chuyen de ham so mu logarit phan 2

[r]

Trang 1

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

PHA ̀N 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

A Tóm tắt lý thuyết:

 Cho 0 < 𝑎 ∈ ℝ và 𝛼 là số vô tỉ Xét một dãy số hữu tỉ 𝑟1; 𝑟2; … ; 𝑟𝑛; … mà lim 𝑟𝑛 = 𝛼 người ta chứng minh đươ ̣c rằng dãy số thực: 𝑎𝑟1; 𝑎𝑟2; … ; 𝑎𝑟𝑛; … có giới hạn xác định (không phụ thuô ̣c vào dãy số hữu tỉ đã cho ̣n) và gọi giới hạn đó là lũy thừa của 𝑎 với số mũ 𝛼, kí hiệu là: 𝑎𝛼 và 𝑎𝛼 = lim𝑛→+∞𝑎𝑟 𝑛

Chú ý:

 khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

 khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

 Lũy thừa với số mũ thực của một số dương có đầy đũ các tính chất như của lũy thừa với số mũ nguyên

 Khi so sánh các số dạng lũy thừa, cần lưu ý:

 Cùng cơ số, khác số mũ:

𝑎 > 1 va 𝑥 > 𝑦 ⇔ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦

0 < 𝑎 < 1 va 𝑥 > 𝑦 ⇔ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦

 Cùng số mũ, khác cơ số: giả sử 𝑎 < 𝑏

𝑥 > 0 ⇔ 𝑎𝑥 < 𝑏𝑥

𝑥 < 0 ⇔ 𝑎𝑥 > 𝑏𝑥

 Khác cơ số, khác số mũ: ta đưa về mô ̣t trong hai trường hợp trên, hoă ̣c so sánh với mô ̣t số trung gian

có cùng cơ số khác số mũ

 Ứng dụng trong thực tế cuộc sống:

 Công thức tăng trưởng mũ: 𝐶 = 𝐶𝑜 𝑒𝑛𝑖

- 𝐶𝑜 là tình trạng ở thời điểm ban đầu 𝑛 = 0

- 𝑖 là hệ số tăng trưởng (𝑖 > 0 ứng với quá trình tăng trưởng, 𝑖 < 0 ứng với quá trình suy giảm)

- 𝐶 là tình trạng ở thời điểm 𝑛 bất kỳ

 Các hiện tượng tăng trưởng dân số tự nhiên, tăng trưởng số lượng vi khuẩn, tăng trưởng đồng vốn khi lãi xuất phần trăm không đổi và hiê ̣n tượng phân rã phóng xa ̣,… là những tăng trưởng mũ

B Các loại bài tập:

1 Loại 1: ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC

a 𝑎 2 𝑎13: 𝑎3 3 2

b 𝑎2 2−𝑏2 3

𝑎 2 −𝑏 3 2+ 1

c 𝑎

2 3 −1 𝑎2 3+𝑎 3 +𝑎3 3

𝑎 4 3 −𝑎 3

d 𝑎 5−𝑏 7

𝑎2 53 +𝑎

5

3 𝑏

7

3 +𝑏2 73

e 𝑎𝜋+ 𝑏𝜋 2− 4

1

9𝑎𝑏

𝜋

2 Loại 2: SO SÁNH CÁC SỐ

1) So sánh các số 𝑝; 𝑞 biết rằng:

3

𝑝

> cot𝜋

3 𝑞

2) So sánh 𝑎 với số 1 biết 0 < 𝑎 ≠ 1

a 𝑎23 > 𝑎34

b 𝑎−5 > 1

c 𝑎−35 > 𝑎− 22

d 𝑎tan5𝜋6 > 𝑎cos5𝜋6

Trang 2

CHUYÊN ĐÊ ̀ HÀM MŨ – LOGARIT http://violet.vn/lhhanh

3) So sánh các số 𝛼; 𝛽 biết:

a 𝛼 = 𝜋−34; 𝛽 = 𝜋−45

b 𝛼 = 3 − 5 − 2; 𝛽 = 3 − 5 − 3

c 𝛼 = 3 − 1

1

4; 𝛽 = 3 − 1

2 2

a 𝛼 = 3

7

−11

; 𝛽 = 5

9

−11

b 𝛼 = 3

5

− 2

; 𝛽 = 2

2

− 2

c 𝛼 = 4

3

−7

; 𝛽 = 5

4

−7

d 𝛼 = 1

8

5

; 𝛽 = 1

9 5

a 𝛼 = 10; 𝛽 = 34

b 𝛼 = 2 23 −6; 𝛽 = 2−11

c 𝛼 = 1

3

; 𝛽 = 𝜋

4

−0,3

d 𝛼 = 𝜋

2

; 𝛽 = 𝜋

5

− 3

e 𝛼 = 13

11

2

; 𝛽 = 169

121

3

−35

3 Loại 3: CÁC BÀI TOÁN KHÁC

1) Hãy tính:

a 3 3

3

b 41−2 3 161+ 3

c 27 2: 33 2

d 25 8 4

5

2) Tìm 𝐺𝑇𝐿𝑁, 𝐺𝑇𝑁𝑁 (nếu có) của biểu thức

a 𝑦 = 3−𝑥+ 𝑥

b 𝑦 = 2𝑥−1+ 23−𝑥

c 𝑦 = 𝑒

𝑥 1+𝑥 2

d 𝑦 = 5sin2𝑥 + 5cos2𝑥

3) Đưa về lũy thừa theo cơ số 𝑚 biết:

a 𝐴 =9 3

5

9

3 vớ i 𝑚 = 3

b 𝐵 =8 16

5

32

4 vớ i 𝑚 = 2 2

c 𝐶 =3 27

4

81

7 vớ i 𝑚 = 9 33

d 𝐷 =

2 16 2 83 4

5

4 2

3 vớ i 𝑚 = 8 2 23

e 𝐸 = 81 3 27

5

3 3

3 vớ i 𝑚 =3 9 35

4 Loại 4: ÁP DỤNG CÔNG THỨC 𝑎𝑢 = 𝑎𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 (0 < 𝑎 ≠ 1)

1) Vớ i giá tri ̣ nào của 𝑎 thì phương trình: 2𝑎𝑥2−4𝑥+2𝑎 = 2 4 có nghiệm duy nhất

2) Hãy tìm 𝑎 để có đẳng thức: 4 23𝑎 = 0,25

𝑎 2 2

3) Hãy tìm 𝑎 để có đẳng thức: 0,2 3𝑎−5 = 25𝑎2

5 Loại 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

1) Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Indonesia là 1,5% năm 1998 dân số của nước này là 212.942.000 người Hỏi dân số của indonesia vào năm 2006 là bao nhiêu?

2) Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của Italy là 0,1% năm 1998 dân số của nước này là 56.783.000 người Hỏi dân số của Italy vào năm 2020 là bao nhiêu?

3) Năm 1994 tỉ lệ thể tích khí 𝐶𝑂2trong không khí là 358106, biết rằng tỉ lê ̣ thể tích khí 𝐶𝑂2 trong không khí tăng 0,4% hàng năm Hỏi năm 2008, tỉ lệ thể tích khí 𝐶𝑂2trong không khí là bao nhiêu?

Định dạng
Số trang	2
Dung lượng	663,27 KB