HSG de dap an

HiÖn t¹i tuæi anh gÊp ®«i tuæi em lóc anh b»ng tuæi em hiÖn nay... Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF.[r]

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Thời gian: 150 phút

Chứng minh:

3 3 2 -1 = 3

9

1 - 3

9

2 +3

9

4

Cho 4a2+ b2 = 5 ab (2a > b > 0)

Tính số trị biểu thức: M = 2 2

ab



Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0 và c,d là các nghiệm của phơng trình: x2 + qx + 1 = 0 thì ta có:

(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Tuổi anh và em cộng lại bằng 21 Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay Tính tuổi của anh, em

Giải phơng trình: x4 + 2 2006



x = 2006

Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y =

-4

2

x và đ-ờng thẳng (d): y = mx – 2m – 1

1 Vẽ (P)

2 Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)

3 Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A  (P)

Bài 7: (2 điểm).

Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x+ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt đợc

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB

và tiếp tuyến chung trong EF, A,E  (O); B, F  (O’)

a Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh:

∆ AOM ∾ ∆ BMO’

b Chứng minh: AE  BF

c Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng

Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thớc là d và góc nhọn giữa đờng chéo bằng 

đáp án và biểu chấm

Thời gian: 150 phút

Đặt a = 3 2 thì:

3 3 2 -1 = 3

9

1

- 3 9

2

+3 9

4

 9(a-1) = (1 –a + +a2)3

Biến đổi tơng đơng đợc a3 = 2 (đúng) (1 điểm)

+ Từ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*) (0,5 điểm)

+ Từ: M = 2 2

ab

 kết hợp (*) suy ra đợc: M2 =

9

1

(0,5 điểm)

+ Từ: M = 2 2

ab

 kết hợp (2a > b > 0) suy ra: M > 0 (0,5

điểm)

Tính đợc: M =

3

1

(0,5

điểm)

Theo hệ thức Viet ta có:

(I)































1

1

d c

q d c

ab

p b a

(0,5

điểm)

(a – c)(b –c)(a+d)(b+d) (*)

Kết hợp (I) và (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 – p2 (1,5

điểm)

Gọi tuổi em hiện tại là (0 < x < 21) (0,25

điểm)

Thì tuổi anh hiện tại là 21 – x

Thời điểm anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh là x, tuổi em là

2

1

Ta có phơng trình

x -

2

1

(21 - x) = 21 - x – x Giải đợ x = 9 (thoả mãn điều kiện) (0,75 điểm)

Tính đợc: Tuổi anh: 21 –9 = 12

Đáp số: 12 tuổi9 tuổi. (0,25 điểm)

x4 + 2 2006



 x4 = 2006 - x2  2006

 x4 + x2 +

4

1

= x2 + 2006 - 2 2006



4 1

 2 ) 2

2

1 (x  = ( x2  2006 -

2

1

)2

 x2 +

2

1

= 2 2006 21





điểm)

* x2 +

2

1

> 0 nên: x2 +

2

1

= x2  2006 -

2

1

(0,25 điểm)

* Biến đổi tơng đơng đợc: x4 + x2 – 2005 = 0 (1)

Đặt x2 = y ( y 0) (1)  y2 + y – 2005 = 0 (2) (0,5 điểm)

Giải (2) đợc: y1 =

2

8021

1 

 : y2 =

2

8021

1 

Suy ra: x1 =

2

8021

1 



x2 =

2

8021

1 



Bài 6: (2 điểm)

a Vẽ đồ thị

b Khi (d) tiếp xúc với (P) ta có phơng trình: - 4 2 x = mx – 2m – 1  x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 và '  = 0 Tính đợc m = -1 Suy ra: m = - 1 thì (d) tiếp xúc (P) (0,75 điểm) c Giả xử (d) đi qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì: y0 = mx0 – 2m –1 đúng với  m Tính đợc: xY00 = 2 = -1 Vậy (d) luôn đi qua điểm A(2; -1) thuộc (P) (0,75 điểm) Bài 7: (2 điểm) Điều kiện: x  0; y  0 để x; y ; xy Có nghĩa (0,25 điểm) A = x - 2 xy + 3y – 2 x + 1 Biến đổi đồng nhất đợc: A = ( x - y - 1) 2 + 2 1 ( 2 y - 1) 2 - 2 1 (0,75 điểm) Suy ra đợc: min A = - 2 1  x = 4 9 (thoả mãn đ/k) y = 4 1 (thoả mãn đk)

(1điểm)

(0,5 điểm)

Bài 8: (4 điểm).

Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp (0,5 điểm) a Chỉ ra đợc  AOM ∾ BMO (g.g)’ (0,5 điểm) b Chỉ ra đợc BF  O’M => BF OM (0,5 OM  O’M Chỉ ra đợc AE  OM BF OM => AE BF Điều phải chứng minh (0,5 điểm) c, Gọi H là giao điểm của AE và OM K là giao điểm của BN và MO’ áp dụng hệ thức lợng cho hai tam giác vuông AOM và BMO’ Ta có: OA2 = OH OM MB2 = MK MO’

=>

2









MB

OA =

MK

OH

'

MO

OM

(0,5 điểm)

Kết hợp:  AOM ∾ BMO’(chứng minh câu a) suy ra đợc:

MK

OH

= '

MO

OM

=>

OM

OH

= '

MO

MK

=>

OM

OH

= '

MO

HN

(Do chứng minh đợc: MK = HN)

Chỉ ra đợc: OHN ∾ OMO’ (c.g.c) (1,0

điểm)

Tính đợc: ONH + HNE +FNO’= 1800

điểm)

Giả sử hình chữ nhật ABCD đã

dựng đợc thoả mãn yêu cầu bài toán:

AB – AD = d góc nhọn AOD = 

+ Thể hiện đợc trên hình vẽ

1 Cách dựng:

- Dựng EDB có EB = d, BED

- Dựng tia BE

- Lấy O là trung điểm của BD, dựng DOx =  tia BE cắt Ox tại điểm A ( Ox và điểm E nằm về 1 phía so với bờ BD)

- Dựng điểm C đối xứng với A qua O

Nối AD, DC, BC đợc hình chữ nhật ABCD (1 điểm)

2 Chứng minh:

Chỉ ra đợc ABCD là hình chữ nhật

Chỉ ra đợc: AB - AD = d

DOA = 

Kết luận: ABCD là hình chữ nhật cần dựng (0,5

điểm)

D

B d

E A

 O

(0,5

điểm)

x

= 1350; EBD =

2

