[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : toán Thời gian : 150 phút
Đề bài :
I - Phần trắc nghiệm :
Chọn đáp án đúng :
a) Rút gọn biểu thức : a4 ( 3 a) 2 với a 3 ta đợc :
A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3)
b) Một nghiệm của phơng trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 là
A
-2
1
k
; B
2
1
k
; C
-2
3
k
; D
2
3
k
c) Phơng trình: x2- x -6=0 có nghiệm là:
A X=3 ;B X=3 ; C=-3 ; D X=3 và X=-2
d) Giá trị của biểu thức:
3 2 3
6 2 2
bằng :
A
3
3
2 ; B 1 ; C
3
4
; D
3
2 2
II - Phần tự luận :
Câu 1 : a) giải phơng trình : 2 16 64
x + x2 = 10
b) giải hệ phơng trình :
1 5 2
8 3 2
y x
y x
Câu 2: Cho biểu thức : A =
1 1
2
1
x x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A > -6
Câu 3: Cho phơng trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Nếu gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm 2 nghiệm đó
Câu 4: Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh rằng 1<
c a
c c b
b b a
a
Câu 5: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác , I là trung
điểm của cạnh AC phân giác của góc A cắt đờng tròn tại M , kẻ đờng cao AK của tam giác Chứng minh :
a) Đờng thẳng OM đi qua trung điểm N của BC
Trang 2b) Góc KAM = góc MAO
c) AHM NOI và AH = 2ON
Câu 6 : Cho ABC có diện tích S , bán kính đờng tròn ngoại tiếp là R và ABC có các cạnh tơng ứng là a,b,c Chứng minh S =
R
abc
4
Đáp án và biểu chấm
I ) Phầnn chắc nghiệm (4 điểm)
a) C ; b) D ; c) B ; d) C
II) Phần tự luận
Câu 1: (2điểm)
a) Giải phơng trình: 2 16 64
x + x2 = 10 x 8 x =10 Giải ra: x=-1; x=9
b) Rút x 2 từ (2) rồi thay vào (1) ta đợc: 1+5y+ y 3 =8 (3)
Giải phơng trình (3) ta đợc : y=1 thay vào (2) tìm đợc x1=4 ; x2=-8
Kết luận hệ phơng trình co 2 nghiệm : x1=4 ; y1=1
X2=-8 ;y2=1
Câu 2 : (2điểm)
a) Đặt x=a, rút gọn đợc A=-2a
do đó A=-2 x (0<x ;x1)
b) Để A> -6 -2 x>-6
Suy ra: 1<x<9
Câu 3: (4 điểm)
a) PT đã cho có bậc hai:
/
= (m-1)2 - (2m-5)
= m2- 4m+6 = (m-2)2+2 >0 với mọi m
b) Theo (a) thì PT có nghiệm :
Theo hệ thức Viet
X1+x2 =2(m-1) Để x1+x2=6 ta phải giải PT
2(m-1) = 6 m = 4
- Với m = 4 thì PT có dạng x2-6x+3 = 0
giải ra: x1=3+ 6 ; x2 = 3 - 6
Câu 4: (2điểm) Ta có
a)
b
a
a
>
c b a
a
b c a
c c
a
c a c b
b c
b
b
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta có
1
c c
b
b
a
b
a
(1)
Ta lại có:
a c b
c b a
b c
a
a c a c b
c c b b a
b b a c a
c c
b
b
b
a
a
3 ) ( ) ( ) (
Chứng minh tơng tự (a) biểu thức trong ngoặc >1 nên
a c b
c
b
a
b
< 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh
Câu 5: (3diểm)
a) Chứng minh 0M là đờng trung trực của BC
Trang 3b) Chứng minh : góc KAM = gócAMO ( so le trong )
A
góc AMO = góc MAO ( vì AMO cân )
I H O
B
K N C
góc KAM = góc MAO
c) AHB ~NOI ( có các cạnh tơng ứng song song )
Câu 6: (3Điểm )
Vẽ đờng tròn ngaọi tiếp ABC ; AH là đờng cao , AA’ là đờng kính ta có : ABH
~ AA’C (vì góc H = góc C = 900 ; góc B = góc A’ )
R
bc AA
AB AC AH AA
AB
AC
AH
2 '
R
abc BC
AH
S
4
.
2
1