Khi tìm x caàn löu yù phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái.. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:.[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.CƠNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1 Cơng thức lượng giác cơ bản:
sin2a + cos2a = 1 tana.cota = 1 + 2 =
2
1
1 tan
cos
a
2
2
1
1 cot
sin
a
a
2 Cơng thức cộng:
sin(a b+ ) =sin cosa b +sin cosb a sin(a b- )=sin cosa b-sin cosb a
cos(a b+ ) =cos cosa b -sin sina b cos(a b- ) =cos cosa b+sin sina b
+ + =
-tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
=
+
a.Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos 2a = cos a-sin a = 2 cos a- = -1 1 2 sin a
=
- 2
2 tan
tan 2
1 tan
a a
a
-=
2
cot 1
cot 2
2 cot
a a
a
b.Công thức hạ bậc: c.Công thức nhân ba:
3 Cơng thức tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
-cos cos 2 cos cos
-sin( ) tan tan
cos cos
a b
+
tan tan
cos cos
a b
sin( ) cot cot
sin sin
a b
+
cot cot
sin
b a
a sinb
4 Cơng thức tích thành tổng:
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
3 3
3 2
sin 3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
a
a
-=
-2
2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
tan
1 cos2
a a
a a
a a
a
-=
+
=
-=
+
Trang 2
Chú ý: Bảng cơng thức lượng giác sau:
0
6
4
3
2
2
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
sin 0 1
2
2
2
3
2 1
3
2
2
cos 1 3
2
2
2
1
2 0
1 2
2
tan 0 3
3 1 3
- 3 –1 0 0
Cot 3 1 3
3 0
3 3
II.CÁC DẠNG TỐN
1.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
= +
= - +
2
2
k
+ cos = cos = +k2 (kZ )
+ tan = tan = +k (kZ )
+ cot=cot = +k (kZ )
2.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Nếu đặt: t=sin2x hoặc t= sinx thì điều kiện: 0 t 1
3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX:
Cách 1:
Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta được: (1)
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
phương trình trở thành:
sin sinx cos cosx c
+
asin x b+ x c+ = t = sinx - 1 t 1
2
a x +b x c+ = t = cosx - 1 t 1
2
2
x +k kZ
2
a x b+ x c+ = t = cotx xk (k Z )
Trang 3
+
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 2 2
+
(2) x = +k2 (kZ)
Cách 2:
a/ Xét 2
2 2
x
có là nghiệm hay không?
2
x
Đặt:
2
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
(b c t+ ) -2at c b+ - =0 (3)
Vì x +k2 b c+ 0, nên (3) có nghiệm khi:
' = a -(c -b )0 a +b c
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0
2
x t
= Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2+b2 c2 3/ Bất đẳng thức B.C.S:
y = a.sinx b+ cosx a2+b2 sin2x+cos2x = a2+b2
4.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
Cách 1:
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
2
Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ta được: 0
a tan2x b+ tanx c+ = d(1 tan+ 2x)
Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a d t- ) 2+b t c d + - = 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos 2 sin 2 1 cos 2
b.sin 2x+(c a- ).cos 2x = 2d a c- - (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
5.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XƯNG:
Trang 4Dạng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: cos sin 2 cos ; 2
4
2 1 2sin cos sin cos 1( 2 1)
2
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t 2 Suy ra x
Lưu ý dấu:
x+ x = x- = x+
x- x = x+ = - x-
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: cos sin 2 cos ; : 0 2
4
sin cos 1( 2 1)
2
Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 3: a.(tanxx cotx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: t = tanx + cotx
Đưa về phương trình bậc hai rồi giải
6 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:
- Áp dụng các cơng thức LƯỢNG GIÁC đã học
7 PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC:
III.ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1 (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) của phương trình:
x
cos3 sin 3
1 2sin 2
+
HD: Điều kiện:
12 7 12
- +
+
PT 5cosx=2 cos 2x+3 cosx 1
2
x
x
3 5 3
=
=
Bài 2 (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 32 x-cos 42 x=sin 52 x-cos 62 x
HD: PT cos sin 9 sin 2x x x=0 sin 2 sin 9x x=0
=
=
9 , 2
x k
x k
Bài 3 (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x-4 cos 2x+3cosx-4=0
HD: PT 4 cos2 x(cosx-2) 0= cosx=0 x ;x 3 ;x 5 ;x 7
Trang 5Bài 4 (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x
a
2sin cos 1 sin 2 cos 3
=
- + (a là tham số)
1 Giải phương trình khi a 1
3
=
2 Tìm a để phương trình cĩ nghiệm
HD: 1) x k
4
2
- (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
tan cos cos sin 1 tan tan
2
HD: x=k2 Chú ý: Điều kiện: x
x
cos 0
x x
x
1
1 tan tan
2 cos
x
x
2 4
4
2 sin 2 sin3 tan 1
cos
HD: Điều kiện: cosx 0 PT = 1 = + 2 = 5 + 2
Bài 7 (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x
x
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
+
HD: Điều kiện: sin2x 0 PT 2 - +9= = +
x
2
1
sin
8 cos =
HD: Điều kiện: x
x
cos 0 sin 0
PT = + = 3 + = 5 + =7 +
Bài 9 (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:
2 sin +cos +cos 4 +2 sin 2 - = 0 (*)
cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
HD: 10 m 2
3
- -
Đặt t = sin2x (*) cĩ nghiệm thuộc 0;
2
f t( ) 3= t2-2t=m + cĩ nghiệm t3 [0;1]
x
2
HD: Điều kiện: sinx0, cosx0, tanx 1
PT (cosx-sin )(1 sin cosx - x x+sin2x) 0= x k
4
= +
x
2 cot tan 4sin 2
sin 2
HD: Điều kiện: x
x
sin 0 cos 0
PT 2 cos 22 x-cos2x- =1 0 = + ,
3
x
Trang 6
HD: Điều kiện: cosx0
PT (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos )x =0
= +
= - +
2 , 4
Bài 13 (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: x x( 2x )
cos 2 +cos 2 tan -1 = 2
HD: Điều kiện: cosx 0
PT (1 cos )(2 cos+ x 2x-5cosx+2) 0= =(2 +1) , = + 2 ,
3
Bài 14 (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 tan- x(tanx+2 sinx)+6 cosx= 0
HD: Điều kiện: cosx 0
PT (1 cos 2 )(3 cos+ 2 -sin2 ) 0= = + ,
3
Bài 15 (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos 4x-8 cos6x+2 cos2x+ =3 0
HD: PT cos 2 ( 2 cos- 4 +5cos2 -3) 0= = + , = ,
Bài 16 (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
x
2
2 3 cos 2 sin
2 cos 1
HD: Điều kiện: cosx 1
2
PT - 3 cos +sin =0 = +(2 +1) ,
3
Bài 17 (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: x( x )
x
2
cos cos 1
2(1 sin ) sin cos
HD: Điều kiện: sin x 0
4
PT (1 sin ) (1 cos )+ 2 + =0 = - + , =+ 2 ,
2
x
2 cos 4 cot tan
sin 2
HD: Điều kiện: sin2x 0 PT 2 cos 22 -cos 2 - =1 0 = + ,
3
Bài 19 (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin ) tan- x 2x
HD: Điều kiện: cosx0 PT 2sin2x+3sinx- =2 0
= +
= +
2
5 2 6
Bài 20 (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx
HD: PT (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x =
= +
= - +
2
4
Bài 21 (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 sin( 3x+cos3x)=cosx+3sinx
HD: Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx=0 thì PT =
cos 0
4 sin 3sin 0
x
= + khơng là nghiệm của
phương trình
Trang 7b) Nếu cosx0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x
Khi đĩ: PT
cos 0 tan tan t anx+3 0
x
+
cos 0
4
t anx=1
3
3
x
k
k
k k
Vậy: PT cĩ nghiệm:
= + 2 4
= + 3
x k và = + ,
3
Bài 22 (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1 sin- x+ 1 cos- x =1
HD:Điều kiện:
cos 1
s inx 1
x
PT( 1-cosx+ 1-sinx)2 = 1 2 s inx.cosx-(sinx+cosx) 1 (s inx+cosx)=
Đặt: t = sinx + cosx ĐK : t 2
PT
=
-
=
3
t
t
Với 1 s inx+cosx=-1 sin(x- )=- 2
Với 1 s inx+cosx=1 sin(x- )=1
Bài 23 (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
2 2 cos
4 sin cos
HD: PT ( - )+ osx-sinx =
sin osx
c
c x
x c Đặt: t=cosx – sinx Đk: t 2
t
=0s inx=cosxx= + ,
4
Vậy: PT cĩ nghiệm:
= + , 4
Bài 24 (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 sin 7x x=cos3 cos 6x x
os3 os11 cos 9 cos3
cos11x+cos 9x=0
cos10x.cosx=0
cosx=0cos10x=0
Trang 8
= +
= +
20 10
Bài 25 (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin cos2x x+sin 2 cosx x=sin 4 cosx x
HD:PT 2sin (cos2x x+sin 2 cosx x-2 sin os2x.cosx)x c =0
Bài 26 (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos 2 )x
HD:sinx- 3 cosx= 3 cos 2x-sin 2x
sin( ) sin 2
=
= +
2
, 2
x k
k
Bài 27 (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos 3 cos22 x x-cos2x=0
HD: PT 2 cos 42 x+cos 4x- =3 0 x k
2
=
Bài 28 (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0
HD: PT (sinx+cos )(2 cosx x+1) 0=
4 2 2 3
= - +
= +
Bài 29 (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4x sin4x cos x sin 3x 3 0
HD: PT sin 22 x+sin 2x- =2 0 x k
4
= +
Bài 30 (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:
x
4sin 3 cos 2 1 2 cos
HD: PT cos 2x cos( x)
6
Bài 31 (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
HD: PT cos3x+sin3x+3 cos2x.sinx+3cos sinx 2x-3 cosx-sinx=0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx=0 thì PT x
3
cos 0 sin sin 0
2
= +
b) Nếu cosx0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x
Khi đĩ: PT x
x
cos 0 tan 1
=
4
= +
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
4
= +
Bài 32 (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :sin cos2x x+cos2x(tan2x-1)+2 sin3x=0
Trang 9HD: Điều kiện: cosx0 PT 2sin2x+sinx- =1 0
2 6 5 2 6
= +
= +
x
2
2
cos2 1
HD: Điều kiện: cosx0 PT tan3x= -1 x k
4
= - +
x
x
HD: Điều kiện: sinx0 PT 2sinx=1
2 6 5 2 6
= +
= +
Bài 35 (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos 2x+3sinx-cosx- =2 0
HD: PT (2 sinx-1)(sinx-cosx-1)=0
x
x
1 sin
2
2 sin
=
= +
= +
= +
= +
2 6 5
2 , 6
2 2 2
x
2 cos sin sin cos
0
2 2 sin
-=
-
HD: Điều kiện: sinx 2
2
PT 3sin 22 x+sin 2x- =4 0 = + ,
4
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT cĩ nghiệm: x 5 2m
4
cot sin 1 tan tan 4
2
sin 0, cos 0, cos 0
2
cos sin
4 sin +cos = x
1 sin 2
2
= +
5 12
Bài 38 (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x+cos 2x-cosx- =1 0
HD: PT sin2x(2 cosx+1) 0=
=
= +
, 2
2 3
x k
Trang 10Bài 39 (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3 cosx 3x sin 3 sinx 3x 2 3 2
8
+
HD: PT cos 4x 2
2
= = + ,
16 2
Bài 40 (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2sin 2x 4sinx 1 0
6
HD: PT sinx( 3 cosx+sinx+2)=0
=
, 7
2 6
x k
Bài 41 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( 2x ) 2 x ( 2x )
2 sin -1 tan 2 +3 2 cos -1 =0
HD: Điều kiện: cos2x0 PT cos2x(tan 22 x-3)=0 = + ,
Bài 42 (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos 2x+(1 2 cos )(sin+ x x-cos )x = 0
HD: PT (sinx-cos )(cosx x-sinx+1) 0=
= +
= +
4
2 , 2
2
Bài 43 (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3x+sin3x+2sin2x=1
HD: PT (cosx+sin )(1 cos )(sinx - x x+1)=0
= - +
= - +
4
2 2
Bài 44 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3x+4sin2x+3sin 2x+6 cosx=0
HD: PT (sinx+1)( 2 cos- 2x+3 cosx+2) 0=
= - +
= +
2
2 2 3
Bài 45 (ĐH 2007A) Giải phương trình: (1 sin+ 2x)cosx+(1 cos+ 2x)sinx= +1 sin 2x
HD: PT (sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x - x - x =
= - +
=
4
2 , 2
2
x k
Bài 46 (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin 22 x+sin 7x- =1 sinx
