SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Phần I: mở đầu I. Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm Trong quá trình giáo dục, giảng dạy bộ môn toán ở trờng THPT Lang Chánh Tôi nhận thấy học sinh khi học và làm các bài toán về Toạ độ trong không gian các em học sinh thờng khó hình dung và gặp nhiều khó khăn. Do đặc thù môn học Toạ độ trong không gian tơng đối khó và trừu t- ợng . Khi chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang hình học giải tích học sinh thờng lúng túng và mắc sai lầm khi giải bằng phơng pháp toạ độ. II. Mục đích nghiên cứu - Nhờ phơng pháp toạ độ cho phép nghiên cứu các yếu tố của hình học giải tích và từ đó tạo đợc mối liên hệ chặt chẽ giữa đại số và hình học. - Sử dụng phơng pháp toạ độ cho phép giải nhiều dạng toán khác nhau trong trong không gian. - Nhờ đa vào toạ độ vuông góc trong không gian cho phép nghiên cứu tích vô hớng, tích có hớng của hai vectơ. Từ đó thuận tiện nghiên cứu các yếu tố hình học giải tích trong không gian. III. Đối tợng nghiên cứu - Là học sinh lớp 12 Trờng THPT Lang Chánh IV. Phơng pháp nghiên cứu - Tự nghiên cứu và đọc tài liệu V.Thời gian nghiên cứu - Hoàn thành trong một năm 1 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Bài viết này gồm có Phần I: Cơ sở viết sáng kiến kinh nghiệm Phần II: Nội dung Chơng I: Hình thành kháI niệm Chơng II: Một số phơng pháp dạy học toạ độ trong không gian Chơng III: Các bài tập tự luyện Phần III: Kết luận Phần II: Nội dung Chơng I: Hình thành kháI niệm 2 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu I. Ph ơng trình mặt phẳng và đ ờng thẳng. 1. Phơng trình mặt phẳng Phơng trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ), có vectơ pháp tuyến n đợc trực tiếp suy từ phơng trình vectơ sau đây: 0. 0 = nMM với n = (A;B;C), n 0 , M(x; y; z) ( ).Hay A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 (1) Đặt D = -(Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) ta đợc : Ax + By + Cz + D = 0 (2) 2. Phơng trình đờng thẳng Phơng trình tham số của đờng thẳng d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vectơ chỉ phơng u (a; b; c), u 0 đợc suy từ phơng trình vectơ của nó là: utMM = 0 , M(x; y; z) d. t là tham số. += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 Rt , (3) Trờng hợp abc 0, khử t từ hệ (1) ta đợc phơng trình sau gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng c zz b yy a xx 000 = = (4) II. Vị trí t ơng đối giữa các đ ờng thẳng và mặt phẳng. 1. Vị trí tơng đối giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng )( và )( lần lợt có phơng trình: )( : 0 =+++ DCzByAx )( : 0 = + + + DzCyBxA a) Hai mặt phẳng )( và )( cắt nhau CBACBA :::: b) Hai mặt phẳng )( và )( song song D D C C B B A A = = c) Hai mặt phẳng )( và )( trùng nhau D D C C B B A A = = = 3 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu 2. Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng Trong không gian cho đờng thẳng d đi qua điểm 0 M có vectơ chỉ ph- ơng u và đờng thẳng d đi qua điểm 0 M , có vectơ chỉ phơng u . Khi đó : +) d và d trùng nhau uu . và 00 MM đôi một cùng phơng [ ] [ ] 0,, 00 = = MMuuu +) d // d [ ] [ ] = 0, 0, 00 MMu uu +) d và d cắt nhau [ ] [ ] = 0, 0, 00 MMu uu +) d và d chéo nhau [ ] 0., 00 MMuu III. Khoảng cách Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ). +) Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng )( : Ax + By + Cz + D = 0 là: ( ) 222 000 0 )(, CBA DCzByAx Md ++ +++ = +) Khoảng cách từ điểm M 1 (x 1 ; y 1; z 1 ) đến đờng thẳng c zz b yy a xx 000 : = = là: ( ) [ ] u uMM Md , , 10 1 = , );;( cbau là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng +) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau 1 , 2 lần lợt đi qua M 1 , M 2 và có các vectơ chỉ phơng 1 u , 2 u đợc tính theo công thức sau: ( ) [ ] [ ] 21 2121 21 , ., , uu MMuu d = 4 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Chơng II: Một số phơng pháp dạy học toạ độ trong mặt phẳng và không gian 5 Vấn đề 1: Phơng trình mặt phẳng và phơng trình đờng thẳng Phơng pháp: +) Đối với mặt phẳng cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và một điểm thuộc mặt phẳng. +) Đối với đờng thẳng cần tìm vectơ chỉ phơng của đờng thẳng và một điểm thuộc đờng thẳng. SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Bài toán 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , Trong đó A(0; 0; 0), D(a; 0; 0), B(0; b; 0), A 1 (0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > 0. Các điểm M, N, P lần l- ợt là trung điểm các cạnh AB, B 1 C 1 , DD 1 . a) Viết phơng trình mặt phẳng (MNP) b) Gọi H là hình chiếu của đỉnh A 1 lên mặt phẳng (MNP), viết phơng trình của đờng thẳng A 1 H và tìm toạ độ của H Giải: a) Xét hệ toạ độ Axyz ta có: 6 Định hớng: a) Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là [ ] MPMNn , = b) Đờng thẳng A 1 H có vectơ chỉ phơng cùng phơng với vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (MNP) P A D 1 C 1 B 1 C z y x A 1 D B N M SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu )0;;0( bAB = . Vì == 0; 2 ;0 2 1 b ABAM , 0; 2 ;0 b M =++=++= cbaADABAANBBBAAAN ;; 2 1 2 1 1111 = N cba ;; 2 1 Tơng tự ta có caP 2 1 ;0; Từ toạ độ các điểm M,N,P suy ra = cbaMN ; 2 1 ; 2 1 , = cbaMP 2 1 ; 2 1 ; Hai vectơ MN , MP không cùng phơng nên có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là: [ ] = == 4 3 ; 4 3 ; 4 3 2 ; 2 ; 2 , abacbc a a c c b MPMNn 2 b - 2 b a 2 a 2 c c 2 b Phơng trình mặt phẳng (MNP) là: 7 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu ( ) ( ) 00 4 3 24 3 0 4 3 = + z abb y ac x bc 0 8 3 4 3 4 3 4 3 =+ abc z ab y ac x bc 0 2 1111 =+ z c y b x a (1) b) H là hình chiếu của A 1 đờng thẳng A 1 H nhận vectơ u n 3 4 = làm vectơ chỉ phơng có phơng trính tham số: = = = abtcz acty bctx (2) Giả sử H(x 1 ; y 1 ; z 1 ) do H (MNP) nên toạ độ của điểm H thoả mãn ph- ơng trình (1). Nghĩa là 0 2 1111 111 =+ z c y b x a (3) Mặt khác toạ độ của H phải thoả mãn hệ phơng trình (2) nên: = = = abtcz acty bctx 1 1 1 (4) Thay = = = abtcz acty bctx 1 1 1 vào (3) ta đợc 2 1 = + t c abc t b ac t a bc ( ) 222222 2 3 2 3 accbba abc tt c ab b ac a bc ++ == ++ Thay t vào (4) ta đợc 8 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu ( ) ( ) ( ) ++ ++++ = 222222 22 222222 22 2222 22 3 ; 2 3 ; 2 3 accbbaa cba c accbba bca cbba cab H Bài toán 2.Trong không gian cho đờng thẳng 1 là giao tuyến của hai mặt phẳng: =++ =++ 0132 0132 zyx zyx và đờng thẳng = += += tz ty atx 33 21 2 : 2 a) Chứng minh rằng với mọi a hai đờng thẳng 1 và 2 không song song. b) Hãy tìm a để hai đờng thẳng 1 và 2 cắt nhau. c) Với giá trị nào của a hai đờng thẳng 1 và 2 chéo nhau? 9 Vấn đề 2: Vị trí tơng đối giữa các đờng thẳng và mặt phẳng. Phơng pháp: +) Đối với vị trí tơng đối giữa hai mặt phẳng ta cần xác định hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và tỉ số của chúng. +) Đối với vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng ta cần xác định đợc các vectơ chỉ phơng và toạ độ của điểm mà đờng thẳng đi qua. Sau đó tiến hành các bớc nh nêu ở phần hình thành khái niệm. Định hớng: +) Xác định vectơ chỉ phơng