Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan như kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D là

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THPT LÊ LAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

Người thực hiện: Phạm Chí Đạt Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2021

Mục lục Trang

1 Mở đầu………1

1.1 Lí do chọn đề tài……….….1

1.2 Mục đích nghiên cứu……….… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…….1

1.4.Phương phpas nghiên cứu……… ……….1

1.5.Những điểm mới của SKKN……… …… 2

2.Nội dung……… 2

2.1.Cơ sở lý luận của SKKN……… 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dung SKKN ……….4

2.3.Các SKKN áp dụng……… ……4

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……….……….……… … ……… 15

3 Kết luận, kiến nghị……….……….…….15

3.1 Kết luận……… 15

3.2 Kiến nghị……… ……….15

1 Mở đầu.

1.1 Lí do chọn đề tài

Giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan như kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D là các nội dung cơ bản nhất và quan trọng trong bài toán giải phương trình lượng giác Tuy nhiên hiện nay học sinh thường sử dung máy tính cầm tay để giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp, nhưng cách này làm mất bản chất toán học, thậm chí học sinh không còn biết gì

về giá trị lượng giác của một cung và những vấn đề liên quan như việc kết hợp các họ nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên miền D

Sử dụng đường tròn lượng giác để lấy nghiệm giúp học sinh hiểu rõ bản chất của việc lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản, từ đó có thể mở rộng, nâng cao cho bài toán kết hợp nghiệm trên đường lượng giác và tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D Đó chính là lí do tôi viết SKKN “Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác” 1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích tổng quát là làm rõ bản chất giá trị lượng giác của các cung(góc) lượng giác Mục đích cụ thể giúp học sinh hiểu được và giải được nhanh chóng, chính xác, dễ dàng phương trình lượng giác cơ bản thường gặp Biết kết hợp các

họ nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu),biết viết gọn các họ nghiệm của một phương trình lượng giác, biết tìm được tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Là cách lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác Hiện tượng thuộc phạm vi nghiên cứu là cách viết số đo cung lượng giác khi biết điểm cuối của cung, cách kết hợp các họ nghiệm, cách đếm số nghiệm của một phương trình lượng giác cơ bản trên miền D

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như phương pháp quan sát khoa học, phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN.

Bằng trực giác cụ thể khi nhìn vào đường tròn lượng giác ta lấy được nghiệm phương trình lượng giác cơ bản thường gặp một cách nhanh chóng, kết hợp được các họ nghiệm với nhau để đưa ra nghiệm gọn nhất và chính xác nhất (đối với những phương trình lượng giác có điều kiện) hay căn cứ đường tròn lượng giác sẽ biết cách đếm số nghiệm của một phương trình lượng giác cơ bản trên miền D, từ đó giải được bài toán tìm tham số để phương trình lượng giác có đúng n nghiệm trên D

2 Nội dung SKKN

2.1 Cơ sở lý luận của SKKN

2.1.1 Đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác

a)Đường tròn định hướng: Là đường tròn trên đó đã chọn một chiều chuyển động là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương

b)Cung và góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm O cho 2 điểm A , B Một điểm M di chuyển trên đường tròn theo một chiều từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu(điểm gốc) là A, điểm cuối là B Kí hiệu

Như vậy với 2 điểm A , Btrên đường tròn định hướng có vô số cung lượng giác lượng giác khác nhau nhận A là điểm đầu, B là điểm cuối

Khi đó tia OM tạo ra góc lượng giác, tia đầu OA, tia cuối OB Kí hiệu: (OA , OB)

2.1.2 Đường tròn lượng giác

Trên mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm

O(0 ;0), bán kính bằng 1 Giao giữa đường tròn lượng giác với các trục Ox , Oy là

A (1 ;0) , A '(−1 ;0) , B (0 ;1) , B'(0 ;−1) và đường tròn được chia thành cung phần tư thứ

( I ), ( II ) , (III ) ,( IV ) như hình vẽ

x y

(IV) (III)

O

-1 B '

-1

A '

1 B

1 A

Mọi cung lượng giác khi vẽ trên đường tròn lượng giác luôn luôn nhận điểm đầu(điểm gốc) là điểm A(1 ;0)

2.1.3 Đơn vị đo cung(góc) lượng giác

Ngoài đơn vị đo là độ, ta có đơn vị đo rađian với 1 0

= π

180 rađian Khi viết đơn vị đo

là rađian ta không ghi chữ rađian đằng sau, chẳng hạn cung π2 được hiểu là π2 rađian

2.1.4 Giá trị lượng giác của một cung lượng giác

Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM =α(điểm gốc cung α ở A, điểm cuối ở M), khi đó cung lượng giác αcó 4 giá trị lượng giác là:

+) sin α = tung độ điểm M= OK´ (độ dài đại số đoạn OK)

+) cos α = hoành độ điểm M= OH´ (độ dài đại số đoạn OH)

+) tanα= sinα

cosα= ´AT(độ dài đại số đoạn AT), điều kiện cosα ≠ 0

Tiếp tuyến t ' At là trục tang

+) cotα = cosα

sinα = BS´ (độ dài đại số đoạn BS), điều kiện sinα ≠ 0

Tiếp tuyến s ' Bs là trục côtang

t

t '

s

s '

T S

H

x

y

O

B

A

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

Thực tế gần đây thi TNKQ nên để cho nhanh khi tìm đáp số của phương trình lượng giác cơ bản thường gặp học sinh thường dùng máy tính cầm tay,vì vậy không hiểu rõ bản chất khi lấy nghiệm phương trình lượng giác cơ bản dẫn đến khi cần kết hợp nghiệm hoặc gặp bài toán tìm nghiệm có điều kiện, bài toán cần đếm đủ số nghiệm trên miền D thì học sinh gặp khó khăn không làm được Khi các em ghi nhớ được hình ảnh đường tròn lượng giác với đầy đủ các giá trị lượng giác của các cung thường gặp thì việc lấy nghiệm phương trình lượng giác rất dễ dàng, nhanh chóng và dùng hình ảnh đường tròn lượng giác đó để giải quyết các bài toán nâng cao hơn như giải phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn ở mẫu) hay bài toán tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm trên miền D

2.3 Các SKKN áp dụng

2.3.1 Viết số đo cung lượng giác khi biết vị trí điểm cuối của cung

Bài toán1: Cho một điểm M trên đường tròn lượng giác, hãy viết số đo các cung lượng giác nhận M là điểm cuối

Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là M, giả sử

là cung α(nên tính α là cung dễ tìm nhất, thường là đó là cung được xác định khi di chuyển một điểm từ A đến M lần thứ nhất, chọn chiều di chuyển ¿ hoặc ¿ sao cho ngắn nhất)

Bước 2: Khi đó số đo các cung lượng giác luôn nhận M là điểm cuối là:

sđ AM=α+ k 2 π (k ∈ Z )

VD1: Cho các cung lượng giác AM có điểm cuối M như hình vẽ, biết điểm M ở vị trí 13 cung thứ (I) gần A

y

x

M A O

Hãy viết số đo các cung lượng giác đó

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận M là điểm cuối là α= π

6(α được xác định khi di chuyển một điểm trên đường tròn theo chiều ¿ từ A đến M lần thứ nhất rồi dừng)

Khi đó sđ AM= π

6+k 2 π (hoặc sđAM =30 o

+k 360 o) VD2: Viết số đo các cung lượng giác nhận B '(0 ;−1) là điểm cuối

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận B ' là điểm cuối là α=−π

2 (α được xác định khi di chuyển một điểm trên đường tròn theo chiều ¿ từ A đến B 'lần thứ nhất) Khi đó sđ A B '

