De Dap an HSG Toan 9 20122013

b Chứng minh c Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB.. Chứng minh rằng..[r]

UBND HUYỆN THANH SƠN

PHÒNG GD&ĐT

( Đề thi có 01 trang )

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán

(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )

Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm cặp số nguyên dương x y;  để

2

A y



có giá trị là một số nguyên

Câu 2(4,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a) x4 2x32x24x 8 0 ;

b) x 2x1 x 2x1 2

Câu 3(4,0 điểm):

a) Giải bất phương trình

x x





b) Cho x y z, , thỏa mãn

thức Bx29y29y11z11z2013x2013

Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên một nửa mặt

phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho COD  900 Kẻ OH vuông góc với CD tại H

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; b) Chứng minh

2

4

AB

AC BD 

; c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB

Câu 5(2,0 điểm): Cho các số a, ,b c dương thỏa mãn abbc ca  1

4



-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh số báo danh

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán

( Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với đáp

án)

Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm cặp số nguyên dương x y;  để

2

A y



có giá trị là một số nguyên

a) ĐKXĐ:

0

x

x y









.

3 3

.

x xy y y y x y xy y x

          

3 3

1

x y xy y x

b) Giả sử

2 y 2x

y xy



là một số nguyên Vì x, y nguyên dương nên m nguyên dương

0,25

Xét 4 trường hợp:

*

4

2 2

y

mx

x m







 



 

 Vì x, y nguyên dương và xy nên m 1; 2 suy ra: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Thử lại ta được kết quả trên đều thỏa mãn

0,25

*

3

2 1

y

mx

x m







 



 

 ( Loại, do xy)

0,25

*

1

2 1

y

mx

x m







 



 (loại, vì x và y trái dấu)

0,25

*



0,25

Câu 2(4 điểm): Giải các phương trình:

a) x4 2x32x24x 8 0 ;

b) x 2x1 x 2x1 2.

a) x4 2x32x24x 8 0

 x2(x2 -2) - 2x(x2 - 2) + 4(x2 - 2) = 0  (x2 - 2)(x2 - 2x+4) = 0 0,50

 x2 - 2 = 0  x =  2 (Vì x2 - 2x + 4 = (x- 1)2 + 3 > 0 x ) 0,50

b) (ĐK: x

1 2



)

0,25

 2x  1 2 2x 1 1   2x  1 2 2x 1 1 2   0,25

 ( 2x 1 1)  2  ( 2x 1 1)  2  2  2x  1 1

+ 2x  1 1

2x  1 1+ 2x  1 1 = 2 2x   1 1 x = 1 ( thỏa mãn điều kiện) 0,25

+) Nếu 2x   1 1 0 

1

2  x < 1, ta có: 2x  1 1- 2x  1 1 = 2

0,25

 0x 0=> Phương trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn

1

2  x < 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

1

2  x  1

0,25

Câu 3(4,0 điểm):

a) Giải bất phương trình

x x





b) Cho x y z, , thỏa mãn

thức Bx29y29y11z11z2013x2013

a) Ta có:

x x









x







x

x





*

23 21 0 5 21

x

x x

 

  



 

*

23 21 0

3 5 0

x

x

 







 

Vậy bất phương trình có nghiệm

5 21

3 x 23



 

0,25 b)

x y z

  

3xyz yz y z( ) xz x z( ) xy x y( ) xyz

0,50 (x y y z x z)( )( ) 0

x y

y z

z x







 



 

0,50

Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên một nửa mặt

phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho COD  900 Kẻ OH vuông góc với CD tại H

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; b) Chứng minh

2

4

AB

AC BD 

; c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB

a) Vì AxAB By; AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,5 Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang

ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) 0.5 Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD =>

OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2)

=> tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn)

=> OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O

=> CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB 0,5 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH

CH.DH = OH2 =>

2

4

AB

AC BD 

0,75 0,75

c) S COD S AHB => 1

OH

HK  ( HK AB; K thuộc AB ) ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA)

=> OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn

O => AC = 2

AB

vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC = 2

AB

thì S COD S AHB

1,00 0,5 0,5

Câu 5(2 điểm): Cho các số a, ,b c dương thỏa mãn abbc ca  1

4



Ta có:

( )( ) 4( )( ) 4( )( )

Suy ra:

1 9

2

4 4

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi

, 7

b c  a b

-Hết