Để giải đợc các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.. Có nhiều
Trang 1bất đẳng thức và ứng dụng
I - đặt vấn đề
1 Lý do chọn đề tài:
Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó Để giải đợc các bài
toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Có nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ta phải căn cứ vào các đặc thù của từng bài toán mà sử dụng phơng pháp cho thích hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau, cũng có bài phải kết hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí Các phơng pháp thờng hay đợc sử dụng đó là phơng pháp dùng định nghĩa, phơng pháp biến đổi tơng đơng, phơng pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết, phơng pháp phản chứng, phơng pháp chứng minh quy nạp
Trong môn đai số ở trờng trung học cơ sở do kiến thức học sinh (HS) tích lũy
đợc cha nhiều, vậy nên giáo viên (GV) cần phải chú ý hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm s pham, phải có lòng tận tâm và phơng pháp đúng đắn đây là một cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phơng pháp,
ph-ơng pháp chứng minh các bài toán về bất đẳng thức nói riêng và phph-ơng pháp giải các bài toán đại số nói chung Nhằm rèn luyện và phát triển cho HS năng lực t duy khoa học Biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt bằng gợi ý Chứng minh bài toán nh thế nào là thể hiện kinh nghiệm và năng lực s phạm của ngời giáo viên trong quá trình dạy học
Bởi vậy muốn bồi dỡng và phát triển đối tợng học sinh Khá, Giỏi bản thân ngời dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán và tìm ra các phơng pháp
Trang 2giải hợp lí nhất dễ hiểu, dễ vận dụng nhất Nhằm bộ trợ và nâng cao kịp thời cho các em những kiến thức cần thiết ở bất đẳng thức mỗi bài toán, với những đặc
điểm riêng, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tính t duy toán học linh hoạt và sáng tạo của ngời học Do đó mà các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong đề thi các kì thi tuyển học sinh giỏi, thi vào các trờng chuyên trên toàn quốc rất nhiều
Không những thế chứng minh bất đẳng thức là một đề tài lí thú của Đại số, mãi mãi là đối tợng nghiên cứu của Toán học
Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “
Bất đẳng thức và ứng dụng ” Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có
một phơng án đúng đắn, hợp lí giúp học sinh tiếp cận với các bài toán về bất
đẳng thức và ứng dụng của nó một cách chủ động, sáng tạo và có hiệu quả có hứng thú nhất trong quá trình học
Bất đẳng thức và ứng dụng của nó rất phong phú về dạng toán, nhng ở đề tài này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và phơng pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó
2 Phạm vi và giới hạn bài viết:
Bài viết giới thiệu bất đẳng thức và ứng dụng dành cho các đối tợng học sinh lớp 8, lớp 9 góp phần nâng cao chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh khá giỏi (Để bài viết không quá dài, tôi không trình bày chi tiết lời giải, đối với một
số bài toán đặc trng sẽ đợc phân tích cụ thể và khai thác bài toán)
II- Nội dung
A Chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 1:
Trang 3Chứng minh rằng x2 – x + 1 > 0, với mọi giá trị của x.
a) Phân tích, tìm lời giải
Vế trái của bất đẳng thức là một đa thức bậc hai với hệ số cao nhất dơng, ta có thể biến đổi nó thành tổng bình phơng của một nhị thức và một số:
x2 – x + 1 = (x - 21 )2 + 43 > 0 b) Khai thác bài toán
1 Từ lời giải ta thấy x2 – x + 1 ≥ 43 , đẳng thức xẩy ra khi x = 21 Vậy giá trị nhỏ nhất của
x2 – x + 1 bằng 43
2 Xét đa thức ax2 + bx + c, ta có
ax2 + bx + c = a(x + 2b a )2 - b2 4−a4ac Nếu a > 0 thì ax2 + bx + c ≥ -b2 4−a4ac
Nếu a < 0 thì ax2 + bx + c ≤ -b2 4−a4ac
Bài toán 2:
Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
a) Phân tích, tìm lời giải
Dựa vào đặc điểm của các hạng tử ở hai vế, ta xét hiệu hai vế và phân tích hiệu đó thành tổng các bình phơng
Ta có a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca) =
= 21 (a2 – 2ab + b2) + 12 (b2 – 2bc + c2) + 21 (c2 – 2ca + a2) =21 [(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0
b) Khai thác bài toán
Trang 41 Ta có thể chứng minh bài toán này bằng nhiều phơng pháp khác nhau: Phơng pháp biến đổi tơng đơng, Phơng pháp phản chứng… Sau đây là phơng pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết
Ta có a +b ≥ab
2
2 2
tơng tự b +c ≥bc
2
2 2
2
2 2
ca a c
≥ +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức (cùng chiều) ta đợc a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
2 Đề xuất những bài toán mới từ bài toán đã giải bằng cách
- Xét trờng hợp đặc biệt:
Với c = 1 ta có a2 + b2 + 1 ≥ a2 + b2 + ab + a + b +1
- Kết hợp với hằng đẳng thức
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ca, Suy ra a 3b c2 ≤a2 +b32 +c2
+ +
Bài toán 3:
Cho a, b là hai số dơng Chứng minh rằng . 2
2 2
2 2 3
a + ≥ + +
a) Phân tích, tìm lời giải
Dựa vào đặc điểm của các biểu thức ở hai vế, ta thấy vế trái (VT) phân tích đợc thành tích các nhân tử, trong đó có nhân tử chung với vế phải (VP) Từ
đó ta sử dụng phơng pháp dùng định nghĩa: Xét hiệu hai vế và phân tích hiệu đó thành tích các nhân tử
Ta có VT – VP = (a+b)(a22−ab+b2)−(a+b)(4a2 +b2) =
= ( ) 0
4
)
≥
− +b a b a
b) Khai thác bài toán
1 Có thể giải bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng hoặc phản chứng
2 Từ lời giải bài toán ta thấy không nhất thiết là cả a và b là hai số dơng mà chỉ cần
a + b ≥ 0 là ta có . 2
2 2
2 2 3
a + ≥ + +
3 Mở rộng bài toán: Với n, m ∈ N và a + b ≥ 0 ta có
2
2 2
m m n n m n m
a + + + ≥ + +
4)Xét bài toán liên với bài toán đã cho :
Với n, m ∈N và a + b ≥ 0 ta có
Trang 5an + m + bn + m ≥ anbm + ambn
Bài toán 4:
Cho a và b là hai số dơng Chứng minh rằng
n n
a
+
≥
+
2
2 với mọi số tự nhiên n ≥ 2;
a) Phân tích, tìm lời giải
Kết luận của bài toán gợi cho ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp toán học Với n = 2 việc kiểm nghiệm là dễ dàng Giả sử với n = k ta có
k k
a
+
≥
+
2
2 (1)
Ta phải chứng minh
1 1
1
2 2
+ +
+
+
≥
a (2) Nhân hai vế của (1) với 0
2 >
+b a
ta đợc
2 2
2
+
+
≥ +
b a b a b a
Để chứng minh (2) ta chứng minh ( ) ( )
2
2 2
1
(3)
Ta thấy (3) ⇔ ak+1 + bk+1 ≥ abk + akb (phần khai thác bài toán 3)
b) Khai thác bài toán
1) Bài toán vẫn đúng với a + b ≥ 0 và với mọi số tự nhiên n
2) Khi n chẵn ta có.a n b n a n b n a bn
+
≥
+
=
+
2 2
3) Xét trờng hợp đặc biệt : Với a + b = 2 ta có
an + bn ≥ 2 Bài toán 5:
Cho các số a, b, x, y, liên kết với nhau bởi hệ thức : a + b = 2xy Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức
x2 ≥ a (1)
y2 ≥ b (2)
là đúng
a) Phân tích, tìm lời giải
Chú ý đến các biểu thức đã cho trong bài : x2, y2, 2xy Từ đó ta có
x2 + y2 ≥ 2xy = a + b Chứng tỏ không thể đồng thời xẩy ra x2 < a và y2 < b t đó ta giả nh sau
Giải: Giả sử (1) và (2) đều không đúng, nghĩa là x2 < a và y2 < b,
suy ra x2 + y2 < a + b = 2xy Do đó x2 + y2 – 2xy < 0 hay (x – y)2 < 0 Vô lí ! Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1), (2) là đúng
b) Khai thác bài toán
Trang 6Bằng phơng pháp tơng tự ta có : Nếu a + b = 2xy; b + c = 2yz ; c + a = 2zx thì ít nhất một trong ba bất đẳng thức x2 ≥ a, y2 ≥ b, z2 ≥ c là đúng
Bài toán 6:
Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng
2
<
+
+ +
+
c a b
b c a a
a) Phân tích, tìm lời giải
Cả ba phân số ở vế trái đều nhỏ hơn 1, tử số và mẫu số của chúng có
đặc điểm riêng Từ những đặc điểm đó ta sử dụng tính chất của phân số để có:
b c a
b a c a
a
+ +
+
<
+ ; b b a<b+b a+c+c
+ ; c c b<c+c b++a a
+
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh
b) Khai thác bài toán
Từ cách giải bài toán trên ta rút ra một số ví dụ tơng tự
+ +
+
c c b
b
b
a
a
+ +
+ + +
+ + +
+
+
d a d c
c d c b
b c
b
a
a
+ +
+ + + +
+ + + +
+ +
+
+
+
b a d
a d a d c
d c d c b
c b c
b
a
b
a
Bài toán 7:
Chứng minh rằng với moi x ta có
2 1
1 3
2 2
2
≤ + +
+
≤
x x x
a) Phân tích, tìm lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức kép, nghĩa là ta phải chứng minh hai bất đẳng thức :
32 2 11
2 + +
+
≤
x x
x
(1)
Và 2
1
1 2
2
≤ + +
+
x x
x
(2)
Dễ thấy x2 + x + 1 > 0, do đó
(1) ⇔ 3(x2 + 1) – 2(x2 + x + 1) = (x - 1)2 ≥ 0
Và (2) ⇔ 2(x2 + x + 1) – (x2 + 1) = (x + 1)2 ≥ 0
b) Khai thác bài toán
1 Ta có thể chứng minh theo phơng pháp sau đây (phơng pháp miền giá trị) Gọi y là một giá trị của 2 11
2 + +
+
x x
x
, nghĩa là phơng trình y =
1
1
2
2
+
+
+
x
x
x
có nghiệm
⇔ y(x2 + x + 1) = x2 + 1 hay (y – 1)x2 + yx + (y – 1) = 0 có nghiệm
Trang 7Từ đó ∇ = y2 – 4(y – 1)2 ≥ 0
⇔ (3y - 2)(2 – y) ≥ 0 ⇔ 2
3
2
≤
≤y Vậy 2
1
1 3
2 2
2
≤ + +
+
≤
x x x
2 Từ lời giải ta có
Giá trị nhỏ nhất của 2 11
2 + +
+
x x
x
là 32 khi x =1 ; Giá trị lớn nhất của 2 11
2 + +
+
x x
x
là 2 khi x = -1;
B Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
a Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Bài toán 8:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
f(x) = -2x2 + 2x – 1 a) Phân tích, tìm lời giải
Theo cách giải của bài toán 1, ta biến đổi
f(x) = -2(x2 – x + 14 ) - 21 = -2(x - 12 )2 - 12 ≤ −21 f(x) = -21 khi x = 21 Vậy max f(x) = -21
b) Khai thác bài toán
Từ cách giải bài toán ta suy ra một số kết quả nh sau :
1) –f(x) = 2x2 – 2x + 1 có giá trị nhỏ nhất bằng 21 khi x = 12
2) f1(x) có giá trị nhỏ nhất bằng -2 khi x = 21
3) F(x) = ax2 + bx + c, có giá trị nhỏ nhất khi a > 0 và min F(x) = -b2 4−a4ac F(x) có giá trị lớn nhất khi a < 0 và max F(x) = -b24−a4ac
Bài toán 9:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
g(x) = 2 2 12
2 + +
−
−
x x
x x
a) Phân tích, tìm lời giải
Dựa vào đặc điểm của tử thức và mẫu thức của g(x) ta biến đổi
1
3 1
) 2 2 2 ( 3
2
2 2
2 2
−
≥
− + +
= +
+
+ +
−
x x
x x
x
x x x
1
3
2
2
≥ + +x
x
x
) ,đẳng thức xẩy ra khi x = 0
Từ đó min g(x) = -2
Trang 8Ta cũng có g(x) = 1 1 2
1
3
2
− + +
x x
Mà 1) 43
2
1 ( 4
3 1 1
+ +
x x
x
Nên g(x) ≤ 4 – 2 = 2, đẳng thức xẩy ra khi x = -2
Vậy max g(x) = 2
b) Khai thác bài toán
Có thể giải bài toán bằng phơng pháp “miền giá trị”
Bài toán 10:
Cho x, y thỏa mãn x + y = 2a (a dơng, không đổi)
Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2
a) Phân tích, tìm lời giải
Ta nhận thấy các biểu thức x2 + y2 và x + y có mối liên quan đặc biệt áp dụng bất đẳng thức
2 2 2 2 2
+
≥ +y x y
x ta có x2 + y2 ≥ 2a2 Đẳng thức xẩy ra khi x = y = a Vậy min (x2 + y2) = 2a2
b) Khai thác bài toán
1) Có thể giải bài toán bằng cách khác nh sau Vì x + y = 2a nên y = 2a – x
Từ đó x2 + y2 = x2 + (2a – x)2 = 2x2 – 4ax + 4a2 =
= 2(x – a )2 + 2a2 ≥ 2a2
Đẳng thức xẩy ra khi x = y = a Vậy min (x2 + y2) = 2a2
2) Ta xem x, y là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật thì x2 + y2 là bình phơng độ dài đờng chéo Từ đó suy ra : trong các hình chữ nhật có chu
vi không đổi, hình vuông là hình có độ dài đờng chéo ngắn nhất
B ứng dụng bất đẳng thức giải phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt.
Bài toán 11:
Giải phơng trình
4x + 2x = 3x + 1
a) Phân tích, tìm lời giải
Đễ dàng thấy khi x > 0 thì 4x > 3x và 2x > 1, do đó 4x + 2x > 3x + 1
T-ơng tự, khi x < 0 thì 4x < 3x và 2x < 1 do đó 4x + 2x < 3x + 1; x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình
b) Khai thác bài toán
1) Mở rộng – xét phơng trình ax + cx = bx + dx với a > b > 0 và c > d
> 0,
Trang 9Tơng tự ta có phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0.
2) Xét phơng trình
a1x + a2x + … +anx = b1x + b2x + … bnx
với ai > bi (i = 1, …, n) Ta cũng có kết quả: x = 0 là nghiệm duy nhất
Bài toán 12:
Giải hệ phơng trình x2 + y2 + z2 = 1 (1)
xy + yz + zx =1 (2)
a) Phân tích, tìm lời giải
Các vế của hai phơng trình có liên quan đặc biệt Từ (1), (2) ta có
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
Nhng ta lại có bất đẳng thức x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (bài toán 2) Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z Từ đó ta đợc hệ phơng trình có hai nghiệm
x = y = z = 33
b) Khai thác bài toán
1) Tơng tự ta xét hệ phơng trình x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = a (a > 0)
Hệ này có hai nghiệm
x = y = z = 33a
2) Xét hệ phơng trình
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx (I)
ax + by + cz = d (II)
Dựa vào bất đẳng thức ta có (I) ⇔ x = y = z, thay vào (II) ta giải đợc hệ này
III - Kết luận
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh vừa nắm đợc tri thức mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó để phát triển t duy tích cực sáng tạo, do đó khi dạy học giáo viên cần phải phát huy tối đa tính tích cực, chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức cho học sinh Biết đề ra cho HS đúng lúc, đúng chỗ
Trang 10những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tợng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt bằng gợi ý Chứng minh bài toán nh thế nào là thể hiện kinh nghiệm và năng lực s phạm của ngời giáo viên trong quá trình dạy học Cần tạo cho học sinh thói quen không dừng lại ở kết quả đạt đợc mà phải phân tích, mỗ xẽ và khai thác để có dạng toán mới với cách giải tơng tự thông qua việc hớng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong giải toán, phát triển tốt t duy và nâng cao năng lực sáng tạo cho học sinh
Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi tích lũy đợc trong quá trình dạy học sinh giải các bài toán về bất đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức nói riêng cũng
nh hớng dẫn học sinh giải toán nói chung, xin đợc trao đổi và rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn !