Lý thuyết và bài tập Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Toán 12 có đáp án

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.. Vững vàng nền tảng, K[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ

HÀM SỐ LOGARIT TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I LŨY THỪA

1 Các công thức:

(1) a a n  a a a (n số a )

(2) 0

1

a a 

(3) a a n 1n

a

   

(4) aa a 

(5) a a

a



 





 (6) (a ) a .

(7) (ab) ab

(8) a a



  

 

 

(9)

m

m n n

a a  a

(7) n abn a b.n (8) n a p  n a p(a0) (9) ( 0)

n n n

b

b  b 

(10) m n a mn a

(11) n a p  n a p(a0) (12) ( 0)

n n n

b

b  b 

2 Các tính chất

(1) Tính đồng biến, nghịch biến: 1:

0 1:

m n

m n



(2) So sánh lũy thừa khác cơ số: Với a b 0 thì 0

0

m m

m m



3 Tập xác định của hàm số yx : 

D nếu  là số nguyên dương

 

D \ 0 với  nguyên âm hoặc bằng 0

D(0;) với  không nguyên

4 Đạo hàm: Hàm số yx, ( ) có đạo hàm với mọi x0 và

1 (x) .x

1 (u) .uu'

5 Khảo sát hàm lũy thừa trên khoảng (0;)

, 0

 

2 Sự biến thiên:

y x10,  x 0

Giới hạn đặc biệt:

0

lim  0, lim 



x x

Tiệm cận: Không có

2 Sự biến thiên:

y x10,  x 0

Giới hạn đặc biệt:

0 lim  , lim  0



x x

Tiệm cận:

Trục Ox là tiệm cận ngang

Trục Oy là tiệm cận đứng

4 Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa yx luôn đi qua điểm I(1;1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm

số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn:

, ,

yx yx yx

Lưu ý: Đẳng thức

1

xx chỉ xảy ra nếu x0, do đó hàm số

1

n

yx không đồng nhất với hàm số

n

II LÔGARIT: Cho0a c, 1,b0, b b1, 2 0

(1)  loga ba b (2) loga a1, log 1 0a 

(3) loga a xx, ( x R) (4) loga x ( 0)

a x x

(5) loga b , log ( )

a

a b a  (6) log ( )a b b1 2 loga b1loga b2

(7) 1

2

loga b loga b loga b

(9) loga b loga b (10) log n 1log

n

(11) log log

log

c a

c

b b

a



log

a

c

c

a

(13) loga b 1loga b



 (0) (14) logab loga b

 



(15) loga b.logb cloga c a b c; ; 0; ;a b1

III HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1 Tính chất:

2 Sự biến thiên:

+ a1 y' a xlna 0, x

+ 0 a 1  y' a xlna 0, x

+ Giới hạn đặc biệt:

1: lim 0; lim





Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang

2 Sự biến thiên:

+ a1 ' 1 0, 0

ln

+ 0 a 1 ' 1 0, 0

ln

+ Giới hạn đặc biệt:

0

0

1: lim log ; lim log

0 1: lim log ; lim log

x x

x x



















Tiệm cận: trục Oy là tiệm cận đứng

3 Bảng biến thiên:

+ a  0 :

+ 0   a 1:

3 Bảng biến thiên:

+ a  0 :

+ 0   a 1:

4 Đồ thị: Đồ thị hàm số  x

y a nằm phía trên trục

Ox ; luôn đi qua các điểm  0;1 và  1; a

4 Đồ thị: Đồ thị hàm sốyloga x nằm phía bên phải trục Oy; luôn đi qua các điểm  1;0 và  a;1

2 Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

 e x 'e x  e u 'u e' u

 a x 'a xlna  a u 'u a' .lnu a

lnx ' , x 0

x

lnu ' u , (u 0)

u

  1  

.ln

.ln

a

u

IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản:

f x

a

a  b f x  b (a b, 0,a1)

1 Phương trình lôgarit cơ bản

loga x  b x a b(0 a 1)

2 Phương pháp giải:

a) Đưa về cùng cơ số

f x g x

b) Đặt ẩn phụ

(1) 2    

f x f x 0

m a n a  p , đặt ( )

0

f x

(2)    

f x f x 0

m a n a  p , quy đồng đưa về (1)

.( )f x ( )f x 0

m a b n a b  p , trong

đó ( a b)( a b)k

Đặt t( a b)f x  0 ( a b)f x  k

t

(4) 2       2  

Chia hai vế cho 2 f x 

b và đặt

 

