[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi Môn thi : Toán học - Thời gian : 150 phút Câu I: Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d)
a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn nhất
CâuII: Giải các phơng trình:
a) 2 x2 2x 1 x2 6x 9 6
b) x 2 x 1 x 2 x 1 1
Câu III:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= xy z yz x zx y với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1
b) Giải hệ phơng trình:
12 2
3
2
2 3
2 5
1
z y x
z y
x
c) B =
x x x
x x x x x x
x x x
2
2 2
2
2 2 2
2
1 Tìm điều kiện xác định của B
2 Rút gọn B
3 Tìm x để B<2
Câu IV:
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ
đỉnh A Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M Đoạn MO cắt cạnh AB ở E Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F Kéo dài
CA cho cắt đờng thẳng BM ở D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N
a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD
b) Chứng minh EF // BC
c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN
d) Cho OM =BC = 4cm Tính chu vi tam giác ABC
Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O Dựng điểm A thuộc miền ngoài
đ-ờng tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đđ-ờng tròn cắt đđ-ờng thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
Đáp án
I
(3đ) a) y luôn đi qua một điểm cố định với mọi mb) Xác định giao của (d) với Ox là A và Oy là B, ta có:
OA = 2: (|2 - m|); OB = 2
+OH là khoảng cách từ O đến AB Do OH = 1 Thay vào tính
m = 2 - 3 hoặc m = 2 + 3
+ Các đờng thẳng tơng ứng y = 3x + 2 và y = - 3x + 2
c) OH đạt GTLN m2 - 4m + 5 đạt GTNN m = 2
+ Đờng thẳng y = 2 và OH = 2
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 2(4đ)
a) Đa về dạng: 2|x+1| + |x-3| = 6
+ Xác định ĐK của x:
+ Với x < 1 có x =
-8 5
+ Với -1 x < 3 có x =1
+ Với x > 3 có x =
3
7 TXĐ
Kết luận : x =
-8
5
và x =1 là nghiệm b) ĐKXĐ: x 1
+ Đa về dạng: 2x + 2 x2 4 (x 1 ) 4
+ Pt : x + | 2 - x| = 2
+ Kết luận 1 x 2 là nghiệm
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
III
(6đ) a) Dùng BĐT Cô si
x
yz z
xy x
yz
z
xy
2
x
yz z
xy
2y
y
zx x
x z
xy
y
zx
2
KL: A nhỏ nhất bằng 1 với x = y = z =
3 1
b) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đa về dạng:
12 2
3
2
2 6
)2
(2 15
)1 (3
z y x
z y
x
Giải tìm hệ số tỉ lệ là 1
Tính đúng x = 6; y = 5; z = 4
c) 1 Tìm ĐKXĐ của B là x 0 và x 2
2 Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2 x2 2x
3 B< 2 2 x2 2x< 2 ( x - 1)2 < 2
Kết luận giá trị của x: 1- 2 < x< 0 và 2 x < 1+ 2
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 1
0.5 0.5
IV
(5đ) + Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xáca) + OM // CD ( cùng vuông góc với AB)
+ Do O là trung điểm của BC và OM // CD M là trung điểm của BD
b) Do AH // DB ( cùng vuông góc với BC)
theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét
MB
FH DM
AF
AF = FH hay F là trung điểm của AH
+ Chỉ ra E là trung điểm của AB EF là đờng trung bình của tam
giác AHB hay EF// BC
c) Gọi giao điểm của NH với đờng thẳng BM là P Do AH//MP và F là
trung điểm của AH Chỉ ra B là trung điểm của MP
+ Tam giác HMD cân tại đỉnh H ( do HB vừa là trung tuyến, vừa là
đ-ờng cao HB là phân giác góc MHD
+ Vì HA vuông góc với HB nên suy ra AH là tia phân giác của góc
MHN
0.5 0.25 0.25
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 3d) + Chứng minh đợc ABC = BMO ( c.h- g.n)
có OB = 2cm; OM = 4cm
+ Tính đợc BM = 2 3 ( cm)
BC = 4cm; AC = BO = 2cm tính AB = 2 3
+ Tính đợc chu vi ABC bằng ( 6 + 2 3) cm
0.5 0.25 0.25 0.5
V
(2đ)
+ Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp sạch
+ Diện tích ABC là S, viết đợc S =
2
.
+ Tính đợc S 8
+ Do Smin = 8 AB = AC, AC = CI
Vậy tam giác ABC phải vuông cân tại A
Từ đó có cách dựng điểm A
0.5
0 5
0 5 0.5