Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm.. a Tính độ dài TE.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán – Lớp: 9 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
-Bài 1: ( 5 điểm ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để c) Chứng minh rằng Bài 2 (3 điểm): Một người đi bộ từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và thấy rằng như vậy sẽ đến sân ga chậm 40 phút, vì thế trên quãng đường còn lại, người ấy đi với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm 5 phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga Bài 3 ( 4 điểm) : a) Cho a,b,c,d > 0 và a.b.c.d = 1 Chứng minh rằng : b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B=√3 x− 5+√7− 3 x Bài 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm Gọi T và E là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC a) Tính độ dài TE b) Các đường thẳng vuông góc với TE tại T và E cắt BC theo thứ tự tại M và N Chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH c) Tính diện tích tứ giác TENM BÀI LÀM
Trang 3
-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI Bài 1:
……… 0, 5 điểm
……… 0, 5 điểm
……… ……… 0, 5 điểm
……….……… ……… 0, 5 điểm b) Để
……… ……… 0, 5 điểm
……… 0, 5 điểm ……… 0, 5 điểm
c) ……… ……… 0, 5 điểm Xét
……… ……… … 0, 5 điểm
Ta có : ( vì x 0) và ( vì x 0) ……… 0, 5 điểm
Nên Vậy ……… …… … 0, 5 điểm
Bài 2:
Gọi x (km) là quãng đường còn lại, x > 0
và t (giờ) là thời gian quy định từ nhà đến sân ga, t>0……… 0, 5 điểm Vận tốc trên quãng đường 700m là: 0,7: = 3,5km/h
Vận tốc 3,5km/h sẽ chậm mất 40 phút hay giờ Ta có (1) …… 0, 5 điểm Vận tốc 5km/h sẽ đến sớm hơn 5 phút Ta có (2) …… 0, 5 điểm
Trang 4Từ (1) và (2) ta cú phương trình: (3) … … 0, 5 điờ̉m
Giải phương trình (3) ta được x = 8,75 (km) … … 0, 5 điờ̉m
Vậy quóng đường từ nhà đến ga là: 8,75km + 0,7km = 9,45km = 9450m … 0, 5 điờ̉m
Bài 3:
a) Ta cú :
Do abcd = 1 nờn ……… …… 0, 5 điờ̉m
Ta cú .…… 0, 5 điờ̉m Mặt khỏc :
(2) …… 0, 5 điờ̉m
…… 0, 5 điờ̉m b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=√3 x− 5+√7− 3 x
ĐKXĐ : 53≤ x≤ 73 …… 0, 5 điờ̉m
A2 = (3x – 5) + (7 – 3x) + 2√(3 x− 5).(7− 3x)= 2 + 2√(3 x− 5).(7− 3x)… 0,
5 điờ̉m
Vởn dụng BĐT Côsi cho 2 số dơng √3 x−5;√7−3 x ta đợc :
A2 2 + (3x – 5 + 7 – 3x) = 2 + 2 = 4 … 0,
5 điờ̉m
A2 = 4 khi và chỉ khi 3x – 5 = 7 – 3x => x = 2
Vậy max A2 = 4 => max A = 2 0, 5 điờ̉m
Bài 4:
a) Xét hai tam giỏc vuụng ABH và CAH cú:
(vì cựng phụ với gúc )
Do đú ∆ABH ∆CAH (g.g) ……… …… 0, 5 điờ̉m
O
E
T
H
A
Trang 5Suy ra: .… … 0, 5 điểm
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36……… … … 0, 5 điểm
AH = = 6 (cm) .……… …… 0, 5 điểm Mặt khác: HT AB và HE AC
nên ATHE là hình chữ nhật ……… …… 0, 5 điểm Suy ra: TE = AH = 6 (cm) .……… …… 0, 5 điểm b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo hình chữ nhật ATHE;
Xét tam giác MTH có: (vì cùng phụ với )
Suy ra tam giác MTH cân tại M, do đó MT = MH (1) …… 0, 5 điểm
Ta có (vì cùng phụ với )
Suy ra tam giác MTB cân tại M, do đó MB = MT (2) … … 0, 5 điểm
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của BH 0, 5 điểm Xét tam giác NEH có: (vì cùng phụ với )
Suy ra tam giác NEH cân tại N, do đó NE = NH (3) .…… 0, 5 điểm
Ta có (vì cùng phụ với )
Suy ra tam giác NEC cân tại N, do đó NE = NC (4) …… 0, 5 điểm
Từ (3) và (4) suy ra N là trung điểm của HC …… 0, 5 điểm c) Theo chứng minh trên ta có:
TM = MH = BH = .4 = 2 (cm) …… 0, 5 điểm
EN = NH = CH = .9 = 4,5 (cm) …… 0, 5 điểm
TE = AH = 6 (cm) …… 0, 5 điểm TENM là hình thang vuông, do đó diện tích là:
STENM = (TM + EN)TE = (2 + 4,5).6 = 19,5 (cm2) .…… 0, 5 điểm