0

f x a

t b

 

c) Lôgarit hóa hai vế

Có dạng f x( ) f x( )

a  kb hoặc ( ) ( )

f x f x

a b k (với UCLN của (a, b) = 1)

Khi đó lôgarit hai vế cơ số a hoặc b (nên chọn cơ số

có số mũ phức tạp)

d) Sử dụng hàm số và đánh giá

(1) x  

a  f x : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số,

chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

(2) a uua vv

Xét hàm đặc trưng   t

f t  a t CM hàm số đơn điệu  u v

2 Phương pháp giải:

a) Đưa về cùng cơ số

( ) 0 log ( ) log ( )

( ) ( )

f x

f x g x







b) Đặt ẩn phụ

Đối với các phương trình biến đổi phức tạp thì ta đặt loga ( )

t f x

c) Mũ hóa hai vế

Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau:

*    

loga f x g x a g x

f x a

 





  log log

t

f x a

g x b





Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm

x

d) Sử dụng hàm số và đánh giá

V BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản:

(1) Dạng: x

a b (hoặc a x b a, x b a, xb) với

1 Phương trình lôgarit cơ bản

loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b; loga f x( )b

(a b, 0, a1)

2 Phương pháp giải:

(1) Dạng 1:

0 1, 0 (*)

f x

a a





(2) Dạng 2:

0 1, 0 (*)

f x

a a





(3) Dạng 3:

1 (*) (*)

0 1 (*)





2 Phương pháp giải:

loga f x( )g x( ) f x( )a g x (a1)

(2) loga f x( )g x( ) f x( )a g x( ) (0 a 1)

(3) a1 thì log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

g x

f x g x







(4) 0 a 1 thì log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x







B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho a là một số dương, biểu thức

2 3

a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

A

5

6

7 6

4 3

6 7

a

Câu 2 Cho a b, là các số thực dương, m n, là các số thực tùy ý Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

đúng?

m m

m

m m b

a b

a

   

P x x (x0) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ

A

5 4

5 12

1 7

1 12

Px

12 3 4 7 :

a a a a

  bằng:

A 12

a

Câu 5 Cho các số thực a b, ,a b 0,1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A  ab  a b  B a b  a b C a a





  

 

Câu 6 Cho   Kết luận nào sau đây đúng?

A    1 B   C   D   0

Câu 7 Với các số thực a , b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?

A  3a b 3a b B  3a b 3ab C  3a b 3a b D  3a b 3a b

Câu 8 Cho a b, là các số thực thỏa điều kiện 3 4

    và

4 5 3 4

b b .Chọn khẳng định đúng trong

các khẳng định sau?

Câu 9 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

3 1  3 1

5 1

y x là:

Câu 11 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ?

A

3

x

y  

2

log

4 log 2 1

y  x  D 2

x y

e

 

   

27



Câu 13 Giá trị của loga 13

a với a0 và a1 bằng:

2

3



Câu 14 Giá trị của aloga4 với a0,a1 là

Câu 15 Giá trị của  3log 4a

a bằng:

A 2 B 3 C 4 D 8

A log 33 a  1 log3a B log 33 a  3 log3a C log 33 a  1 a D log 33 a log3a Câu 20 Cho và là hai số thực dương thỏa mãn log2alog8 ab Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 17 Gọi D là tập tất cả những giá trị của x để log32020 x  có nghĩa Tìm D?

A D0; 2020 B D  ; 2020 C D  ; 2020 D D0; 2020

2

4 3

y  xx là:

A B 4;1 C    ; 4 1;  D 4;1

4 1

y x   có tập xác định là:

2 2

1 1

;

2 2

Câu 20 Điều kiện nào của a cho dưới đây làm cho hàm số    1 ln x

f x a đồng biến trên ?

A 1 a 1

Câu 21 Cho các số thực a x, thỏa mãn 0 a 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A loga x1 khi 0 x a

B Đồ thị của hàm số yloga x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng

C Nếu 0 x1 x thì 2 loga x1loga x 2

D loga x0 khi x1

2 

A  22x2ln 4

y B  4x2ln 4

y C  22x2ln16

y D  22x3ln 2

A 1 e

ln 2

x



 1 ee ln 2

x x x



1 e e

x x

x



2 3 4

y x là:

Câu 25 Tập xác định của hàm số:  2 

3

y x  x là:

A  ;1 3; B  1;3 C ;1 D 3;

Câu 26 Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A log 3 a 3loga B 3 1

log log

3

a  a C loga3 3loga D   1

log 3 log

3

a  a

Câu 27 Đạo hàm của hàm số ye1 2 x là:

Câu 28 Tìm tập xác định D của hàm số yex22x

A D B D 0; 2 C D \ 0; 2  D D 

Câu 29 Cho a là số thực dương khác 1 Khẳng định nào dưới đây là sai?

A log 2.loga 2a1 B log 1 0a  C log 2 1

log 2

a

a

loga

A 4

5

2

Câu 31 Với a và b là các số thực dương Biểu thức  2

loga a b bằng

Câu 32 Cho hàm số y12x Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đồng biến trên

B Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung

C Đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành

Câu 33 Cho alog 2, bln 2, hệ thức nào sau đây là đúng ?

10e

10

a

Câu 34 Cho a là số thực dương khác 4 Tính

3

4

I log

64

a a

3

3

I  

Câu 35 Cho a b, 0và a b, 1, biểu thức Plog a b3.logb a4 có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 36 Tính đạo hàm f x của hàm số f x log23x1 với 1.

3

x

3 1 ln 2

x

 B    1

3 1 ln 2

x

 C    3

x

   3ln 2

x

Câu 37 Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a2 x, log b2  y Tính  2 3

2

log

Câu 38 Giá trị thực của a để hàm số yloga x 0 a 1 có đồ thị là hình bên dưới?

2

2

Câu 39 Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

x

2

x

y  

x

3

x

y  

   

Câu 40 Hàm số nào sau đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ

6

x

y  

Câu 41 Nghiệm của phương trình log20192020x0 là:

2020

Câu 42 Giải phương trình 92x181

y

1 2

y

1



1 3

y

1 1 2

1



2



6

4

A 3

2

2

2

2

x

Câu 43 Giải phương trình 2x23x 1

Câu 44 Tìm nghiệm thực của phương trình 2x 7?

2

x C xlog 72 D xlog 27

Câu 45 Phương trình 2x18 có nghiệm là

Câu 46 Phương trình 3x25810 có hai nghiệmx x Tính giá trị của tích 1; 2 x x 1 2

Câu 47 Phương trình

2 3

2

2

x x



  

    có nghiệm là:

Câu 48 Cho phương trình 9x2.3x 3 0 Khi đặt t3x ta được phương trình nào dưới đây?

A t2  2t 3 0 B 122x1 3 0 C 2t2 3 0 D t2  t 3 0

4x 12.2x  7 0 trở thành phương trình nào sau đây?

A t2  3t 7 0 B 4t212t 7 0 C 4t2  3t 7 0 D t212t 7 0

Câu 50 Tìm số nghiệm của phương trình log32x 1 2

Câu 51 Tập nghiệm S của phương trình log2x44 là

Câu 52 Tập nghiệm của phương trình log (3x 7)2  3 là

Câu 53 Tập nghiệm của phương trình log x2  3 là

8

8 }

Câu 1 Cho x0, y0 Viết biểu thức

4 5 6

5

x x x về dạng m

x và biểu thức

4 5 6

5 :

y y y về dạng y n Tính m n

A 11

8 5

6

5

Lời giải Chọn A

Với x0, y0, ta có 4

5 6

5

x x x

1

5

5 6 12

x x x  x x x x   m

4 5 6

5:

4 5 1

5 6 12

1 6 6 12

5 2

y y

y y

 

Do đó 11

6

1

3 4 3

3

1

8 3 8 1 8

f a











với a0, a1 Tính giá trị  2020

2021

A M 202110101 B M  202110101 C M 202120201 D M  1 20212020

Lời giải Chọn.B

Ta có:    

1

3 4 3

2

8 3 8 1

1

1 1

a













2

1

1010

Lời giải Chọn D

Ta có: 2020 2020 2020 2

Câu 4 Với alog 330 và blog 530 , giá trị của log 675 bằng: 30

A 2

Lời giải Chọn C

Ta có: log 67530  3 2

30

log 3 5

log 3 log 5

Câu 5 Cho hàm số f x ln 1 e x Tính f ln 2

3

Lời giải Chọn D

Cách 1: Trắc nghiệm

Bấm máy  

ln 2

d

ln 1 e 0,333

d

x

x   nên chọn D

1 e

x x

f x







e

2 1 e

1 e

x x x





 2 1 e e 

x x



ln 2

ln 2

ln 2

3

2 1 e

f

Hoặc   1  

ln 1 e 2

x

f x   nên   1 e

2 1 e

x x

f x 

 Do đó    

ln 2

ln 2

ln 2

3

2 1 e



Câu 6 Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn log 5 2

4

a  , log 6 4

16

b  , log 3 7

49

c  Tính giá trị

2

2 2

7

log 5 log 6

3

T a b  c

A T126 B T  5 2 3 C T 88 D T  3 2 3

Câu 7 Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn: log 7 3 log 11 7 log 25 11

Tính   2   2   2

log 7 log 11 log 25

A T469 B T 469 C T43 D T1323 11

Lời giải Chọn A

Ta có   2   2   2

log 7 log 11 log 25

log 25 log 7 log 11

3 7

1 log 25 3log 7 2log 11 2

log 7 log 11 log 5

Câu 8 Cho các số thực a , b Giá trị của biểu thức log2 1 log2 1

A  bằng giá trị của biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?