HD: PT cos 4x(2 sin 3x-1) 0= )
= +
2 ,
18 3
18 3
Bài 47 (ĐH 2007D) Giải phương trình: x x
x
2
sin cos 3 cos 2
Trang 11HD: PT 1 sin+ x+ 3 cosx=2 cos x 1
= +
= - +
2
2 6
2sin sin 2
HD: Điều kiện sin 2x0 PT x( 2x x )
cos 2 2 cos +cos +1 = 0 = + ,
Bài 49 (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
2
2 cos +2 3 sin cos + =1 3(sin + 3 cos )
, 3
HD: PT x
x
3
= +
= +
2
2 , 2
2
Bài 51 (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x
sin 2 cos 2
tan cot cos + sin = -
HD: Điều kiện: sin 2x0 PT cosx= -cos 2x = + 2 ,
3
Bài 52 (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin x cosx 1
12
HD: PT sin 2x cos sin5
= + = + ,
Bài 53 (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1– tan )(1 sin 2 ) 1 tanx + x = + x
HD: Điều kiện: cosx0 PT (cosx+sin )(cos 2x x-1) 0=
= - +
=
, 4
x k
x
x
4 sin
sin
2
HD: Điều kiện: sinx 0, sin x 3 0
2
1
sin cos
= - +
= - +
4 , 8 5 8
Bài 55 (ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2xcosx
HD: PT cos 2x(sinx+ 3 cosx)=0 = + ; = - + ,
Trang 12Bài 56 (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx
HD: PT (2 cosx+1)(sin 2x-1) 0= = 2 + = +
Bài 57 (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:
x
4sin 3 cos 2 1 2 cos
HD: PT -2 cosx= 3 cos 2x-sin 2x cos 2x cos( x)
6
=5 + 2 = -7 +
2 ,
Do x(0; ) nên chỉ chọn x 5 ; x 17 ; x 5
Bài 58 (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
HD: PT cos3x+sin3x+3 cos2x.sinx+3cos sinx 2x-3 cosx-sinx=0
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu cosx=0 thì PT x
3
cos 0 sin sin 0
2
= +
b) Nếu cosx0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x
Khi đĩ: PT x
x
cos 0 tan 1
=
4
= +
Vậy: PT cĩ nghiệm: x k
2
= + , 4
Bài 59 (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin cos2x x+cos2x(tan2x-1)+2sin3x=0
HD: Điều kiện: cos 0
2
x x +k
PT 2sin2x+sinx- =1 0 = + =5 +
x
2
2
cos2 1
HD: Điều kiện: cosx0 PT tan3x= -1 = - + ,
4
x
x
HD: Điều kiện: sinx0 PT (cosx+1)(2sinx-1) 0=
= +
= +
2
5 2 6
Bài 62 (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos 2x+3sinx-cosx- =2 0
HD: PT (2 sinx-1)(sinx-cosx-1)=0
x
x
1 sin
2
2 sin
=
Trang 13
= + = 5 + = + = +
Bài 63 (ĐH 2009A) Giải phương trình: x x
(1 2sin ) cos
3 (1 2sin )(1 sin )
-=
HD: Điều kiện: sinx 1, sinx 1
2
-
PT cosx- 3 sinx=sin 2x+ 3 cos 2x cos x cos 2x
= - + 2
,
18 3
Bài 64 (ĐH 2009B) Giải phương trình: sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x)
HD: PT sin 3x+ 3 cos3x=2 cos 4x cos 3x cos 4x
6
= - +
= +
2
2
Bài 65 (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos 5x-2 sin 3 cos2x x-sinx=0
HD: PT 3 cos 5x 1sin 5x sinx
= - +
18 3 ,
Bài 66 (ĐH 2010A) Giải phương trình:
x x
(1 sin cos2 )sin
1
= +
HD: Điều kiện: cosx0; 1 tan+ x 0
PT sinx+cos 2x=0 = - + = 7 +
Bài 67 (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin 2x+cos 2 ) cosx x+2 cos 2x-sinx=0
HD: PT (sinx+cosx+2) cos2x=0 = + ,
Bài 68 (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x-cos2x+3sinx-cosx- =1 0
HD: PT (2 sinx-1)(cosx+sinx+2) 0= = + =5 +
+ 2
1 sin 2 cos2
2.s inx.sin2x
1 cot
x HD:ĐK:s inx0
PT(1 sin 2+ x+cos2x)s in x2 = 2.s inx.sin2x
cosx sinx+cosx- 2( )=0
osx=0 x=
2
Trang 14Với
s inx+ osx= 2 x= 2
4
Vậy: Nghiệm của pt là:
2 k x 4 k k Z
Bài 70 (ĐH 2011B) Giải phương trình: sin 2 osx+sinx.cosxx c =cos2x+sinx+cosx
HD: PT (sinx-1)(cos2x c+ osx) 0=
2
Vậy: Nghiệm của pt là:
2 k x 3 k 3 k Z
Bài 71 (ĐH 2011D) Giải phương trình: sin 2 +2 cos -s inx-1=
0
t anx+ 3
HD:ĐK:t anx - 3
PT(s inx+1 2 cos) ( x-1)=0
sinx=-1
x=-2 k (khơng thỏa mãn)
2 osx-1=0 x= 2
3
+
3 k thỏa mãn,
+
3 k khơng thỏa mãn)
Vậy: Nghiệm của pt là:
= + 2 , 3
Bài 72