(SKKN HAY NHẤT) sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan nhưkết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượnggiác có n nghiệm trên miền D là cá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THPT LÊ LAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Người thực hiện: Phạm Chí Đạt Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Mục lục Trang

1 Mở đầu………1

1.1 Lí do chọn đề tài……….….1

1.2 Mục đích nghiên cứu……….… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…….1 1.4.Phương phpas nghiên cứu……… ……….1

1.5.Những điểm mới của SKKN……… …… 2

2.Nội dung……… 2

2.1.Cơ sở lý luận của SKKN……… 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dung SKKN ……….4

2.3.Các SKKN áp dụng……… ……4

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……….……….……… … ……… 15

3 Kết luận, kiến nghị……….……….…….15

3.1 Kết luận……… 15

3.2 Kiến nghị……… ……….15

1 Mở đầu.

1.1 Lí do chọn đề tài

Giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan nhưkết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượnggiác có n nghiệm trên miền D là các nội dung cơ bản nhất và quan trọng trongbài toán giải phương trình lượng giác Tuy nhiên hiện nay học sinh thường sửdung máy tính cầm tay để giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp,nhưng cách này làm mất bản chất toán học, thậm chí học sinh không còn biết gì

về giá trị lượng giác của một cung và những vấn đề liên quan như việc kết hợpcác họ nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên miền D

Sử dụng đường tròn lượng giác để lấy nghiệm giúp học sinh hiểu rõ bản chấtcủa việc lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản, từ đó có thể mở rộng, nângcao cho bài toán kết hợp nghiệm trên đường lượng giác và tìm tham số đểphương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D Đó chính là lí do tôi viếtSKKN “Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bảnthường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích tổng quát là làm rõ bản chất giá trị lượng giác của các cung(góc)lượng giác Mục đích cụ thể giúp học sinh hiểu được và giải được nhanh chóng,chính xác, dễ dàng phương trình lượng giác cơ bản thường gặp Biết kết hợp các

họ nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu),biết viết gọncác họ nghiệm của một phương trình lượng giác, biết tìm được tham số đểphương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Là cách lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác

Hiện tượng thuộc phạm vi nghiên cứu là cách viết số đo cung lượng giác khibiết điểm cuối của cung, cách kết hợp các họ nghiệm, cách đếm số nghiệm củamột phương trình lượng giác cơ bản trên miền D

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như phương pháp quansát khoa học, phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

1LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

1.5 Những điểm mới của SKKN.

Bằng trực giác cụ thể khi nhìn vào đường tròn lượng giác ta lấy được nghiệmphương trình lượng giác cơ bản thường gặp một cách nhanh chóng, kết hợpđược các họ nghiệm với nhau để đưa ra nghiệm gọn nhất và chính xác nhất (đốivới những phương trình lượng giác có điều kiện) hay căn cứ đường tròn lượnggiác sẽ biết cách đếm số nghiệm của một phương trình lượng giác cơ bản trênmiền D, từ đó giải được bài toán tìm tham số để phương trình lượng giác cóđúng n nghiệm trên D

2 Nội dung SKKN2.1 Cơ sở lý luận của SKKN

2.1.1 Đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác

a)Đường tròn định hướng: Là đường tròn trên đó đã chọn một chiều chuyểnđộng là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước ngược chiều kimđồng hồ là chiều dương

b)Cung và góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm O cho 2 điểm A ,B.Một điểm M di chuyển trên đường tròn theo một chiều từ A đến B tạo nên cunglượng giác có điểm đầu(điểm gốc) là A, điểm cuối là B Kí hiệu

Như vậy với 2 điểm A ,Btrên đường tròn định hướng có vô số cung lượng giáclượng giác khác nhau nhận A là điểm đầu, B là điểm cuối

Khi đó tia OM tạo ra góc lượng giác, tia đầu OA, tia cuối OB Kí hiệu: (OA ,OB)

2.1.2 Đường tròn lượng giác

Trên mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm

O(0 ; 0), bán kính bằng 1 Giao giữa đường tròn lượng giác với các trục Ox ,Oy là

A (1 ;0) , A ' (−1 ; 0) ,B (0 ;1) ,B ' (0 ;−1) và đường tròn được chia thành cung phần tư thứ

( I ), ( II ) , (III ) ,( IV ) như hình vẽ.

1 B (II)

2.1.3 Đơn vị đo cung(góc) lượng giác

Ngoài đơn vị đo là độ, ta có đơn vị đo rađian với 10= 180π rađian Khi viết đơn vị đo

là rađian ta không ghi chữ rađian đằng sau, chẳng hạn cung π2 được hiểu là π2 rađian

.2.1.4 Giá trị lượng giác của một cung lượng giác

Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM =α(điểm gốc cung α ởđiểm cuối ở M ), khi đó cung lượng giác αcó 4 giá trị lượng giác là:

+) sin α = tung độ điểm M = OK (độ dài đại số đoạn OK )+) cos α = hoành độ điểm M = OH (độ dài đại số đoạn OH )

đủ số nghiệm trên miền D thì học sinh gặp khó khăn không làm được Khi các emghi nhớ được hình ảnh đường tròn lượng giác với đầy đủ các giá trị lượng giác củacác cung thường gặp thì việc lấy nghiệm phương trình lượng giác rất dễ dàng,nhanh chóng và dùng hình ảnh đường tròn lượng giác đó để giải quyết các bài toánnâng cao hơn như giải phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu) hay bàitoán tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D.

2.3 Các SKKN áp dụng

2.3.1 Viết số đo cung lượng giác khi biết vị trí điểm cuối của cung

Bài toán1: Cho một điểm M trên đường tròn lượng giác, hãy viết số đo các cunglượng giác nhận M là điểm cuối

Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là M , giả sử

là cung α(nên tính α là cung dễ tìm nhất, thường là đó là cung được xác định khi dichuyển một điểm từ A đến M lần thứ nhất, chọn chiều di chuyển ¿ hoặc ¿ sao chongắn nhất)

Bước 2: Khi đó số đo các cung lượng giác luôn nhận M là điểm cuối là:

sđ AM=α+ k 2 π (k ∈ Z )

4

VD1: Cho các cung lượng giác AM có điểm cuối M như hình vẽ, biết điểm M ở vị trí1

3 cung thứ ( I) gần A

y M

O A x

Hãy viết số đo các cung lượng giác đó

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận M là điểm cuối là α= π

6 (α được xác địnhkhi di chuyển một điểm trên đường tròn theo chiều ¿ từ A đến M lần thứ nhất rồidừng)

Khi đó sđ AM= π

6 + k 2 π (hoặc sđ AM =30 o +k 360 o)VD2: Viết số đo các cung lượng giác nhận B ' (0 ;−1) là điểm cuối

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận B ' là điểm cuối là α=−

2π (α được xácđịnh khi di chuyển một điểm trên đường tròn theo chiều ¿ từ A đến B 'lần thứ nhất)

Khi đó sđ A B '=−

2π +k 2 π.VD3: Viết số đo các cung lượng giác có điểm cuối là điểm A

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận A là điểm cuối là α=0(α được xác định khi di chuyển một điểm trên đường tròn từ A đến A lần thứ nhất)

Khi đósđ A A ' =k 2 π Bài toán 2(bài toán tổng quát): Cho các điểm M 1 , M2 ,…,M n nằm cách đều nhau trênđường tròn lượng giác, hãy viết số đo các cung lượng giác nhận M 1 , M 2 ,…,M n làđiểm cuối

5LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm cuối là một trong các điểm

M 1 , M2 ,…,M ntrên, giả sử là cung α (nên tính α là cung dễ tìm nhất như bài toán 1) Bước 2: Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là: α +k 2

Bài toán: Tìm điểm cuối các cung lượng giác α +k 2

n π ¿)Lần lượt thay k =0 ;k =1;; k=2 … ,k=n, tìm các điểm cuối các cung tương ứng trênđường tròn cho đến khi điểm cuối trùng lại các điểm đã tìm thì thôi Lưu ý với n≥ 3

các cung 2 π có n điểm cuối là các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường

n

tròn lượng giác

VD6: Tìm các điểm cuối của các cung π +k 2 π

4

Các cung π4 +k 2 π có điểm cuối trùng nhau(ở chính giữa cung (

I) ¿ VD7: Tìm các điểm cuối của các cung π4 +k π

2.3.3 Sử dụng đường tròn lượng giác để giải các phương trình lượng giác cơ bản

thường gặp

a) Giải phương trình sinx=a;cosx=a

- Với a là các giá trị thường gặp: 0 ;± 1

2 ;± √

22 ;± √

23 ;± 1, khi đó các cunglượng giác có hoành độ hoặc tung độ của điểm cuối bằng a được ghi trên đườngtròn lượng giác như hình vẽ

7

α +k

2 5

2 3

-2

Hình 1

Để giải phương trình và học sinh cần ghi nhớ hình ảnh của đường

tròn lượng giác trên cùng với tất cả các thông tin trên đường tròn, sau đó theo định

nghĩa giá trị lượng giác sin và cosin kết hợp với bài toán viết số đo cung lượng giác

khi biết vị trí điểm cuối(bài toán 1 và bài toán 2) để tìm nghiệm

VD8: Giải phương trình sinx= 1

2

- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường tròn có tung độ bằng 12 (2 điểm này không cách đều nhau trên đường tròn) nên ta có 2 họ nghiệm: x= π

6 + k 2 π và x= 5

6π +k 2 π

VD9: Giải phương trình sinx=0

- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường tròn có tung độ bằng 0(đó là điểm A và A ’ cách đềunhau trên đường tròn) nên theo bài toán 2(bài toán tổng quát) ta có 1 họ

nghiệm là: x=0+ k 2

2π =kπ

VD10: Giải phương trình cosx=−1.

- Giải: Trên hình 1 có 1 điểm trên đường tròn có hoành độ bằng -1(điểm A ’ ¿ nên ta có 1 họ nghiệm: x=π +k 2 π

VD11: Giải phương trình: cosx =−

2√3

- Giải: Trên hình 1 ta thấy x có hai điểm cuối có hoành độ bằng −2√3

cách A cung5

6π và −65 π nên ta có 2 họ nghiệm: x= 5

6π +k 2 π ; x=−5

6 π + k 2 π

b) Giải phương trình tanx=a;cotx=a

- Với a là các giá trị thường gặp: 0 ;± √

33 ;± √3 ;±1, khi đó các cung lượng giác có giá trị tan

và cot bằng a được ghi trên đường tròn lượng giác như hình vẽ

- Xét phương trình tanx=a: Trên trụctan ta tìm điểm T sao cho AT =a, đường thẳng OT cắt đường tròn tại M 1 , M 2 cách đều nhau trên đường tròn lượng giác.

tan

a A O

M 2

Ta có: tan (OA ;O M 1)=tan (OA ;O M 2)= AT =a, suy ra điểm cuối của x phải ở vị trí

M 1 , M2 Theo bài toán 2 ta có x=α +kπ là nghiệm phương trình(α là một cung lượng giác tính từ

Tương tự như trên ta có nghiệm phương trình là x=α +kπ

(α là một cung lượng giác tính từ A đến M 1

hoặc từ A đến M 2)VD12: Giải phương trình:

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x= π

+ kπ 3

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x=−

4π + kπ

VD14: Giải phương trình: tanx=0

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x=kπ

2.3.4 Kết hợp các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Khi giải phương trình lượng giác dạng tích có nhiều họ nghiệm hoặc phương trìnhlượng giác có điều kiện(chứa dưới mẫu):Ta tìm các họ nghiệmcủa phương trình lượng giác cơ bản thường gặp trong các phương trình dạng tích,dạng thương đó, xác định các điểm cuối của các họ nghiệm đó trên đường trònlượng giác, từ đó kết hợp các họ nghiệm để thỏa mãn bài toán hoặc làm gọn côngthức nghiệm

VD15: Giải phương trình: (cosx+1)(cosx− 1

-M 2 3

Vì A ' ,M1 ,M 2 cách đều nhau trên đường tròn lượng giác nên theo bài toán 2 ta có thể viết gộp 3 họ nghiệm trên lại thành 1 họ nghiệm là: x= π

3 + k 2

3π VD16: Giải phương trình: cosx tanx−1 =0

- Giải: ĐK cosx ≠ 1↔ x≠ k 2 π (điểm cuối của x khác A) Khi đó phương trình ↔tanx=0

↔ x=kπ :điểm cuối của x ở vị trí A hoặc A ' Kết hợp với ĐK thì điểm cuối của x chỉ lấy được ở A ' , vậy nghiệm phương trình là:

x=π +k 2 π

11

sinx ,cosx ,tanx ,cotx

VD17: Giải phương trình: 3 sinx −4 sin 3 x =0

Khi đó ta có: 3 sinx−4 sin3 x=0 ↔ sinx=± √23

[x=kπ (điểm cuối của xở A và A ' , taloại điểm A)

π + k 2 π

3

2 π x=± 3+ k 2 π (loại)

Đối chiếu ĐK thì ta có 3 họ nghiệm là x=± π

+k 2 π và x=π +k 2 π Vì 3 điểm cuối3

của 3 họ nghiệm này nằm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác nên theo bàitoán 2 ta gộp lại thành 1 họ nghiệm là: x= π

3 + k 2

3π VD18: Giải phương trình: sin 2 x +2 cosx −sinx −1 =0

Đối chiếu với ĐK thì x3 bị loại(vì trên đường tròn lượng giác điểm cuối họ nghiệm

x 3 không thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là x1 và x2

2.3.5.Sử dụng đường tròn lượng giác tìm tham số để phương trình có đúng n

nghiệm trên miền D

Bài toán: Biện luận theo t số nghiệm của phương trình: sinx=t trên miền D

- Phương pháp giải:

TH1: t=0 : trên đường tròn lượng giác có 2 điểm A và A ' có tung độ bằng 0, khi đómột điểm I chạy trên miền D qua A và A ' bao nhiêu lần thì phương trình sinx=t trênmiền D có bấy nhiêu nghiệm

TH2: t=1(hoặc t=−1) : trên đường tròn lượng giác có điểm B có tung độ bằng 1(hoặcđiểm B ' có tung độ bằng -1), khi đó một điểm I chạy trên miền D qua B (hoặc B ') baonhiêu lần thì phương trình sinx=t trên miền D có bấy nhiêu nghiệm

TH3: 0<t <1 hoặc −1<t <0: trên đường tròn lượng giác luôn có 2 điểm M 1 , M 2 cótung độ bằng t , khi đó một điểm I chạy trên miền D qua 2 điểm M 1 , M 2 bao nhiêulần thì phương trình sinx=t trên miền D có bấy nhiêu nghiệm

Hoàn toàn tương tự khi xét phương trình cosx=t trên miền D.VD19: Cho phương trình: cosx ( 4 cos2 x−2 cosx+m−3 )=0Tìm m để phương trình trên thỏa mãn:

a)Có đúng 6 nghiệm khác nhau thuộc khoảng (−

2π ;2 π )

b)Có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng (−

2π ; 2 π )

2π ; 2 π )(vì điểm I chỉ qua B ; A ; A ' mỗi điểm 1 lần)

+) cosx=t( 0<t< 1) có 3 nghiệm xthuộc khoảng ( −π

;2 π )(có 2 điểm trên đường tròn

2

lượng giác thuộc cung phần tư thứ (I ) và ¿) có hoành độ bằng t và điểm I chạy quacác điểm đó tất cả 3 lần)

+) cosx=t(−1< t < 0) có 2 nghiệm x thuộc khoảng ( −

2π ; 2 π )(có 2 điểm trên đường trònlượng giác thuộc cung phần tư thứ ( II ) và ( III ) có hoành độ bằngt và điểm I chạyqua các điểm đó tất cả 2 lần)

[ cosx=0( 1)

Từ phương trình đã cho, ta có: 4 cos2 x −2 cosx+ m−3=0(2)

Ta có phương trình (1) luôn có 1 nghiệm x= π

4 t2 −2t +m – 3=0(3) phải có 2 nghiệm thỏa mãn:

b)Yêu cầu bài toán được thỏa mãn nếu phương trình (2) có 6 nghiêm x khác nhau thuộc

Khi áp dụng SKKN này cho học sinh lớp 11 trường THPT Lê Lai tôi thấy các em

thích thú, hào hứng hơn hẳn khi giải các phương trình lượng giác cơ bản thường

gặp,việc lấy nghiệm trở nên rất nhanh và nhẹ nhàng khi đã thuộc hình 1 và hình 2

trong SKKN các em có thể đọc ngay các họ nghiệm của phương trình lượng giác

cơ bản thường gặp, hai hình này cũng dễ thuộc vì có quy luật để nhớ nên học sinh

nắm khá nhanh Đặc biệt thông qua giải phương trình lượng giác cơ bản thường

gặp trên hai hình ảnh đường tròn lượng giác học sinh hiểu được bản chất toán học

của giải phương trình lượng giác, các em giải thích được vì sao lại có nghiệm như

vậy, chứ không như khi giải bằng máy tính nhiều em không hiểu gì về lượng giác

Bên cạnh đó SKKN giúp các em học khá có điều kiện phát triển hơn trong giải

quyết các bài toán nâng cao như bài toán kết hợp các họ nghiệm, bài toán tìm tham

số để phương trình lượng giác có đúng n nghiệm trên miền D, giúp các em phát

triển tư duy lập luận, logic, khả năng cụ thể hóa, tổng quát hóa

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận: SSKN “Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng

giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình

lượng giác” giúp học sinh hiểu rõ bản chất của giải phương trình lượng giác, giúp

các em giải nhanh, dễ dàng các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp, giúp

các em học sinh khá có điều kiện giải quyết các bài toán nâng cao như bài toán kết

hợp các họ nghiệm, bài toán tìm tham số để phương trình lượng giác có đúng n

nghiệm trên miền D

15