Lời giải Chọn A

a b

Câu 9 Giá trị của biểu thức M log 2 log 4 log 8 log 2562  2  2   2 bằng

A 56 B 8.log 256 2 C 48 D 36

Lời giải Chọn D

Ta có

log 2 log 4 log 8 log 256

log 2 log 2 log 2 log 2

1 2 3 8 log 2 2

2

6 3

log 5log

1 log 2

a

b

 Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A ablog 26 B a36b C 2a3b0 D ablog 36

Lời giải Chọn B



6

f x  x  x Tìm các giá trị của x để f x 0

Lời giải

Chọn C Tập xác định: D

2

x



Nhận xét :  2 

ln x 2x4 0  x do x22x 4 1 x

Do đó f x  0 4x 4 0 x 1

ln x

y e m Với giá trị nào của m thì   1

1 2

e

Lời giải Chọn D

Ta có 2  1 2

x x

2

e

e m

Câu 13 Cho a0, b0 và a khác 1 thỏa mãn log

4

a

b

b ; log a2 16

b

 Tính tổng a b

A 16 B 12 C 10 D 18

Lời giải

Chọn D

Ta có

16 2

16

b

4

a

b

b

16 4

b b

b

b a

 

 

Câu 14 Cho a , b là các số hữu tỉ thoả 6

1

   Khi đó tổng a b có giá trị là:

A 4

2

1

1

2

Lời giải Chọn D

Đồng nhất hệ số ta có: 1

3

6

b Do đó 1

2

a b 

Câu 15 Cho các số thực x , y thỏa mãn 2x 3, 3y 4 Tính giá trị biểu thức P8x9y

Lời giải Chọn A

Ta có    3 2

8x 9y 2x 3y

P    mà 2x 3,3y 4 Suy ra:    3 2 3 2

2x 3y 3 4 43

Câu 16 Cho a0,b0 thỏa mãn a2b2 7ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

2

a b  a b B 2 log alogblog 7 ab

2

a b

Lời giải Chọn D

Ta có: 2 2  2    

2

1

a b



Câu 17 Cho a , b , c là các số thực dương khác 1 Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số

, , log

c

ya yb y x

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải Chọn B

Vì hàm số ylogc x nghịch biến nên 0 c 1, các hàm số ya y x, b x đồng biến nên a1;b1

nên c là số nhỏ nhất trong ba số

Đường thẳng x1 cắt hai hàm số ya x, x

yb tại các điểm có tung độ lần lượt là a và b , dễ thấy

ab (hình vẽ) Vậy c b a

Câu 18 Cho a b c, , là các số thực dương khác 1 Đồ thị hàm số x

ya , yb x,

x

yc được cho trong hình bên Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A 1 c  a b B c  a b 1

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm số x

yc đi xuống lên hàm số yc x nghịch biến, suy ra 0 c 1

Đồ thị hàm số x

ya và yb x đi lên do đó hàm số ya x và yb x đồng biến, suy ra a1 và b1

Với x1 ta thấy ba Suy ra c  1 a b

Do đó đáp án đúng là D

y

1 1

logc

y x

x

yb

x

ya

y

1

x

ya x

yc

Câu 19 Biết hàm số y f x có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số   3x

y qua đường thẳng x 1 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

3.3

9.3

2 3

Lời giải Chọn B

Trên đồ thị hàm số 3x

y lấy M x y 0; 0 và gọi N x f x ;    là điểm thuộc

đồ thị hàm số f x và đối xứng với   M qua đường thẳng x 1

Khi đó

0

0

0 0

2 1

2

0





x x

y f x

f x y

Thay vào hàm số ban đầu ta được:   2 1

3

9.3

 

x

log x3log x.log 3 2 0 bằng:

A 20 B 18 C 6 D 25

Lời giải Chọn A

Phương trình tương đương 2

log x3log x 2 0 2

2

Tổng bình phương các nghiệm là: 2 2

2 4 20

O

y

1

x 

3x

y

1

1

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí