SKKN Phương pháp nhớ công thức lượng giác và cách biến đổi phương trình lượng giác phù hợp để giúp học sinh yếu kém trong việc học lượng giác ở Trung Tâm GDNN-GDTX Cẩm Thủy

Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán học được xem là môn cơ bản, là nền tảng để các em học sinh học tập và tiếp thu một số môn học khác.. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn Toán

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Toán học là môn khoa học tự nhiên gây nhiều hứng thú cho học sinh, là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập của học sinh Trong các môn học ở trường phổ thông, Toán học được xem là môn cơ bản, là nền tảng để các em học sinh học tập và tiếp thu một số môn học khác Tuy nhiên

để học sinh học tập tốt môn Toán thì giáo viên cung cấp đầy đủ lượng kiến thức

cơ bản cần thiết cho học sinh, cần đổi mới phương pháp dạy học, làm cho các

em trở nên yêu thích môn Toán hơn, vì có yêu thích các em mới dành nhiều thời gian cho việc học Toán, từ đó kích thích tính tự học, sáng tạo của học sinh trong việc học Toán và giành thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập của học sinh trong thời đại mới

Muốn đạt được mục tiêu đó, cần phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng “ phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Luật Giáo dục 1998)  1 Trong báo lao động số 209 (10/09/2007), tác giả Võ Nguyên Giáp, có thể thấy: Chất lượng giáo dục của nước ta đang là “một vấn đề thời sự” Hiện tượng

“ngồi sai lớp”  2 , tỷ lệ học sinh yếu kém ở các trường không phải là ít

Trước thực trạng này, cả xã hội và nói riêng là ngành giáo dục và đào tạo

đã đặt ra yêu cầu chấn hưng nền giáo dục, trong đó vấn đề được đặc biệt quan tâm đó là cuộc cách mạng ba thực chất “học thật, dạy thật, thi thật”

Việc dạy học ở trường THPT hiện nay tuy đã có nhiều cải tiến, song việc dạy học phân hoá, phân loại để bổ sung thêm kiến thức bị “hổng” cho học sinh yếu kém vẫn chưa được thực hiện một cách thường xuyên làm cho các em mất

tự tin trong học tập

Đối với học sinh ở GDTX còn có những khó khăn như: Kiến thức cơ bản hổng, ý thức học tập chưa cao, thiếu sự quan tâm của gia đình, cánh nhìn nhận của xã hội và mặc cảm về bản thân

Từ thực tế giảng dạy Toán ở Trung Tâm GDNN-GDTX Cẩm Thủy 18 năm bản thân rút ra kinh nghiệm là phải có phương pháp đặc thù để nâng cao chất lượng dạy Toán Đối với môn Toán lớp 10, lớp 11 học sinh thường gặp khó khăn về phần lượng giác: Cụ thể phương pháp nhớ công thức lượng giác, cách biến đổi để đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Với mong muốn góp phần giải quyết vấn đề trên ở một mức độ và phạm vi nhất định, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu là: "Phương pháp nhớ công thức lượng giác và cách biến đổi phương trình lượng giác phù hợp để giúp học sinh yếu kém trong việc học lượng giác ở Trung Tâm GDNN-GDTX Cẩm Thủy"

1.2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

1

1.2.1 Mục đích nghiên cứu.

Đề xuất một số giải pháp dạy học nhằm khắc phục tình trạng yếu kém Toán

ở phân môn Đại số 10, Đại số và Giải tích 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy

1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số lý luận về phụ đạo học sinh yếu kém Xác định một số giải pháp phân bậc, dạy học phân hóa trong dạy học Đại số 10, Đại số và Giải tích 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy

Tìm hiểu những nguyên nhân nào dẫn đến tình trạng yếu kém Toán của học sinh

Thực nghiệm sư phạm để bước đầu khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã xây dựng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu tình trạng yếu kém phần Đại số, Đại số và Giải tích cho học sinh khối 10, khối 11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy, từ đó đưa ra giải pháp khắc phục có hiệu quả

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học Toán, Giáo dục học, Tâm lý học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập của chương trình Đại số 10, Đại số

và Giải tích 11 THPT, sách báo về chất lượng học tập, tình trạng yếu kém Toán, sai lầm phổ biến khi giải Toán,