=−π

2 +k 2 π VD3: Viết số đo các cung lượng giác có điểm cuối là điểm A

- Giải: Số đo của 1 cung lượng giác α nhận A là điểm cuối là α=0(α được xác định khi di chuyển một điểm trên đường tròn từ A đến A lần thứ nhất)

Khi đósđ A A '=k 2 π

Bài toán 2(bài toán tổng quát): Cho các điểm M1, M2,…,M n nằm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác, hãy viết số đo các cung lượng giác nhận M1, M2,…,M n là điểm cuối

Bước 1: Tính số đo của 1 cung lượng giác có điểm cuối là một trong các điểm

M1, M2,…,M ntrên, giả sử là cung α (nên tính α là cung dễ tìm nhất như bài toán 1) Bước 2: Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là: α +k 2 π

n

VD4: Cho 2 điểm M1, M2 trên đường tròn lượng giác như hình vẽ

M2

y

x

M1 A O

Biết M1 ở vị trí 13 cung thứ (I) gần A.Viết số đo các cung lượng giác nhận

M1, M2 là điểm cuối

- Giải:

Ta xác định α= π

6 là một cung lượng giác khi di chuyển một điểm trên đường tròn lượng giác từ A đến M1 lần thứ nhất theo chiều¿

Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là: π6+k 2 π

2 =

π

6+k π

(k =0 điểm cuối là M1, k =1 điểm cuối là M2, k =2 điểm cuối là M1,…)

VD5: Cho 3 điểm M1, M2, M3 cách đều nhau trên đường tròn lượng giác như hình vẽ sau đây

M3

M2 y

x

MA1 O

Biết M1ở 1/3cung thứ (IV ) gần A, hãy viết số đo các cung lượng giác nhận

M1, M2, M3 là điểm cuối

- Giải:

Ta xác định α=−π

6 là một cung lượng giác khi di chuyển một điểm trên đường tròn lượng giác từ A đến M1 lần thứ nhất theo chiều¿

Khi đó số đo các cung lượng giác cần tìm là: −6π+k 2 π

3

2.3.2 Xác định vị trí điểm cuối khi biết số đo của các cung lượng giác

Bài toán: Tìm điểm cuối các cung lượng giác α +k 2 π

n ¿) Lần lượt thay k =0 ;k =1;; k=2 … , k=n, tìm các điểm cuối các cung tương ứng trên đường tròn cho đến khi điểm cuối trùng lại các điểm đã tìm thì thôi Lưu ý với n ≥ 3

các cung α +k 2 π

n có n điểm cuối là các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác

VD6: Tìm các điểm cuối của các cung π4+k 2 π

- Giải:

Các cung π4+k 2 π có điểm cuối trùng nhau(ở chính giữa cung (I)¿

VD7: Tìm các điểm cuối của các cung π4+k π

2

- Giải: Ta có: π4+k π

2=

π

4+k

2 π

4 nên các cung đã cho có 4 điểm cuối là 4 đỉnh hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác, 4 đỉnh hình vuông ở vị trí chính giữa các cung ( I ), ( II ) , (III ) ,( IV )

2.3.3 Sử dụng đường tròn lượng giác để giải các phương trình lượng giác cơ bản

thường gặp

a) Giải phương trình sinx=a ;cosx=a

- Với a là các giá trị thường gặp: 0 ;±1

2;±√

2

2 ;±√

3

2 ;± 1, khi đó các cung lượng giác

có hoành độ hoặc tung độ của điểm cuối bằng a được ghi trên đường tròn lượng giác như hình vẽ

s in

A 1

- 3 2

3 2

- 2 2

2 2

-1 2

1 2

-

2

-3

4

3

4

3 2

- 2 2

2 2

- 3 2

-1 2 -5

6

5

6

-2

3

2

3

-

6 -

4 -

3



 2

 6

 4

 3

-1

1

1 2

Hình 1

Để giải phương trình sinx=a và cosx=a học sinh cần ghi nhớ hình ảnh của đường tròn lượng giác trên cùng với tất cả các thông tin trên đường tròn, sau đó theo định nghĩa giá trị lượng giác sin và cosin kết hợp với bài toán viết số đo cung lượng giác khi biết vị trí điểm cuối(bài toán 1 và bài toán 2) để tìm nghiệm

VD8: Giải phương trình sinx=1

2

- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường tròn có tung độ bằng 12 (2 điểm này không cách đều nhau trên đường tròn) nên ta có 2 họ nghiệm: x= π

6+k 2 π và x=

5 π

6 +k 2 π

VD9: Giải phương trình sinx=0

- Giải: Trên hình 1 có 2 điểm trên đường tròn có tung độ bằng 0(đó là điểm A và A ’

cách đều nhau trên đường tròn) nên theo bài toán 2(bài toán tổng quát) ta có 1 họ nghiệm là: x=0+k 2 π=kπ

VD10: Giải phương trình cosx=−1.

- Giải: Trên hình 1 có 1 điểm trên đường tròn có hoành độ bằng -1(điểm A ’¿ nên ta

có 1 họ nghiệm: x=π +k 2 π

VD11: Giải phương trình: cosx=−√3

2

- Giải: Trên hình 1 ta thấy x có hai điểm cuối có hoành độ bằng −√3

2 cách A cung

5 π

6 và −5 π6 nên ta có 2 họ nghiệm: x= 5 π

6 +k 2 π ; x=

−5 π

6 +k 2 π

b) Giải phương trình tanx=a ;cotx=a

- Với a là các giá trị thường gặp: 0 ;±√3

3 ;±√3 ;±1, khi đó các cung lượng giác có giá trị tan và cot bằng a được ghi trên đường tròn lượng giác như hình vẽ

cot tan

-1



O

-

6

 6

-

4

 4

-

3

 3

- 3 3

3 3

- 3

3

- 3 3

3 3

- 3

3

B

A

Hình 2.

- Xét phương trình tanx=a: Trên trụctan ta tìm điểm T sao cho AT =a´ , đường thẳng

OT cắt đường tròn tại M1, M2 cách đều nhau trên đường tròn lượng giác

a

M2

M1

O

A

T tan

Ta có: tan(OA ;O M1)= tan(OA ;O M2)= ´AT =a, suy ra điểm cuối của x phải ở vị trí

M1, M2 Theo bài toán 2 ta có x=α +kπ là nghiệm phương trình(α là một cung lượng giác tính từ A đến M1 hoặc đếnM2¿

- Xét phương trình cotx=a: Trên trục cot ta tìm điểm C sao cho BC=a´ , đường thẳng

OC cắt đường tròn tại M1, M2

cot

M2

M1

a C

O B

Tương tự như trên ta có nghiệm phương trình cotx=a là x=α +kπ

(α là một cung lượng giác tính từ A đến M1 hoặc từ A đến M2)

VD12: Giải phương trình: tanx=√3

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x= π

3+kπ

VD13: Giải phương trình: cotx=−1

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x=−π

4 +kπ

VD14: Giải phương trình: tanx=0

- Giải: Theo hình 2 ta có nghiệm phương trình là x=kπ

2.3.4 Kết hợp các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Khi giải phương trình lượng giác dạng tích có nhiều họ nghiệm hoặc phương trình lượng giác có điều kiện(chứa sinx , cosx ,tanx , cotx dưới mẫu):Ta tìm các họ nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản thường gặp trong các phương trình dạng tích, dạng thương đó, xác định các điểm cuối của các họ nghiệm đó trên đường tròn lượng giác, từ đó kết hợp các họ nghiệm để thỏa mãn bài toán hoặc làm gọn công thức nghiệm

VD15: Giải phương trình: (cosx +1)(cosx−1

2)= 0

-Giải: Phương trình ↔[cosx=−1

cosx=1

2

↔[ x=π +k 2 π (điểm cuối của x ở A ')

3+k 2 π (điểm cuối của x ở M1 )

x=−π

3 +k 2 π (điểm cuối của x ở M2 )

-

3

 3

A

A '

cos

M2

M1

O

Vì A ' , M1, M2 cách đều nhau trên đường tròn lượng giác nên theo bài toán 2 ta có thể viết gộp 3 họ nghiệm trên lại thành 1 họ nghiệm là: x= π

3+k

2 π

3 VD16: Giải phương trình: cosx−1 tanx =0

- Giải: ĐK cosx ≠ 1↔ x ≠ k 2 π (điểm cuối của x khác A)

Khi đó phương trình ↔ tanx=0

↔ x=kπ :điểm cuối của x ở vị trí A hoặc A '

Kết hợp với ĐK thì điểm cuối của x chỉ lấy được ở A ', vậy nghiệm phương trình là:

x=π +k 2 π

VD17: Giải phương trình: 3 sinx−4 sin3x

cos 2 x−cosx =0

- Giải: ĐK: cos 2 x−cosx ≠ 0 ↔2 cos2x−cosx−1≠ 0

→ cosx≠ 1 và cosx ≠−1

2

↔ x ≠ k 2 π (điểm cuối của x khác A ) và x ≠ ± 2 π

3 +k 2 π

Khi đó ta có: 3 sinx−4 sin3x=0 ↔[sinx=± sinx=0√3

2

↔[x=kπ (điểm cuối của x ở A và A x =± π ' , taloại điểm A)

3+k 2 π

x=± 2 π

3 +k 2 π (loại)

Đối chiếu ĐK thì ta có 3 họ nghiệm là x=± π

3+k 2 π và x=π +k 2 π Vì 3 điểm cuối của 3 họ nghiệm này nằm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác nên theo bài toán 2 ta gộp lại thành 1 họ nghiệm là: x= π

3+k

2 π

3 VD18: Giải phương trình: sin 2 x +2 cosx−sinx−1

- Giải: ĐK: tanx ≠−√3 ↔ x ≠−π

3 +kπ

Khi đó ta có phương trình:

sin 2 x+2 cosx−sinx−1=0↔ ( sinx+1) (2cosx−1)=0

↔[sinx=−1 cosx=1

2

2 +k 2 π

x2=π

3+k 2 π

x3=−π

3 +k 2 π

Đối chiếu với ĐK thì x3 bị loại(vì trên đường tròn lượng giác điểm cuối họ nghiệm

x3 không thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là x1 và x2

2.3.5.Sử dụng đường tròn lượng giác tìm tham số để phương trình có đúng n

nghiệm trên miền D

Bài toán: Biện luận theo t số nghiệm của phương trình: sinx=t trên miền D

- Phương pháp giải:

TH1: t=0: trên đường tròn lượng giác có 2 điểm A và A ' có tung độ bằng 0, khi đó một điểm I chạy trên miền D qua A và A ' bao nhiêu lần thì phương trình sinx=t trên miền D có bấy nhiêu nghiệm

TH2: t=1(hoặc t=−1) : trên đường tròn lượng giác có điểm B có tung độ bằng 1(hoặc điểm B ' có tung độ bằng -1), khi đó một điểm I chạy trên miền D qua B

(hoặc B ') bao nhiêu lần thì phương trình sinx=t trên miền D có bấy nhiêu nghiệm TH3: 0<t <1 hoặc −1<t <0: trên đường tròn lượng giác luôn có 2 điểm M1, M2 có tung độ bằng t, khi đó một điểm I chạy trên miền D qua 2 điểm M1, M2 bao nhiêu lần thì phương trình sinx=t trên miền D có bấy nhiêu nghiệm

Hoàn toàn tương tự khi xét phương trình cosx=t trên miền D

VD19: Cho phương trình: cosx(4 cos2x−2 cosx+m−3)=0

Tìm m để phương trình trên thỏa mãn:

a)Có đúng 6 nghiệm khác nhau thuộc khoảng (−π

2 ;2 π )

b)Có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng (−π

2 ;2 π )