Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Gọi M là trung điểm của đoạn BE1[r]
Trang 1PGD – ĐT Cưmgar KỲ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010 Trường THCS Hoàng Văn Thụ
Môn : TOÁN
LỚP : 8
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1 8(x2 3x 5) 2 7(x2 3x 5) 15
2 x11 x7 1
Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình:
1
3
81 16 8x 64
Bài 3: (2điểm)
Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2010 cho đa thức x2 10x 21
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng :BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo mAB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC AH HC Bài 5 : (4đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC (H AC) Gọi M là trung điểm của AH , K
là trung điểm của CD Chứng minh rằng : BM MK
Hết
Trang 2PGD – ĐT Cưmgar
Trường THCS Hoàng Văn Thụ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn : TOÁN
LỚP : 8
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
1.1
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15 Đặt t= x2 +3x+5, ta có :
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15 = 8t2+7t -15
= 8t2 -8t +15t-15 = 8t(t-1)+15(t-1) = (t-1)(8t+15) Thay t=x2+3x+5 vào đa thức ta có :
8(x 3x 5) 7(x 3x 5) 15 = (x2+3x+5-1) [8(x2+3x+5)+15]
=(x2+3x+4)[8(x2+3x+5)+15] =(x2 +3x+4)(8x2+24x+55)
1đ
1đ
1.2
11 7 1
x x = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –
x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
81 16 8x 64
3
16 8 8
9 5
8 16 3 8 23 6
x x x
x
x
0,5 0,5 0,5
0,5
Trang 3Bài Câu Nội dung Điểm
ĐKXĐ : x R vì :
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với mọi xR
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với mọi xR Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , ĐK : t2
Phương trình trở thành :
2
6 ( 2) 6( 1)( 1) 7 ( 1)
5 17 6 0
2 ( 3)( ) 0
5
3
t
5
t (loại) Với t= 3 , ta có x2+2x+3 =3 x=0 , x = -2 Vậy nghiệm của phương trình là : x=0 , x = -2
0,5
0,5 0,5
0,5
Ta có:
Đặt tx2 10x 21 , biểu thức P(x) được viết lại:
P x t t t t
Do đó khi chia t2 2t 1995 cho t ta có số dư là 1995
1 0,5 0,5
Trang 42 1
2 1
G M
E
D H
A
4.1
C
DE và CAB có :
Góc C chung
CDE CAB
=>CDE CAB => CD CE
CA CB =>
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CE CB (cmt)
Do đó ADC BEC (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả
thiết)
Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
BEAB m
Vẽ hình đúng 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 4.2
BC BC AC (do BEC ADC)
mà ADAH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
(do ABH CBA )
Do đó BHM BEC(c.g.c)
BHM BEC AHM
0,5 0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC AC ,
mà AB ED
AC DC (ABC DEC)
Ta lại có ED AH// => ED AH
0,5
0,5
S S
S S
S
S
Trang 5Mà HD =HC => ED AH HD
0,5
O
K
M
H
I
D
A
C
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BH
Ta có M, O lần lượt là trung điểm của AH , BH nên :
MO là đường trung bình của HAB
Vậy MO = 1
2AB , MO // AB
Mà AB = CD , AB//CD , KC = 1
2CD ,
Do đó MO = KC , MO // KC , suy ra tứ giác MOCK là hình bình hành
Từ đó có : CO // MK
Ta có : MO // KC , KC CB MO CB Tam giác MBC có MO CB , BH MC nên O là trực tâm của tam giác MBC => CO BM
Ta có : CO BM và CO // MK nên BM MK
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (Học sinh làm cách khác đúng vẫn được trọn điểm )