Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng màu hoạc đôi một khác màu.. ---Hết---[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 3,0 điểm )
1 Cho f(x) = 2
3
3 3
x
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A = )
2012
2011 ( ) 2012
2010 (
) 2012
2 ( ) 2012
1
2 Cho biểu thức P =
x x
x x x
x x x
x x
x
x x
2
2 2 1 1
1 2
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên
Câu 2(1,5 điểm)
Tìm tất cả các cập số nguyên dương (x;y) thoả mãn (x + y )3 = ( x- y - 6 )2
Câu 3(1,5 điểm)
Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện:
abc + bcd + cda + dab = a + b + c+ d + 2012
Chứng minh rằng: ( a2 + 1)(b2 + 1)( c2 + 1)(d2 + 1) 2012
Câu 4(3,0 điểm):
Cho ba đường tròn (O1), (O2) và (O) ( kí hiệu (X) chỉ đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử (O1), (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và (O1), (O2) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M1 , M2 Tiếp tuyến của (O1) tại điểm I cắt (O) lần lượt tại các điểm A, A' Đường thẳng AM1 cắt lại (O1) tại điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường tròn (O2) tại điểm N2
1 Chứng minh rằng tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng
N1N2
2 Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ vuông góc với AI ( điểm P nằm trên cung AM1 không chứa điểm M2 ) Chứng minh rằng nếu PM1, QM2 không song song thì các đường thẳng AI, PM1
và QM2 đồng quy
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, trong đó mỗi một điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng màu hoạc đôi một khác màu
-Hết -án bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; số báo danh: