

Do đó Công thức tích phân Poisson có thể được xem như dang tổng quát củagiá trị trung bình

Công thức tích phân Poisson cho ta bất đẳng thức hữu ích sau đây chohàm điều hòa dương Chú ý nếu một hàm điều hòa không âm đạt được giátrị nhỏ nhất 0 trên miền, thì nó bằng 0 khắp nơi trên miền đó Vì vậy lớp cáchàm điều hòa không âm trên một miền bao gồm tất cả hàm số dương và hàmđồng nhất bằng không

Định lý 1.6.19 (Bất đẳng thức Harnack) Cho h là một hàm điều hòa dươngtrên đĩa ∆(ω, ρ) tâm ω bán kính ρ Khi đó với r < ρ và mọi t ta có

ρ − r

ρ + rh(ω) ≤ h(ω + re

it) ≤ ρ + r

ρ − rh(ω),nghĩa là giá trị của h trong đĩa ∆(ω.ρ) bị chặn dưới và trên bởi bội của giátrị của h tại tâm ω của đĩa, với cả hai cận chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tớitâm

Chứng minh Cho s túy ý, r < s < ρ và áp dụng công thức tích phân Poisson

vào trên δ(ω, s) Bởi vì h là dương, nên ta có

Hệ quả 1.6.20 (Định lí Liouville) Mỗi hàm điều hòa trên C bị chặn trênhoặc bị chặn dưới đều là hằng số

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh mọi hàm điều hòa dương trên C là hằng

số Thật vậy, lấy h là dương và điều hòa trên C Áp dụng Bất đẳng thứcHarnack với ∆(0, ρ), ta có

Hệ quả 1.6.21 Cho D là một miền trong C và z, ω ∈ C Khi đó tồn tại một

số τ sao cho đối với mỗi hàm điều hòa dương trên D ta đều có

Chứng minh Cho z, ω ta viết z ∼ ω nếu tồn tại τ sao cho (1.7) thỏa mãncho tất cả các hàm điều hòa dương trên D Rõ rằng ∼ là một quan hệ tươngđương Tức là:

Định nghĩa 1.6.22 (Khoảng cách Harnack) Cho D là một miền trong C.Cho z, ω ∈ C, khoảng cách Harnack giữa z và ω là một số nhỏ nhất τD(z, ω)sao cho mỗi hàm điều hòa dương h trên D ta có

τD(z, ω)−1h(ω) ≤ h(z) ≤ τD(z, ω)h(ω)

Khoảng cách Harnack là một khái niệm hữu ích và có thể sử dụng để dãntới một định lí quan trọng về hội tụ các hàm điều hòa dương dưới đây Tuynhiên, chúng ta sẽ tóm tắt kết quả này trong điều kiện cho phép Chúng ta

sẽ chỉ xét hai tính chất quan trọng sau

Bổ đề 1.6.23 (Tính chất của khoảng cách Harnack) Ta có

a) Nếu D1 ⊂ D2 thì τD2(z, ω) ≤ τD1(z, ω) với mọi z, ω ∈ D1

b) Nếu D là miền con của C thì ln τD(z, ω) là một nửa metric liên tục trên

D (liên tục có nghĩa là ln τD(z, ω) → 0 khi z → ω)

Chúng ta sẽ kết thúc mục này với một số kết quả quan trọng về hội tụ củadãy hàm điều hòa Phép chứng minh chúng có thể xem trong tài liệu [6].Trước hết là kết quả từ sự hội tụ đều địa phương của dãy hàm điều hòa

ta có hàm giới hạn cũng điều hòa như sau

Định lý 1.6.24 Nếu {hn}n≥1 là một dãy hàm điều hòa trên D hội tụ đềuđịa phương đến h thì h cũng là điều hòa trên D.

Một dãy không tăng các hàm điều hòa luôn hội tụ (đều địa phương), đây

là kết quả biết tới gọi là Định lý Harnack như sau

Định lý 1.6.25 (Định lí Harnack) Cho {hn}n≥1 là một dãy không tăng củahàm điều hòa trên một miền D, nghĩa là h1 ≤ h2 ≤ h3 ≤ Khi đó hn → ∞đều địa phương hoặc hn → h đều địa phương với h là hàm điều hòa

Đối với dãy điều hòa dương, ta chỉ có thể đảm bảo cho sự hội tụ của dãycon như sau

Định lý 1.6.26 Cho {hn}n≥1 là dãy điều hòa dương trên một miền D Khi

đó hn → ∞ đều địa phương hoặc tồn tại một dãy con hnj → h đều địa phươngvới h là hàm điều hòa

đó phục vụ cho việc nghiên cứu những chương sau.