của hai đờng thẳng. +) Dựa vào điều kiện về vị trí tơng đối của hai đờng thẳng để xét. SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Giải : a) Đờng thẳng 1 đi qua điểm 0; 7 1 ; 7 5 1 M có vectơ chỉ phơng )1;1;1( 1 u , đờng thẳng 2 đi qua điểm M2(2; -1; 3) và có vectơ chỉ phơng )3;2;( 2 au . Với mọi a các vectơ 1 u và 2 u không cùng phơng vậy hai đờng thẳng 1 và 2 không song song. b) Vì hai vectơ 1 u và 2 u không cùng phơng: 1 cắt 2 1 u , 2 u và 21 MM đồng phẳng [ ] 0.; 2121 = MMuu 7 9 = a c) 1 và 2 chéo nhau 1 u , 2 u và 21 MM không đồng phẳng [ ] 0.; 2121 MMuu 7 9 a . Bài toán 3. Cho hình lập phơng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng 1. 10 Vấn đề 3: Khoảng cách Phơng pháp: +) Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần xác định đợc vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. +) Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng ta cần xác định đợc vectơ chỉ phơng và một điểm thuộc đờng thẳng. +) Để tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau ta cần xác định đợc vectơ chỉ phơng của hai đờng thẳng và điểm thuộc mỗi đờng thẳng. [...]... 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu Kết luận Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở trờng phổ thông , môn học toạ độ trong không gian đóng vai trò hết sức quan trọng Nó tạo đợc mối liên hệ chặt chẽ giữa đại số và hình học Đồng thời trang bị cho học sinh các thuật toán giải các bài toán về hình học, giúp học sinh phát triển t duy trừu tợng, óc sáng tạo và trí tởng tợng trong không gian Do yêu cầu môn học và... các trung điểm của các cạnh AD, BB1, AB, C1D1 a) Chứng minh rằng hai đờng thẳng MN và IJ cắt nhau, vuông góc với nhau b) Viết phơng trình mặt phẳng đi qua hai đờng thẳng MN và IJ Bài tập 2 :Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho đờng thẳng là giao 1 2x z 1 = 0 tuyến của hai mặt phẳng và đờng thẳng x y+ 4= 0 2 là giao tuyến của hai 3x + y 2 = 0 mặt phẳng 3y z 6 = 0 a) Chứng minh rằng hai đờng... thức b) Xác định vectơ chỉ phơng của hai đờng thẳng sau đó áp dụng công thức Giải: z A1 B1 M D1 C1 A D y C B x a) Chọn hệ trục toạ độ vuông góc (Axyz), trong đó B(1; 0 ;0), D(0;1;0), A1(0; 0; 1), A(0; 0; 0) Khi đó Hai vectơ BD và BM 1 1 M 0;0; , BD (;1;0) , BM 1;0; 1 2 2 không cùng phơng Từ đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BMD) là: 11 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 [ n = BD, BM ] 1 0 -1 -1 =... +1 = 0 , 2y +3z - 5 = 0 và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 1 = 0 c) Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x - y + 3z +8 = 0 , -2x - y +z +2 = 0 và song song với mặt phẳng x - y - 1 = 0 Bài tập 6: Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đờng thẳng : d1: d2 : x 1 y + 2 z + 2 = = , 3 1 4 x +1 y z 3 = = 2 3 1 a) Chứng minh hai đờng thẳng d1 và d2 chéo nhau b) Chứng minh rằng d1 song song với... phát triển t duy trừu tợng, óc sáng tạo và trí tởng tợng trong không gian Do yêu cầu môn học và tính chất của bài viết, cùng với kinh nghiệm còn hạn chế Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song bài viết không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo 15 SNG KIN KINH NGHIM NM 2009 Giỏo viờn: Trnh Vn Hu 1 Cơ sở hình . - Sử dụng phơng pháp toạ độ cho phép giải nhiều dạng toán khác nhau trong trong không gian. - Nhờ đa vào toạ độ vuông góc trong không gian cho phép nghiên. các bài toán về Toạ độ trong không gian các em học sinh thờng khó hình dung và gặp nhiều khó khăn. Do đặc thù môn học Toạ độ trong không gian tơng đối