1.4.2 Phương pháp điều tra quan sát

Điều tra tình hình yếu kém Toán ở học sinh và sử dụng biện pháp dạy học phân hoá, phân bậc của giáo viên trong dạy học Đại số 10, Đại số và Giải tích 11 Qua giảng dạy thực tế của bản thân, qua công tác dự giờ thăm lớp, qua tham khảo ý kiến đồng nghiệp về dạy học phân hoá, phân bậc hoạt động

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

Dạy thử nghiệm một số tiết ở chương trình Đại số 10, Đại số và Giải tích

11 Trung Tâm GDNN – GDTX Cẩm Thủy, Thanh Hóa

1.4.4 Phương pháp thống kê

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của thống kê Toán học để:

+ Điều tra thực trạng trước khi thực hiện giải pháp

+ Kiểm định kết quả sau khi thực nghiệm sư phạm

2 NỘI DUNG

2.1 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

+ Khi gặp dạng Toán này đa phần học sinh không xác định được phương pháp nhớ công thức, cách giải một cách rõ ràng hoặc không hình dung được hướng khai thác như thế nào, nên kết quả đạt được thường không cao

+ Học sinh chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học như: Công thức lượng giác, công thức nghiệm

+ Học sinh lớp 10, lớp 11 mới bắt đầu làm quen với công thức lượng giác các khái niệm phương trình lượng giác, lượng kiến thức được học nhiều, khả năng

tư duy còn chậm, thời gian hoc ở trên lớp còn hạn chế

Trước khi áp dụng đề tài này, tôi đã khảo sát 68 học sinh khối 10, khối 11 Nội dung kháo sát: Cho học sinh làm các câu hỏi sau:

Câu hỏi 1: Kiểm tra bài cũ:

Nhắc lại công thức lượng giác cụ thể công thức cộng; Công thức nhân đôi;

Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặc biệt

Câu hỏi 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin(x 2 )  1 b) cos 2 x 3 sinx 3  0 c) 3 sin 3x 4 cos 3x 5

K t qu nh n ết quả nhận được như sau: ả nhận được như sau: ận được như sau: được như sau:c nh sau:ư

Từ thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra một số biện pháp sau:

2.2 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.2.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản để sử dụng phương pháp.

Trong quá trình dạy học trên lớp, giáo viên cần quan tâm phát hiện những “lỗ hổng” về kiến thức của học sinh Có những “ lỗ hổng” mà giáo viên có thể bổ xung được ngay, nhưng cũng có những “lỗ hổng” dù điển hình với học sinh yếu kém nhưng trên lớp chưa đủ thời gian thì giáo viên cần phải có kế hoạch khắc phục như giành thời gian hợp lý vào buổi ngoại khóa để bổ sung kiến thức cơ bản cho học sinh làm sao cho học sinh dễ thuộc và dễ nhớ nhất

Thông qua quá trình học lí thuyết và làm bài tập của học sinh, giáo viên cần tập cho học sinh có ý thức tự phát hiện những “lỗ hổng” kiến thức và tự bổ sung bằng cách tự tra cứu sách vở, tài liệu để tự lấp “lỗ hổng” đó với phương châm

“học mới - ôn cũ” song song với nhau

Việc học tập có kết quả trong một tiết học thường đòi hỏi những tiền đề xuất phát về kiến thức “nền” của học sinh Giáo viên cần cho tái hiện những

3

kiến thức đó Nhưng đối với những học sinh yếu kém thì nên tách thành một khâu riêng, hình thức tái hiện một cách tường minh tức là nói rõ kiến thức cần

ôn luyện nhằm chuẩn bị cho việc học nội dung nào trong buổi học chính khoá sắp tới và để tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoà nhập vào tiến trình chung của

cả lớp Việc bổ sung kiến thức “ nền” mà học sinh đã quên nhằm giúp học sinh bắt kịp với yêu cầu chung, có thể hoà nhập vào quá trình dạy học đồng loạt Theo tác giả Nguyễn Bá Kim  3 , quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học được thực hiện ở bốn tư tưởng chủ đạo, đó là:

Hoạt động và hoạt động thành phần

Động cơ hoạt động

Tri thức hoạt động

Phân bậc hoạt động

Bốn tư tưởng chủ đạo trên được coi là các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học vì mọi hoạt động của phương pháp dạy học đều hướng vào chúng, dựa vào chúng giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động

