Trên đây là hướng dẫn chấm, tổ giám khảo thống nhất điểm từng phần, nếu học sinh giải theocách khác các giám khảo thống nhất để chấm..[r]
Trang 1SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC ĐÁP ÁN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN TOÁN (THPT) NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1.(5điểm)
a.Giám khảo tự vẽ (2đ)
b.(2 điểm)Hàm số 3 3 2 1 3
y x mx m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thảng y = x
, 3 2 3 3 ( )
y x m x x m => y,= 0 x x m0
, y, đổi dấu qua các nghiệm khi m0 Suy ra để hàm số có CĐ,CT điều kiện cần và đủ là m0
Nếu m > 0 hàm số có cực đại tại x = 0 và ymax = 1 3
2m , CT tại x = m và ymin=0 Nếu m < 0 hàm số có cực đại tại x = m và ymax = 0, CT tại x = 0 và ymin=1 3
2m Gọi A,B là các điểm cực trị của hàm số Để A,B đối xứng nhau qua y = x điều kiên cần và đủ là OA OB
=> m = 1 3
2m (m 0) m = 2
2 (1 điểm)Tìm tất cả các gía trị của a, b để phương trình 22 2
x ax b
m
bx ax
có hai nghiệm phân biệt với mọi m
PT tương đương với hệ :
2
2 1 0(2)
x ax b m bx ax
bx ax
(1) (bm-1)x2 -2a(m-1)x +m –b = 0 PT có hai nghiệm PB , 1 0(3)
0, (4)
bm
m
Từ (3) mọi m khi b = 0
Từ (4) => , a m2 2 (1 2 ) a m a2 2 0 m điều này xẩy ra khi và chỉ khi:
2
2
m
a
a a
Với b = 0 và 1
2
a Từ điều kiện (2) ta có -2ax + 1 0 x 1
2a
Bằng phép thử trực tiếp ta thấy x = 1
2a không phải là nghiệm của phương trình (1)
Vậy giá trị phải tìm b = 0 , 1
2
a
Câu 2: (4điểm)
1 Cho phương trình : 2cos 2x sin 2 xcosx sin cosx 2x m (sinx cox ), m là tham số
a 1 : Giải phương trình khi m = 2
a 2 : Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;
2
2cos 2x sin xcosx sin cosx x m (sinx cox )< = > (sinx cox ) 2(cos x sin ) sin cosx x x m 0
a : (2 điểm) Khi m = 2 ta có:
Trang 2sin cos 0
2(cos sin ) sin cos 2 0
x k x k x k
b: (1 điểm) Để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;
2
vì sinx + cosx = 0 không có nghiệm thuộc 0;
2
nên 2(cosx sin ) sin cosx x x m 0(*) phải có
ít nhất một nghiệm thuộc 0;
2
Đặt t = sinx – cosx do x 0;
2
nên t = 2 cos( )
4
x có tmin = t(
2
) = - 1, tmax = t(0) = 1 (*)< = > 1 2 1
2
2t t 2 m
để có ít nhất một nghiệm t 1;1 thì m phải thuộc tập giá trị của hàm số
2
f t t t t ; f t, ( ) t 2 0, t 1;1
=> fmin = f(-1) = -2 , fmax = f(1) = 2 => 2 m 2
2(1đ) Giải Bất phương trình : x2 4x 3 2x2 3x 1 x 1
< = > (x 1)(x 3) (x 1)(2x 1) x 1
Thử trực tiếp có x = 1 là nghiệm
Với x x 3 ì x-1 0th bpt < => (x 3) (2x 1) x 1 < = > 2x 1 2 (x 1)(2x 1 => VN Với x 1
2
bpt < = > 3 x 1 2 x 1 x < = > 2 (3 x)(1 x) 3 luôn đúng
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x = 1 , 1
2
x
Câu 3 (3điểm) Giải hệ phương trình :
6
< = >
2 2 3 3
6 1
19
y y
y x
< = > 3
1
y
y
x x
y
đặt 1 y u;y v
x x
< => 3
3 19
u v
u uv
< = > u = 1; v = - 6 =>
1
1 6
y x y x
< = >
1
3 1
2
Câu 4 (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có cạnh bằng a Trên AB lấy điểm M, trên CC, lấy điểm N, trên D,A, lấy điểm P sao cho AM=CN=D,P= x (0 x a)
Trang 31.Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều Tính diện tích tam giác MNP theo
a và x Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất
2 khi x =
2
a
hãy tính diện tích khối tứ diện B,MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
1.(3đ) Ta có MN2 =MC2 + NC2 = MB2 + BC2 + NC2= 2a2 + 2x2 – 2ax => MN = 2 a2 x2 ax
Tương tự ta có MP= PN = MN => tam giác MNP đều
Diện tích tam giác MNP là SMNP = 1 3
2MN MN 2 = 3 2 2
2 a x ax min SMNP = 3 2 2
a a đạt được khi
2
a
x ( hoành độ đỉnh parabol)
2.(2đ).Gọi H là hình chiếu của B, trên mp(MNP), suy ra H là tâm tam giác MNP
do MNP đều,B,M = B,N = B,P = 2 2 5
Từ đó B,H = , 2 2 3
2
a
B N NH Vậy VB,MNP = 1 , 1 3 3 3 2 3 3
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp B,MNP, suy ra O thuộc B,H do đó OB, là bán kính mặt cầu
Ta có O còn nằm trên đường thẳng trung trực của B,N( xét trong mặt phẳng B,HN)
Hai tam giác vuông B,HN và B,KO đồng dạng nên:
,
12 3
2
OB
Câu 5 .(3 điểm)
1
n n
1
và n là số nguyên dương
1
1
n n
n
x
n n
n x
bằng qui nạp (3 điểm) Với n = 1=> VT = VP = 1 n = 2 = > VT =VP = 1
2
x
Giả sử BĐT đúng với n =1, 2,…, n tức là (1 ) 1 1
n n
n x
ta CM bđt đúng với n +1 tức là 1
2 ( 1)( 1)
n n
thật vậy
1
n
n x
Ta CM
1
Trang 4 (n + 1)(1+ x)(xn-1+ …+x+1) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)((xn + …+x+1) + (xn-1 + …+x)) 2n(xn + …+x+1)
(n + 1)(xn-1 + …+x) (n - 1)(xn + …+x + 1)
2(xn-1 + …+x) ( n – 1) (xn + 1 )
Ta có ( n – 1) (xn + 1 ) - 2(xn-1 + …+x) =
1 1 ( 1)( 1) 0
n
i
=> đpcm với n 3 dấu đẳng thức xẫy ra khi x =1
Trên đây là hướng dẫn chấm, tổ giám khảo thống nhất điểm từng phần, nếu học sinh giải theocách khác các giám khảo thống nhất để chấm.