Chøng minh AE.AB = AF.[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi khối 9
môn : Toán
(Thời gian: 150 phút)
đề bài
Câu I ( 4 điểm )
Giải phơng trình:
CâuII (3 điểm )
1 Tính
P =
2000
1999 2000
1999 1999
2 2
2 Tìm x biết
Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn
Câu III ( 6 điểm )
1 Chứng minh rằng số tự nhiên
2006
1 2005
1
3
1 2
1
2 Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mãn : x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
xy y x
1 1
3
3 Chứng minh bất đẳng thức:
2
9
2 2 2
2 2 2
2 2 3 3 3
ac b
a c bc a
c b ab c
b a abc
c b a
Câu IV ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tai A, đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh
AB, AC lần lợt tại E và F
1 Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật;
2 Chứng minh AE.AB = AF AC;
3.Đờng rhẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I Chứng minh I là trung điểm của
đoạn BC;
4 Chứng minh rằng nếu diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân
Câu V ( 1 điểm)
Cho tam giác ABC với độ dài ba đờng cao là 3, 4, 5 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?
Đáp án và biểu điểm chi tiết
CâuI ( 4 điểm )
điểm)
Trang 2 ( x - 1)(x - 3)(x + 8) = 0 (0,5 điểm)
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm (0,5 điểm)
Câu II.( 3điểm)
2000
1999 2000
1999 1999
2 2
P =
2000
1999 2000
1999 1999
2
2 2
P =
2000
1999 2000
1999 2000
2
2000
1999
+
2000 1999
2
Câu III ( 6 điểm)
1 Ta biến đổi tổng trong dấu ngoặc
2006
1 2005
1
3
1
2
1
1004
1 1003
1
2005
1 2
1 2006
1
điểm)
1004 1003
1
2005 2
1 2006
1
1004 1003
1
2005 2
1 2006
1
=2007.B (0,75 điểm)
Vậy A = 1.2.3 2006.2007.B nên A chia hết cho 2007 (0,75 điểm) 2
điểm)
Thay vào biểu thc A ta có:
A =
xy
xy y
x y
x
xy y
3 3
3
3
(0,25
điểm)
=
xy
y x y x
3 3
3
điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Trang 3y x y
x
xy
3
3
3
xy
y x y x
3
3 2 2 1 2
1
3
3 2 2 1 2
1
(0, 5
điểm)
3
3 2 2 1 2
1
3
3 2 2 1 2 1
3
Đặt A=
ac b
a c bc a
c b ab c
b a abc
c b a
2
2 2 2
2 2 2
2 2 3 3 3
2
=
ac c
a c bc a
c b ab c
b a ab
c ac
b bc
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
điểm)
=
2
3 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
ab c
b a ab
ab c ac b
a c ac
ac b bc a
c b bc
bc a
(0, 5
điểm)
2
3 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
ab c
ab ab
ab c ac
b
ac ac
ac b bc
a
bc bc
bc
a
(0, 75 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
A
2
9 2
3 2 2
2
điểm)
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0,25 điểm)
Câu IV ( 6 điểm) (HS vẽ đúng hình cho 0,25 điểm)
1.Ta có: A = 1v (gt) (0,25 điểm) Chứng minh đợc E = F = 1v (0, 5 điểm)
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (0,25 điểm)
2 Chứng minh đợc hai tam giác vuông AEF và ACB đồng dạng (0, 75 điểm)
Suy ra
AB
AF AC
AE
3
Gọi K là giao điểm của AI và EF (0,25 điểm) Chứng minh đợc E1 + EKA = 900 (0, 5 điểm)
B + C = B + E1 = 900 (0, 5 điểm) suy ra B = EAK suy ra tam giác IAB cân nên IA = IB (1) (0, 5 điểm) Chứng minh tơng tự ta có: tam giác IAC cân nên IA = IC (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra IB = IC tức là I là trung điểm của BC (0,25 điểm)
nhng SAEHF = 2SAEF nên SABC = 4SAEF (0,25 điểm)
2
2
FE
BC S
S
AEF
2
1
BC = AI (0, 5 điểm)
EF = AI = AH (0,25 điểm) Nhận thấy:
Đờng cao AH bằng trung tuyến AI
khi và chỉ khi tam giác ABC cân Vậy Nếu
A
H
F E
K
I
1
1
Trang 4SABC = 2SAEHD thì tam giác ABC sẽ vuông cân (0, 5 điểm)
Câu V( 1 điểm)
Suy ra 3a = 4b = 5c = 2SABC
12 15
15 20
4
5
3
4
c b
b a c
b
b
a
(0,25 điểm)
k c k b k a
k c b
a
12
; 15
; 20 12
15
(0,25 điểm)
2 2
a
VậyABC là tam giác thờng có A > 900 (0,25 điểm)
Chú ý: - HS không vẽ hình câu IV không chấm điểm
- Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa