HSG de dap an

[r]

đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

Năm học: 2006 – 2007

Thời gian : 150 phút Câu1: Cho hàm số: y = 2 2 1



 x



 x x

a.Vẽ đồ thị hàm số

b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tơng ứng

c.Với giá trị nào của x thì y 4

Câu2: Giải các phơng trình:

a 9  12x 4x2 = 4

b 3 2 18 28



 x



 x

x = -5 – x2 + 6x

c

3

3

2

2







x

x

Câu3: Rút gọn biểu thức:

a A = ( 3-1) 6  2 2 3  2  12  18  128

b B =

2 1 1

2

1

3 2 2 3

1

 + +

2006 2005 2005

2006

1

2007 2006 2006

2007

1



Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB

=MBA=150

Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ

a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN

b Chứng minh tam giác MCD đều

Câu5: Cho hình chóp SABC có SASB; SASC; SBSC

Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x

a Tính Vhchóptheo a, k, x

b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất

đáp án chấm

Câu1: ( 4điểm)

Câu a : (2đ)

4 – 2x nếu x  1

* Đa đợc về hàm số y=  2 nếu 1x3 ( 1đ )

2x – 4 nếu x 3

* Vẽ đợc đồ thị hàm số nh hình vẽ : 1 điểm

Câu b: 1điểm

Dùng đồ thị tìm đợc

Min y = 2  1x3

Câu c: 1 điểm

Dùng đồ thị biết y4  x0; x4

Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm

a/ 9  12x 4x2 = 4

 ( 3  2x) 2 = 4

 3  2x = 4 ( 0,5đ)

 3 –2x = 4 hoặc 3 – 2x =-4

 x = -1/2 hoặc x= 7/2( 0,75đ)

Trả lời nghiệm của pt (0,25đ)

b/ 3 2 18 28







 x

x = -5 –x2+6x Viết đợc: 3 2 18 28









4 2 24 45



 x





x 3 (0,75đ) -5 –x2+6x= -(x-3)2 + 4 4

3 (x 3 ) 2  1=1

Để pt có nghiệm thì  4 ( 3 ) 2 9





x =3  x=3(1đ) -5 –x2+6x = 4

Nghiệm của pt là: x=3 (0,25đ)

c/

3

3 2

2







x

x



3

) 3 )(

1

(







x

x x

=x-1  x 1= x-1 ( Vì x 3 0 do x1

 x 1(1- x 1) = 0

 x =1; x=2 ( Thoả mãn đk) ( 1đ)

Nghiệm của pt là x=1;x=2 (0,25đ)

Câu3: (4điểm)

a Biến đổi đợc A = ( 3-1)( 3+1)=2 (2đ)

b Đa ra đợc đẳng thức vận dụng và CM

( 1) 1 1





k

1

-1

1



k (0,75đ) áp dụng:

3 2 2 3

1 2

1

1

2

1







2006 2005 2005

2006

1

2007 2006 2006

2007

1



=

1

1

-2

1

+

2

1

-3

1

+ +

2006

1

-2007 1

=

1

1

-2007

1

=

2007

1

2007  (1,25đ)

C

Câu a:(2đ)

* CM đợc AMN=BMN(c.c.c)

Để suy ra AMN = 1/2 AMB=1/2 (1800– 2MAB) N M Hay AMN = 1/2(1800-2.150) = 750 (1đ)

CM đợc AMN=AMD(c.g.c) ( 1đ) A D

Để suy ra MD =MN

Câub: (1,5đ)

BMN=BMC(c.g.c)

Suy ra : MC = MD

 MCD cân tại M

Tính đợc góc MCD = 600 để suy ra MCD đều

Câu5: (4điểm)

Câu a: (2đ)

Vì SA  SB, SA  SC A

 SA là đờng cao của hình chóp a x

 Ta có: V = 1/3SA 1/2SB.SC (1đ)

=1/6ax(k-x)

Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi

Nên x( k-x) lớn nhất khi và chỉ khi x= k-x

 x= k/2 ( 1đ)

MaxV = 1/6 a.k/2.k/2 = 1/24ak2

Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi SB = SC = k/2 ( 1đ)

Chú ý: Mọi cách giải thích khác đều đợc điểm tối đa