Công thức cộng, biến đổi.. 1.[r]
Trang 1D¹ng 1: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c c¬ b¶n
Lo¹i 1 Biện luận theo k
1 sin (cosx) = 1
2 cos(8sinx) = -1
3 tan(cosx ) = cot( sinx)
4 cos(sinx) = cos(3sinx)
5 tan( cosx) = tan(2 cosx)
6 sin x2 = 1
2
8 cot(x2 + 4x + 3) = cot6
9 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cosx2 cos (x 1 ) 2
10 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
sinx2 sin (x2 2x)
11 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos ( 2 2 1 / 2 ) sin 2 0
Lo¹i 2 Công thức hạ bậc
1 4cos2(2x - 1) = 1
2 2sin2 (x + 1) = 1
3 cos2 3x + sin2 4x = 1
4 sin(1 - x) =
2 3
5 2cosx + 1 = 0
6 tan2 (2x –
3
) = 2
7 cos2 (x –
5
) = sin2(2x + 4
5
)
Lo¹i 3 Công thức cộng, biến đổi
1 sin2x + cos2x = 2sin3x
2 cos3x – sinx = 3(cosx –sin3x )
2
1 5 sin 2
3 ) 3 2 cos( x x x
4 sin3x = 2cos(x – /5) + cos3x
5 sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2cos7x
6 Tìm tất cả các nghiệm x ; )
2
3 (
của pt: sinxcos8 + cosxsin8 = 1
2 Lo¹i 4 Bài toán biện luận theo m
1 Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m
2 3cos23x = m
3 sin3x + cos3x = m
4 m.sin2 2x + cos4x = m
5 Giải và biện luận
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x
6 Giải và biện luận
(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m
7 Giải và biện luận
cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
8 Cho pt sin4x + cos4x = m a) Xác định m để pt có nghiệm b) Giải pt với m = ¾
Lo¹i 5 Tổng hợp
1 cos22x – sin28x = sin( 10x
2
17
)
2 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
x
x
cos 2 sin
1
2
sin
4 cos1x sin12x sin24x
5 Tìm tất cả các nghiệm x ; 3 )
2 (
của pt:
sin(2x + )
2
7 cos(
3 ) 2
x = 1 + 2sinx
6 Giải pt:
4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3cos4x = 3
8 ( cos 2 ) 8 cos(
) 8 sin(
3
x
3 x)cos(
-3 cos(
x (sin 4
8 4sin32x + 6sin2x = 3
9 Tìm nghiệm nguyên của pt:
1 ) 800 160
9 3 ( 8
x
hµm sè l îng gi¸c
Trang 21/ 2cos2x - 4cosx =1
sinx 0
2/ 4sin3x + 3 2sin2x = 8sinx 3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0
5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx = 1
3)
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + 3
cotx - 2 = 0
b / 42
cos x + tanx = 7 c/sin6x + cos4x = cos2x 8/ sin(2x +5π
2 ) - 3cos(
7 2
x ) = 1 + 2sinx 9/ sin x - 2sinx + 2 = 2sinx -12 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
11/ tanx + cotx = 4 12/
sin 2x + 4cos 2x -1 = 0 2sinxcosx
13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
15/ 4sin 22 6sin4 9 3cos2 0
cos
x
16/ 2cosx - sinx = 1
17 sin x cos x4 4 1
2
19 sin x sin4 4x 4 14
20.sin x sin x2 2 2 sin x2 2 3
21 sin x cos x6 6 5sin x cos x4 4
6
2
sin x cos x sinxcosx 0
23 sin x cos x sin x cos 4x4 4 4 4 4 24 1 4 4 2 2
2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx
25 cos xcos3x sin xsin3x=3 3 2
4
25 cos 4x cos xcos3x sin xsin3x3 3 3
Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1 Nhận dạng:
2 Ph ơng pháp:
Đăc biệt :
a.sinx b.cosx c
Cách 1: asinx + bcosx = c
Đặt cosx= 2a 2
a + b ; sinx= 2 2
b
a + b
a + b sin(x +α) = c
Cách 2: a sinx + cosx = cb
a
Đặt b = tanα a sinx +cosx.tanα = c
a
Cách 3: Đặt t = tanx
2 ta có
2
2t 1- t sinx = ; cosx =
1+ t 1+ t
2
(b + c)t - 2at - b + c = 0
Trang 31 sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )π π
2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
x x x x
3 sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )π π
giải phơng trình:
1 3 cosx sinx 2 , 2 cosx 3 sinx 1
3 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x 3 , 4 sin x cos (x4 4 ) 1
5 3(1 cos2 ) cos
2sin
x , 6 sin 2 sin2 1
2
7 3sinx + cosx = 1
cosx 8 tanx 3cotx4(sinx 3 cos )x
9 cos7x - 3sin7x + 2 = 0 ; x (2π 6π; )
5 7
10 2sin15x + 3cos5x + sin5x = 0 (4)
2
6
11 sinx +3cosx + = 6
4sinx +3cosx +1 12
1 3sinx + cosx = 3+
3sinx + cosx +1
13 ( cos2x - 3sin2x) - 3sinx – cosx + 4 = 0 14 cosx - 2sinx.cosx = 32
2cos x + sinx -1
15 1+ cosx + cos2x + cos3x2 = (3- 3sinx)2
2cos x + cosx -1 3 16.cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
17 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a y = 2sinx + 3cosx + 1 b y 1 cosx
sinx cosx 2
c y 2 cosx
sinx cosx 2
1 Nhận dạng:
Giải phơng trình
1
3sin2x - 3sinxcosx+2cos2x =2 2 4 sin2x + 3 3sinxcosx - 2cos2x=4
3 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4 sinx - 4sin3x + cosx = 0
5 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3)cos2x – 5 - 3 = 0
6 (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7 sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2) a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx 0 (3)
Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x + bsinx.cosx + c cos 2 x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx0, chia 2 vế cho cos2x ta đợc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bcos 3 x + c(sinx + cosx) = 0
Hoặc asin 3 x + b.cos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x = 0
Xét cos3x = 0 và cosx0, chia 2 vế cho cos3x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx
Trang 410 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11 2cos3x = sin3x
12 cos3x - sin3x = cosx + sinx 13 sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14 sin3(x - /4) = 2sinx
Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1 Nhận dạng:
2 Ph ơng pháp:
1 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2 sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3 sin2x 2 sin x 4 1
1 1 + tanx = 2sinx + 1
cos x 2 sin x + cosx=
1 tanx -
1
cot x
3 sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4 1- sin3x+ cos3x = sin2x
5 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6 2sin2x(sin x + cosx) = 2
7 (1+sin x)(1+cosx)=2 8 2(sin x + cosx) = tanx + cotx
9 1 + sin3 2x + cos32x = 32 sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12 sinx cosx 4sin 2x1 13 sinxcosx + sinx + cosx = 1
14 cosx + 1
cosx + sinx +
1 sinx = 103
Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phơng trình
1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2(π 5x+
4 2 ) - 2cos2
9 2
x
5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - 3cos3x 7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x
9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
a sinx cosx b.sinxcosx c
a sinx cosx b.sinxcosx c
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t 2
at + b
2
t -1
2 = c bt2 + 2at – 2c – b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t 2
at + b
2
1- t
2 = c bt
2 - 2at + 2c – b = 0
Công thức hạ bậc 2 cos2x = 1 cos 2
2
x
; sin2x= 1-cos2x
2 Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cosx + cos3x
4 ; sin3x=
3sinx -sin3x 4
Trang 511/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + π
3) = cos3x 13/ sin5x
5sinx = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix (0;π)
18/ sin24x - cos26x = sin(10,5π +10x) vớix (0; )π
2
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3cos4x = 3
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2(
4 2
x
) - 7
2 với x -1 < 3 21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0
22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
Dạng 7: Ph ơng trình l ợng giác bậc cao
Giải phơng trình
1 sin4
2
x
+cos4
2
x
=1-2sinx 2 cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
3 cos3x+ sin3x= cos2x 4 sin x + cos x4 4 = (tanx + cotx)1
5 cos6x - sin6x = 13
8 cos22x 6 sin4x + cos4x =
7πcot(x + )cot( - x)π
7 cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8 cos3x + sin3x = cosx – sinx
9 cos6x + sin6x = cos4x
10 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
11 cos8x + sin8x = 18 12 (sinx + 3)sin4x
2 - (sinx + 3)sin2
x
2 + 1 = 0
Dạng 8: Ph ơng trình l ợng giác biến đổi về tích bằng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3
2 sin2x + 2cos
2x + 6cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/ sin3 sin 5
9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = cosx1
10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5
4cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x - 1
sinx = 2cos3x + cosx 1 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - cosx1 ) = 0
* a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4)
Trang 616/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0
18/ sin2x = 1+ 2cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 1-cos2x2
sin 2x
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + sin2x1 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 24/ 2 2 sin(x + )π
4 =
sinx cosx 25/ 2tanx + cotx =
2 3
sin 2x
26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8