Với mục đích khắc phục tình trạng yếu kém Toán, đặc biệt khi trình độ của học sinh không đều, tôi quan tâm đến việc khai thác dạy học phân hóa và phân bậc hoạt động trong môn Toán

Bước 1: Ôn tập củng cố lí thuyết:

Giáo viên ôn tập toàn bộ công thức lượng giác, hướng dẫn học sinh phương pháp nhớ công thức Cho học sinh ghi nhớ bảng giá trị lượng giác

1 Công thức cộng:

sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb cos(a  b) = cosa cosb  sina sinb

b a

b a

b

a

tan tan 1

tan tan

) tan(







 a b a a b b

tan tan 1

tan tan

) tan(









Phương pháp nhớ: Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hởi nàng

Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho

Tan tổng bằng tổng tan ta

Chia một trừ tích tan ta đó mà

2 Công thức nhân đôi

sin2a = 2sinacosa

cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a

a

tan 1

tan 2 2

tan



 Phương pháp nhớ: Sử dụng công thức cộng như

sin2a = sin(a+a)=sinacosa+cosasina =2sinacosa

3 Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2

os

2

a

sin

2

a

a  a a a

2 cos 1

2 cos 1 tan 2





Phương pháp nhớ: Từ công thức cos2a = 2cos2a  1; cos2a = 1  2sin2a ta rút ra được

Công thức biến đổi tích thành tổng:

 cosa.cosb 1 cos a b  cos a b 

2

      

1 sina.sinb [cos a b cos(a b)]

2

 sin a.cos b 1 sin a b  sin a b 

2

      Phương pháp nhớ: Sử dụng công thức cộng, cộng vế với vế sau đó biến đổi đưa về công thức tích thành tổng

5 Công thức biến đổi tổng thành tích:

 cosa cos b 2cos cos

a b a b

a b a b

 sina sinb 2sin cos

a b a b

a b a b

Phương pháp nhớ: cos cộng cos bằng 2 cos cos; cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos; sin trừ sin bằng 2 cos sin; lấy nữa tổng trước, lấy nữa hiệu sau

6 Công thức lượng giác cơ bản

sin 2 cos 2 1



a



2

cos

1 tan

1   ,  k ,kZ

2 







2

sin

1 cot

1   ,  k ,kZ tan  cot   1, k ,kZ

2





Phương pháp nhớ: Từ công thức hạ bậc cộng vế với vế các công thức ta rút

ra được công thức lượng giác cơ bản

5

7 Một số cung liên quan đặc biệt

Cung đối: (cos đối)



 ) sin

sin(    cos(   )  cos  tan(   )   tan 



 ) cot

cot(   

Cung bù: (sin bù)





 ) sin

sin(   cos(    )   cos  tan(    )   tan 





cot(   

Cung phụ: (phụ chéo)







cos ) 2

sin(     ) sin 

2

cos(     ) cot 

2

tan(     ) tan 

2 cot(  

Cung khác  : (khác  tan)





sin(    cos(    )   cos  tan(    )  tan  cot(    )  cot  Phương pháp nhớ: cos đối sin bù phụ chéo khác pi tan

Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặc biệt



sin

2

0

0 

2

1 2

1



2

2

2

3

2

4

1 



cos

2

4

1 

2

3

2

2

2

1 2

1



2

0

0 



3

1



3

1

0 Đối với bảng giá trị lượng giác thì cách nhớ như sin tăng từ (0  0 90 0) tất cả giá trị đều chia cho 2 chẳng hạn

2

0 ;

2

1 ;

2

2 ;

2

3 ;

2

4 cos thì ngược lại sin Dạy cho các em chỉ cần nhớ các công thức về sin và côsin, từ đó suy ra các công thức về tang và côtang dựa vào mối quan hệ của chúng Các công thức nhân các em có thể suy ra từ các công thức cộng, các công thức hạ bậc có thể suy ra từ công thức nhân Các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng có thể học thuộc bằng lời Ví dụ như dùng thơ để nhớ công thức

Ngoài ra còn sử dụng đường tròn lượng giác để nhớ giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặc biệt

Ví dụ: Trong hình trên ta có :