Trong lý thuyết thế vị nói chung, để định nghĩa hàm điều hòa dưới, người

ta có hai cách tiếp cận Phương pháp thứ nhất yêu cầu hàm u thỏa mãn điềukiện

uxx+ uyy > 0,theo định nghĩa phân bố (mà chúng ta sẽ không trình bày ở đây), đây cũng

là cách tiếp cận tự nhiên theo nghĩa đã định nghĩa hàm điều hòa Cách thứhai là thông qua một tính chất phụ, kết hợp với tính chất giá trị trung bình.Chúng ta sẽ đi theo cách tiếp cận thứ hai

2.1 Hàm điều hòa dưới

Trước hết, chúng nhắc lại rằng mỗi hàm điều hòa là liên tục, tuy nhiênhàm hàm điều hòa dưới không bắt buộc phải là liên tục Bởi tính liên tụccủa hàm không còn được bảo toàn khi qua phép tính lấy giới hạn, chẳng hạnthông qua phép lấy giới hạn bất đẳng thức uxx+ uyy > 0 Vì vậy, chúng tacần tới một điều kiện nhẹ hơn để đi tới định nghĩa của hàm điều hòa dưới

một cách có ý nghĩa, đó là tính nửa liên tục được định nghĩa dưới đây.

Ta đã biết rằng một hàm f trên một metric X được gọi là liên tục tại xnếu cho bất kì ε dương nào ta có thể tìm thấy một hình cầu ∆(x, δ) tâm xbán kính δ

∆(x, δ) = y : ρ(x, y) < δsao cho

f (x) − ε 6 f (y) 6 f (x) + ε, ∀y ∈ ∆(x, δ)

Các bất đẳng thức ở trên yêu cầu cả hai chiều Chúng ta sẽ nói hàm f là nửaliên tục nếu bất đẳng thức nói trên chỉ thỏa mãn một phía Cụ thể ta có địnhnghĩa về hàm nửa liên tục trên như sau

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm f : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tụctrên tại xX nếu với mọi ε dương bất kỳ cho trước, ta đều tìm được một δdương sao cho

ii) Hàm f là nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi tập {x ∈ D : f (x) 6 α}

mở trong D với mọi α ∈ R

iii) Rõ ràng mọi hàm liên tục đều liên tục trên Dưới đây là một vài ví dụ vềcác hàm nửa liên tục trên nhưng không liên tục

Ví dụ 2.1.5 a) f (x) = lim |z|, z ∈ C (lưu ý rằng f không liên tục tại z = 0).b) Với mọi x ∈ R hay C, đặt

d) Các hàm đặc trưng của một tập đóng trong D

Rõ rằng, nếu f và g là hàm nửa liên tục trên thì tổng của chúng là (f + g)

và giá trị lớn nhất max(f (z), g(z)) cũng là hàm nửa liên tục trên

Định lý 2.1.6 Giả sử f là hàm nửa liên tục trên Khi đó f bị chặn trên trênmọi tập compact và đạt biên trên của nó trong mỗi tập compact

Chứng minh Phép chúng minh dựa theo ý tưởng chúng minh Định lý Weierstrass cho các hàm liên tục

Bozano-Thật vậy, giả sử M = sup

x∈K

f (x), ở đó M có thể là +∞ Theo định nghĩa củasup, tồn tại một dãy (xn) sao cho f (xn) → M , khi n → ∞ Nếu K-compactthì (xn) chứa một dãy con hội tụ đến một điểm x ∈ X Từ đó theo (2.1) khi

M 6 f (x), do đó M là hữu hạn

Mặt khác do f (x)6 M trên K, vậy ta có f (x) = M

Định lý 2.1.7 (Xấp xỉ đơn điệu bằng các liên tục) Nếu f là hàm nửa liêntục trên và bị chặn trên tập X thì tồn tại dãy các hàm liên tục trên fn saocho f1 > f2 > f3 > · · · > fn > · · · và f = lim

n→∞fn trên X Ở đó sự hội tụ làhội tụ điểm

Chứng minh Trong trường hợp suy biến f = −∞ ta chỉ đơn giản lấy f = −n.Giả sử f 6= −∞, khi đó ta định nghĩa

từ đó fn liên tục trên X với mọi n

Bây giừo ta đổi vai trò x và ω ta được

Cuối cùng, ta chứng minh fn hội tụ đến f Cố định x, khi đó theo định nghĩacủa fn, ∀n, ta tìm được xn sao cho

fn− 1

n 6 fn(xn) − n.ρ(xn, x) (2.4)Sao khi sắp xếp lại đối với ρ(xn, x) ta được

Định nghĩa 2.1.8 Giả sử U là một tập con mở của C Một hàm u được gọi

là điều hòa dưới nếu u là nửa liên tục trên và thỏa mãn bất đẳng thức dướitrung bình địa phương Cụ thể, với mọi ω ∈ U bất kỳ, tồn tại p > 0 sao cho

Định lí sau đây cho chúng ta một lớp ví dụ quan trọng của hàm điều hòadưới.

Định lý 2.1.10 Nếu f là chỉnh hình trên D khi đó ln |f | là điều hòa dướitrên D

Chứng minh Dễ thấy ln |f | là nửa liên tục trên, vì vậy chỉ cần chứng minhtính chất giá trị trung bình địa phương

Thật vậy, xét một điểm ω ∈ D Nếu f (ω) 6= 0, khi đó ln |f | là hàm điều hòagần ω và do đó (2.5) được suy ra từ tính chất giá trị trung bình của hàm điềuhòa

Trường hợp f (ω) = 0 thì |f (ω)| = −∞ và (2.5) hiển nhiên thỏa mãn

Chú ý 2.1.11 Nếu u là hàm điều hòa dưới thì αu + βu, ∀α, β > 0, max(u, v)

là các hàm điều hòa dưới

Kết quả sau đây là trọng tâm và là một mở rộng của tính chất tương ứngcủa hàm điều hòa tới các hàm điều hòa dưới

Định lý 2.1.12 (Nguyên lý cực đại) Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên mộtmiền D trong C Khi đó

a) Nếu u đạt giá trị lớn nhất (toàn cục) trên D thì u là hằng số;

b) Nếu D là bị chặn và lim

z→ξsup u(z) 6 0, ∀ξ ∈ ∂D thì u 6 0 trên D

Chứng minh Giả sử u đạt giá trị lớn nhất (toàn cục) là M trên D Đặt

A = z ∈ D : u(z) < M

K = z ∈ D : u(z) = M Tập A mở vì u là nửa liên tục trên Tập K cũng mở vì tính chất dưới trungbình cho các hàm điều hòa dưới bởi vì với mọi đường tròn đủ nhỏ tâm z ∈ Kphải nằm trong K, nếu không thì có một đường tròn giao với A, nhưng vì

A mở nên phần giao chứa một đoạn có độ dài hữu hạn và ta được theo tínhchất dưới trung bình của tích phân nó không thể vượt quá 2πM

Mặt khác, theo giả thiết A và K là phủ D Từ đó vì D liên thông nên mộttrong hai tập hợp phải là tập ∅ Nhưng theo giả thiết thì tập hợp K khôngrỗng do đó A = ∅, vậy phần a) được chứng minh

Để chứng minh phần b), giả sử ta mở rộng u đến biên của D bởi cách đặt

u(ς) = lim sup

z7→ς

u(z), ς ∈ ∂D

Khi đó do u là nửa liên tục trên D, nên D là compact, theo Định lý 2.1.6hàm u đạt giá trị lớn nhất trên D Khi đó theo a) ta được u = 0 trên D.Cuối cùng nếu điểm cực đại nằm trên biên của D thì u = 0 trên D

Chú ý 2.1.13 So sánh các hàm điều hòa và điều hòa dưới chúng ta thấy:i) Tính chất cực đại địa phương nói đến cho hàm hàm điều hòa còn cực đạitoàn cục nói tới cho hàm điều hòa dưới

ii) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất cho hàm điều hòa những đối với hàm điềuhòa dưới chỉ nói đến giá trị lớn nhất

iii) Hàm điều hòa dưới u = max(Re z, 0) đạt được cực đại địa phương và cựctiểu toàn cục nhưng không phải là hằng số

Định lý dưới đây giải thích thuật ngữ hàm điều hòa dưới

Định lý 2.1.14 Giả sử D là một miền bị chặn trong C Nếu u là hàm điềuhòa dưới và h là hàm điều hòa trong D thì

lim sup

z7→ς (u − h)(z) 6 0, ∀ς ∈ ∂D ⇒ u 6 h trên D (2.6)Chứng minh Vì u − h là hàm điều hòa dưới nên theo kết quả từ nguyên tắcgiá trị lớn nhất cho hàm điều hòa dưới, phần b) của Định lý 2.1.12

Ta nhớ lại rằng các hàm điều hòa có thể biểu diễn thông qua Công thứctích phân Poisson Tương ứng như vậy, ta có kết quả sau cho thấy hàm điềuhòa dưới bị chặn trên bởi tích phân Poisson