Chuyên đề Hàm Số Mũ - Logarit

Lũy thừa với số mũ thực1.Khái niệm: Cho a là số thực dương ,α là một số vô tỉ... Nếu viết trong hệ thập phân, SNT đó có bao nhiêu chữ số?. Vậy số tiền thu về cả vốn lẫn lãi là: Sm=Ae Nr

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 3

1 Lũy thừa với số mũ nguyên:3

Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm: 3

So sánh các luỹ thừa 3

2 Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: 3

Căn bậc n: 3

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: 4

Lũy thừa với số mũ thực 5

4.Sự biến thiên 19

Tịnh tiến đồ thị 20 Hàm số lũy thừa 22

lấy logarit hai vế (logarit hoá): 24

Đoán nghiệm duy nhất : 26

1.Giải dựa vào số mũ: 33

2.Giải dựa vào cơ số 33

Pp: dùng bất đẳng thức Error! Bookmark not defined.

Pp: dùng tam thức bậc hai Error! Bookmark not defined.

Bất phương trình mũ – logarit 38

1.Kiến thức cơ bản: 38

2.Một số ví dụ một số dạng toán thường gặp: 38a.Dạng đưa về cùng cơ số: 38

b.Dạng dùng phương pháp đặt ẩn phụ: 38c.Dạng lấy logarit hai vế: 39

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1 Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho số thực a, số nguyên dương n

n

n thua so 1

Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:

Với a 0, n 0   hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số a n xác định bởi

a 



So sánh các luỹ thừa

Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

1) Với a>1 thì a m  a n khi và chỉ khi m > n

2) Với 0< a <1 thì a m  a n khi và chỉ khi m < n

3) Số âm không có căn bậc chẵn vì luỹ thừa bậc chẵn của 1 số thực bất kì là số không âm.

4) Với n nguyên dương lẻ, ta có:

5 8 4  5 8.4  2  2

4 4

Lũy thừa với số mũ thực

1.Khái niệm:

Cho a là số thực dương ,α là một số vô tỉ

Xét dãy số hữu tỉ r1 ,r2 ,…, rn , mà lim rn = α

Lũy thừa của a với số mũ α (kí hiệu là aα)

n

r x

C:Số tiền cả vốn lẫn lãi sau N kì

r:Lãi suất mỗi kì

Ví dụ 2: Giải phương trình:

4

x  x  2Giải:

4

x  x  2Đặt t  4 x (t 0)  phương trình (1) trở thành:

Ví dụ 4: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1năm

với lãi suất 7,56%

Một năm.Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền ngưới đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu trệu đồng?

Giải:

Áp dụng công thức tính lãi suất,ta được lãi suất sau 5 năm là:

15.106.(1+7,56%)5=21,595,000(đồng)

LOGARIT 1.Định nghĩa:

-2 10

i) Khi a 1 thì log b log c b c;

ii) Khi 0 a 1 thì log b log c b c.

i) Khi a 1 thì log b 0 b 1

ii) Khi 0 a 1 thì log b 0 b 1

iii) log b log c b c

16 2) log 125 & log 25Giải

16 2) log 125 & log 25

a a

1 log c   log c

Là tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1

VÍ Dụ: a/Biết log 3 0, 4771  , tính log 90 81

a/Cho a=log3;b=log2 Tính theo a,b giá trị:A log 30  125

b/ Cho a=log3;b=log2 Tính theo a,b giá trị: B log 8  30

5a c x

b

b/

2

5 31 4

m n x

p



GiảiTheo công thức lãi kép:C A(1 r)   N(triệu đồng)

Vậy sau 17.58 quý = 4 năm 2 quý thì người đó có ít nhất 20 triệu đồng từ vốn ban đầu

*Tìm số các chữ số của 1số trong hệ thập phân:

VÍ Dụ3: Tìm số chữ số của 2 1000 trong hệ thập phân

Euler phát hiện M31 năm 1750; Lucas phát hiện M127 năm 1876; M1398269 được phát hiệnnăm 1996 Hỏi nếu viết 3 số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

ĐS: M31 có 10 CSM127 có 39 CS

M1398269 có 421 CS

Bài 2: Năm 1992, người ta biết số p 2  756839  1 là 1 SNT Nếu viết trong hệ thập phân, SNT đó có bao nhiêu chữ số?

ĐS:228 chữ số

BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên 1/Khái niệm:

x x

log  ln x:Logarit cơ số e của x hay Logarit tự nhiên của x.

VÍ Dụ: Cho a=ln2; b=ln5 Tính theo a&b:

+Ta chia mỗi năm thành m kì.

+Giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r

=>lãi suất mỗi kỳ là r

m m

Vì vậy GH của Sm là 1 số vô tỉ và kí hiệu là e=2,718281828

(1)&(2)=> lim Sm=AeNr

Thể thức lãi khi m   là Lãi kép liên tục.

Vậy số tiền thu về cả vốn lẫn lãi là: Sm=Ae Nr (3) ( Công thức lãi kép liên tục)

(3) còn gọi là Công thức tăng trưởng mũ.

VÍ Dụ: A: Dân số của năm làm mốc

S: Số dân sau N năm

r: Tỉ lệ tăng dân số hằng năm

Biết r=1,32%

1998: DS TG vào khoảng 5926,5 triệu người.