Điểm A biểu diễn cho góc 0 radian

Điểm M biểu diễn cho góc 4 radian

Điểm B biểu diễn cho góc 2 radian

Điểm A’ biểu diễn cho góc  radian

Điểm B’ biểu diễn cho góc 32 radian

Chú ý: Mỗi điểm trên đường tròn lượng giác có thể biễu diễn cho nhiều

góc lượng giác Cụ thể như hình dưới đây có thể biễu diễn được vô số các điểm trên đường tròn lượng ứng với các cung và góc lượng giác

Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác

- Phương trình lượng giác cơ bản:

- Phương trình: sin x = a Phương trình: cosx = a

- Phương trình: tan x = a Phương trình: cot x = a

- Một số phương trình lượng giác thường gặp:

+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Về phương pháp chung: Khi cho một phương trình lượng giác bất kỳ thì học sinh định hướng ngay hay nhận biết ngay phương trình này là phương trình dạng nào, áp dụng công thức nghiệm nào để giải Có những phương trình mới đề bài cho đã rơi vào dạng cung và góc lượng giác đặc biệt khi đó áp dụng công thức nghiệm được luôn

Cụ thể công thức nghiệm:

Phương trình: sin x = a

+) Khi a  phương trình trên vô nghiệm1

+) Khi a  ta có: 1 sin x sin x k2 k Z

 



 Hay: sin x a x arcsin a k2 k Z

x arcsin a k2





 Đặc biệt: x   x  k2 ,kZ

2 1

x  x k2 ,kZ

2 1

sin   sinx 0  xk ,kZ

Phương trình: cosx = a

+) Khi a  phương trình trên vô nghiệm1

+) Khi a  ta có: cosx= a, cosx1 =c aos  x =   + k2, k  Z

Hay: cosx = a  x =  arccos a + k2, k  Z

Đặc biệt: cosx 1  xk2  ,kZ

cosx  1  x  k2  ,kZ

x  x k ,kZ

2 0

9

Phương trình: tan x = a, tan x = tanα  x =  + k, k  Z

(Điều kiện:

2

x k , k  Z) Hay tan x = a  x = arctan a + k, k  Z

Phương trình: cot x = a, cot x= cot α  x =  + k, k  Z

(Điều kiện: x k  , k  Z)

Hay cot x = a  x = arccot a + k, k  Z

Ngoài ra còn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác Cụ thể:

*Nêu phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác như

+ Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác:

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

+ Phương trình bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dùng công thức cộng để đưa về phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác

Giáo viên cho học sinh về nhà giải 1 số phương trình lượng giác đơn giản Sau đó sửa cho học sinh vào các tiết luyện tập và phụ đạo nhằm củng cố lí thuyết, để học sinh làm quen với các dạng bài tập

Bước 3: Hướng dẫn học sinh giải 1 số phương trình dạng thường gặp.

Sau khi học sinh đã nắm được phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác đơn giản, giáo viên bắt đầu cho các em giải 1 số phương trình lượng giác dạng nâng cao hơn nhằm phát huy tính tư duy tích cực của học sinh

2.2.2 Các dạng toán điển hình

Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng: at + b = 0 (1)

Trong đó a, b là các hằng số (a0), t là một trong các hàm số lượng giác

Định hướng cách biến đổi: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình về dạng cơ bản

Bài toán 1: Giải các phương trình sau:

)

a sin 3x 1  0 b) 2 cos 3x 3  0 c) cot 2x 1  0

Hướng dẫn:

Tất cả các phương trình đều đưa về phương trình lượng giác cơ bản

)a sin 3x 1  0  sin 3x 1  x k2 ,kZ

2

3    x k ,kZ

3

2 6





)

b 2 cos 3x 3  0 

2

3 3

cos x  x  k2 ,kZ

6

 x  k ,kZ

3

2 18





)

c cot 2x 1  0  cot 2x  1  x k ,kZ

4

3

2    x k ,kZ

2 8

3  

Qua bài toán 1 giúp cho học sinh phần nào hiểu được cách sử dụng phương pháp chuyển về phương thình lượng giác cơ bản Tuy nhiên vấn đề học sinh gặp khó khăn trong các bài toán dạng này đó là: Khi đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản rồi lại không biết lấy nghiệm Do đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát vế phải của phương trình rơi vào trường hợp đặc biệt nào để

áp dụng công thức nghiệm rồi lấy nghiệm một cách chính xác

Các bài toán luyện thêm dạng

Bài toán 2: (Bài tập 1,3 SGK trang28 Đại số và giải tích 11)

11