[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi môn toán Câu 1:(4đ) Tính giá trị của biểu thức
A=
3 2 4 2
3 2
+
3 2 4 2
3 2
B= 12 23 - 12 23 - 2
Câu 2:(4đ) Giải các phơng trình
x
x = 7 4 3
b 25 x2 - 10 2 3
x
Câu 3: (4đ)
a Cho a, b, c là các số không âm: a+b+c=1
Chứng minh a 1 b 1 c 1 <3,5
b Chứng minh (a3+b3+c3) ( 13 13 13
c b
b a b
a c a
c
( 2
3
) với a, b, c là các số thực dơng
Câu 4: (4đ) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N theo thứ tự là trung
điểm của AB, BC Các đoạn thẳng MC, ND cắt nhau tại P Gọi E là giao điểm của
đờng thẳng MC và AD F là trung điểm của EP
a.Chứng minh MCND
b.Tính AP, FD
c.Chứng minh 4 điểm B, F, A, D cùng thuộc một đờng tròn
Câu 5: (2đ) Cho tam giác ABC vuông tại A Một đờng thẳng d đi qua trọng tâm G
của tam giác cắt AB, AC lần lợt tại M, N Chứng minh 1 2 12
AN
9
BC
Câu 6: (2đ) Cho a > 0, b > 0, a+b=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của
M=(1+1)2
a (1+1) 2
b
Hớng dẫn chấm môn Toán Bài 1:(4đ) a.(2đ)
) 1 3 ( 2
3 2
) 1 3 ( 2
3 2
0.5đ
A=
3 3
3 2 3 3
3 2
) 3 ( 3
) 3 3 ( 3 2 ( ) 3 3 )(
3 2
(
0.5đ
Trang 2Từ đó suy ra A=1 rồi kết luận 0.5đ
b.(2đ)
Bài 2:(4đ)
a.(2đ)
2
)
2
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x1=4+ 3; x2=- 3 0.5đ
b.(2đ)
Đặt 25 x 2 a; 10 x 2 b( a 0; b 0) 0.25đ
a-b=3 a=b+3 (1)
Từ (1) và (2) suy ra (3+b)2 – b2 = 15
Bài 3: (4đ)
a.(2đ) áp dụng bất đẳng thức CoSi
2
2
a
Tơng tự
2
2
b
2
2
c
Cộng vế với vế (1), (2) và (3) Ta có:
1
a + b 1+ c 1
2
6
b c a
=
2
7
Dấu ‘=” xảy ra a+1=b+1=c+1
b.(2đ)
Vì a, b, c 0 nên (a+b)(a2 – ab+b2) 0
0.25đ
(a+b)( a2 – ab+b2) –(a+b)ab 0
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có
2(a3 +b3 +c3) (a+b)ab + (b+c)bc+(c+a)ca (1) 0.25đ
Trang 3Mặt khác áp dụng BĐT CoSi cho 3 số không âm
Ta có
3 3 3
1 1
1
c b
3
Nhân vế với vế của (1) và (2) Ta có
2(a3+b3+c3) ( 13 13 13
c b
a ) > abc
3
[(a+b)ab + (b+c)bc+(c+a)ca] 0.25đ
(a3+b3+c3) ( 13 13 13
c b
b a b
a c a
c
( 2
3
Bài 4:(4đ)
Vẽ hình, viết GTKL đúng, chính xác B N C
a (1.5đ) BMC = CND (c-g-c) P 0.25đ
C Nˆ P + NCˆ P =900 F
0.25đ
Suy ra tam giác vuông DPE có PA là trung tuyến thuộc cạnh huuyền
c.(1.5đ)Gọi O là giao điểm của AC và BD
O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD 0.25đ Vì EF = FC; AE = AD
FA là đờng trung bình của tam giác PEC 0.25đ
A ˆ F C = 900
F thuộc đờng tròn tâm O đờng kính AC 0.25đ
Mà A, B, D thuộc đờng tròn đờng kính AC, BD
B, F, A, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính BD 0.25đ
Bài 5: (2đ)
Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến MN
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông AMN ta có
2 2
2
1 1
1
AN AM
Do AG > AH (cạnh huyền và cạnh góc vuông)
1 2
1
1
2
1 3
2 (
1
BC = 92
BC
0.5đ
1 2
9
Từ (1) và (2) Suy ra 1 2 12
AN
9
Trang 4Dấu đẳng thức xảy ra dAG 0.25đ
Bài 6: (2đ)
M= (1+1) 2
a +(1+1) 2
b Vì a+b + c = 1
M= (1+ ) 2
a
b
a
+ (1+ ) 2
b
b
a
0.5đ
=(2+
a
b
)2 + (2+
b
a
)2
0.5đ
=8 + ( 22 22
a
b
b
a
) +4(
a
b b
a
(vì a>0, b>0 nên 22 22
a
b b
a
2 và
a
b b
a
Vậy GTNN của M = 18 a=b=
2 1
0.25đ