Đầy đủ tính chất của logarit cơ số lớn hơn 1

*VÍ Dụ : Sự tăng trưởng của 1 loại vi khuẩn tuân theo công thức: S=Aert, trong đó A là

số lượng vi khuẩn ban đầu, r: tỉ lệ tăng trưởng(r>0), t là thời gian tăng trưởng Biết rằng ban đầu lượng vi khuẩn là 100 con, sau 5 giờ có 300 con, hỏi :

+sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?

+bao nhiêu lâu lượng vi khuẩn tăng gấp đôi?

+Vậy sau 10 giờ có S Ae  rt  100.e10r  100.(e )5r 2  100.32  900(con)

b/Lượng VK lúc sau tăng gấp đôi:

ln 3 t 5

Hàm số mũ 1.Định nghĩa

Với a là một số dương khác 1thì hàm số dạng y=ax là hàm số mũ cơ số a (hàm số mũ)

2.Một số giới hạn liên quan

Đs: x < 1, x > 1

3.Sự biến thiên

4 Bài tập hàm số mũ

A.Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình

Đề: 1)Cho 0 < a < 1 Với giá trị nào của x thì hàm số y = a xa) Nằm phía trên đường thẳng y = a

b) Nằm phía dưới đường thẳng y = a

2) Vẽ đồ thị hàm số (C) y log x  0.5 Dựa vào đồ thị giải các bất phuơng trình :

a) log x 0.5 > 0b) -3 log x 0.5 -1

Đồ thị (C) chính là đồ thị hàm số y  log x 2 nên ta có nghiệm kết luận từ đồ thị :

1) Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x

1

4 , y= 2x và y=5

9 8 7 6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3

4x

y = 5

y=logx (hoặc lgx) :hàm số lôgarit cơ số 10

y=lnx : hàm số lôgarit cơ số e

y=ex : còn kí hiệu là y=exp(x)

2.Tính chất :

Miền xác định: 0;  Miền giá trị : R

Liên tục trên R*+

a>1: hàm số tăng: x 1  x 2   0 log x a 1  log x a 2

0<a<1: hàm số giảm: x 1  x 2   0 log x a 1  log x a 2

1<b<a hay 0<b<a<1: x>1  log x log x a  b

Tương tự trong hệ trục tọa độ trực chuẩn 0,i, j  Vẽ hàm số y log x 1  2   2

Ta vẽ hàm số Y log X  2 trên hệ trục I,i, j  với I 1; 2  

Hàm số lũy thừa 1.Định nghĩa:

3.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

Nếu hàm số u u x    nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y u x  

Phương trình mũ 4.Dạng cơ bản :

vậy phương trình có nghiệm là x = 9

3.lấy logarit hai vế (logarit hoá):

với 0 a, b,c 1,   ta có : af x   bg x   f x log a g x log b  c    c

phương pháp áp dụng khi phương trình có dạng tích – thương của các hàm mũ

1 x 5

4.đặt thừa số chung, đưa về phương trình tích:

khi phương trình chứa nhiếu cơ số không giống nhau

khi phương trình vừa chứa hàm đa thức, mũ, logarit,…

 đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất x=1

 (2) có nghiệm duy nhất x = 1

vậy phương trình có nghiệm x 0;1

ví dụ3: giải phương trình sau :

x 2

x 2

3 x 2

4.Đoán nghiệm duy nhất :

 thì phương trình vô nghiệm

cách 2: sử dụng định lý : “nếu f(x) và g(x) cùng đối nghịch nhau nghiêm nhặc trên

cùng miền xác định thì thì hai hàm số hoặc không cắt nhau hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất.f x   g x  hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất”

 pt vô nghiệm khi x < 2

nếu x > 2: cm tương tự ta cũng được pt vô nghiệm

vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 

lại có f 1   1 nên pt đã cho luôn có nghiệm duy nhất t 1   log x 1 2   x 2 

vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x 2 

Đặt :

x 2

Phương trình logarit 1.Đưa về cùng cơ số

   

0 a 1 log f x log g x

suy ra: f t  là hàm giảm trên R

lại có : f 1   1 nên pt (3) có nghiệm duy nhất+

2

t 1   log x 1   x 2 

2 2

Một số phương pháp : - Căn cứ vào hệ số mũ

Căn cứ vào cơ số Dùng phương pháp đồng nhất

Biện luận như sau :

- Ta thấy hệ đã cho có nghiệm khác 0

- Có thể xảy 2 trường hợp :

1 8y

4 & 6

y 5

5 5

 

t t

t t

2 t

Như vậy x y y z x     vô lý

Khi đó hệ trở thành e x  1 x 0   nên pt vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y z 0   

0 (x 1)(x 2)

1 x 1 log

3 2

3 4

c.Dạng lấy logarit hai vế:

Giải bất phương trình sau: 2 x

(x   x 1)  1Giải

Vì 2

x   x 1>1, x nên bất phương trình đã cho tương đương với xlg( 2

x   x 1)<0Bất phương trình này tương đương với hai hệ:

 

f (x) 0 g(x) 0 (1)

0 a 1 (a 1) f (x) g(x) 0

a.Dạng đưa về cùng cơ số:

Giải các bất phương trình sau:

3 2 2x

Vậy trong trường hợp này nghiệm của bất phương trình là:0<x<1