Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach

Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ LAN

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP KIỂU HALPERN CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên và TS PhạmHồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt v

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach phản xạ 3

1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh 4

1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman 4

1.2.2 Phép chiếu Bregman 20

1.2.3 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 23

1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không giãn mạnh 24 Chương 2 Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động chung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh 27 2.1 Thuật toán và bổ đề bổ trợ 28

2.2 Sự hội tụ mạnh của thuật toán 29

2.3 Một số ứng dụng 35

2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi 35

2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại 36

2.3.3 Bài toán cân bằng 36

2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 38

2.3.5 Bất đẳng thức biến phân 39

Kết luận 41Tài liệu tham khảo 42

Một số ký hiệu và viết tắt

X không gian Banach

X∗ không gian đối ngẫu của X

R tập hợp các số thực

R+ tập các số thực không âm

∩ phép giao

int M phần trong của tập hợp M

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

ˆ

F (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

5 f gradient của hàm f

M bao đóng của tập hợp M

projfC phép chiếu Bregman lên C

Df(x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y

Mở đầu

Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đóphải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co củaBanach (1922) Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và khônggian khác nhau Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựctoán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạohàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,

đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó

T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó đượcgọi là một điểm bất động của T Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việcgiải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thíchhợp Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong

X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = ychính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với

x ∈ X Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất độngcủa một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làmtoán trong và ngoài nước

Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiêncứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ kiểukhông giãn trong không gian Hilbert hay Banach Một trong những khó khăn khinghiên cứu bài toán điểm bất động và các bài toán liên quan khác (chẳng hạnbài toán tìm không điểm, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng) trongkhông gian Banach là người ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu của khônggian Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu rất khó xác định

và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính Do đó việc tìm dạng tường minhcủa toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu trong không gian Banach nóichung là “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử dụng khoảngcách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thay thế ánh xạ đốingẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux.

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của các tác giả KimJ.K và Tuyen T.M trong bài báo [15] về một thuật toán song song (thông quaphương pháp lặp kiểu Halpern) tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạntoán tử Bregman không giãn mạnh, cùng với một số ứng dụng cho việc giải cácbài toán liên quan khác trong không gian Banach phản xạ

Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banachphản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử Bregman khônggiãn mạnh

Chương 2 Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất độngchung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh

Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kếtquả của Kim J.K và Tuyen T.M trong tài liệu [15] về một phương pháp lặpsong song kiểu Halpern tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tửBregman không giãn mạnh trong không gian Banach phản xạ Ngoài ra, một sốứng dụng của định lý chính cho việc giải một số lớp bài toán liên quan khác (bàitoán chấp nhận lồi, bài toán tìm không điểm chung của các toán tử đơn điệu cựcđại, bài toán cân bằng, không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơnđiệu mạnh và bất đẳng thức biến phân) cũng được giới thiệu ở chương này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bảncủa không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếuBregman và toán tử Bregman không giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến một sốphương pháp tìm điểm bất động của toán tử Bregman không giãn mạnh Nộidung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 14, 21, 27, 29]

1.1 Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banachphản xạ

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ,nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của X, đều tồn tạiphần tử x thuộc X sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ X∗.Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗, xi để chỉ giá trịcủa phiếm hàm x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X

Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X là một không gian Banach Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương:

i) X là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu.

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trongkhông gian tuyến tính định chuẩn

Mệnh đề 1.1.4 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian tuyếntính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ C saocho xn * x, nhưng x /∈ C Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X∗ táchngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i Do đó, trong bấtđẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1.5 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng

1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn

mạnh

1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman

Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, ∞] là mộthàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < ∞} Với

mỗi x ∈ int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f0(x, y) là đạo hàm phải của f tại x theohướng y, tức là

f0(x, y) = lim

t↓0

f (x + ty) − f (x)

t .Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạnlimt→0(f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y Trong trường hợp này f0(x, y)trùng với (5f )(x), giá trị của gradient 5f của f tại x

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trêntồn tại đều trên tập {y ∈ X : kyk = 1} Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đềutrên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1.Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tửgradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì fliên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpôyếu* trên int domf (xem [7])

iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M ,với mọi x ∈ X

Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều

Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều,thì f liên tục đều trên X

Chứng minh Lấy bất kỳ u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi

Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho

Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới

Ví dụ 1.2.6 Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi

Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tụctại x = 0.

Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0 Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0(trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có

f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x),với mọi x Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0

Mệnh đề 1.2.7 Hàm f : X −→ (−∞, ∞] là lồi khi và chỉ khi

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) (1.1)với mọi x, y ∈ X và mọi t ∈ [0, 1]

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi trên X Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức(1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1) Nếu x hoặc y không thuộc dom f , thì hiển nhiênbất đẳng thức (1.1) đúng Giả sử x, y ∈ dom f Khi đó ta có (x, f (x)) ∈ epi f và(y, f (y)) ∈ epi f Vì epi f là tập lồi, nên t(x, f (x)) + (1 − t)(y, f (y)) ∈ epi f vớimọi t ∈ (0, 1), tức là (tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y)) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1).Suy ra

Mệnh đề 1.2.8 Nếu f là một hàm lồi và x ∈ dom f , thì các khẳng định sau làđúng:

i) Hàm ϕf(y, x; ·) : R \ {0} −→ (−∞, ∞] xác định bởi

ϕf(y, x; t) = f (x + ty) − f (x)

t

là hàm không giảm trên mỗi khoảng (0, ∞) và (−∞, 0)

ii) Với mọi y ∈ X, giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) là tồn tại và

ii) Theo i) giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) tồn tại và f0(x, y) ≤ ϕf(y, x; 1),tức là

f0(x, y) ≤ f (x + y) − f (x)

Mệnh đề 1.2.9 Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàmlồi trên D Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cụccủa f trên D

ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.Chứng minh i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0không là điểm cực tiểu toàn cục Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1) < f (x0)

Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận Ucủa x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x),với mọi x ∈ D ∩ U Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0+ t(x1− x0) ∈ D ∩ U , do

Tổng quát hơn, ta xét ví dụ dưới đây;

Ví dụ 1.2.12 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và f (x) = kxk,với mọi x ∈ X Khi đó, ta có

Thật vậy, ta xét hai trường hợp ứng với x = 0 và x 6= 0 như sau:

kxk = hu∗, xi (1.3)Thay vào (1.2), ta thu được kyk ≥ hu∗, yi với mọi y ∈ X Suy ra ku∗k ≤ 1 Kếthợp với (1.3), ta nhận được ku∗k = 1

Như vậy nếu u∗ ∈ ∂f (x) thì ta nhận được ku∗k = 1 và kxk = hu∗, xi

Ngược lại, giả sử u ∈ {hu∗, xi = kxk, ku∗k = 1} Khi đó, với mọi y ∈ X, tacó

hu∗, y − xi = hu∗, yi − kxk

≤ ku∗kkyk − kxk

Định nghĩa 1.2.15 Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm

f : X −→ (−∞, ∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn haiđiều kiện sau:

L1) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteauxtrên int domf và dom5f = int domf ;

L2) Phần trong int domf∗ của miễn hữu hiệu của f∗ khác rỗng, f∗ khả viGâteaux trên int domf∗ và dom5f∗ = int domf∗

Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f∗ (xem [7]) Do đó, từ các điều kiện L1) và

Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với 5f (xem [9]) Bauschke

và cộng sự (xem [4]) các điều kiện L1) và L2) cũng suy ra rằng các hàm f và f∗

là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng Nếu X là một khônggian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = 1

pkxkp, 1 < p < ∞ là hàm Legendre

Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ

Mệnh đề 1.2.16 (xem [20], Mệnh đề 2.1) Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả viFréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì 5f liên tục đều trênmỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X∗

Chứng minh Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn{xn}, {yn} và số dương ε sao cho kxn − ynk → 0, nhưng

h5f (xn) − 5f (yn), wni ≥ 2ε,trong đó {wn} là một dãy trong X thỏa mãn kwnk = 1 với mọi n Vì f khả viFréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho

f (yn+ twn) − f (yn) − th5f (yn), wni ≤ εt,với mọi t ∈ (0, δ) Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có

h5f (xn), (yn+ twn) − xni ≤ f (yn+ twn) − f (xn),với mọi n ≥ 1

Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman.Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux Hàm Df : domf ×int domf −→ [0, ∞) xác định bởi

Df(y, x) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi, (1.4)được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2])

Nhận xét 1.2.17 i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩathông thường, vì nó không có tính đối xứng

ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df(·, x) là hàm lồi chặt và

5Df(·, x)(y) = 5f (y) − 5f (x)

iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức bađiểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f ,

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = h5f (z) − 5f (y), x − yi, (1.5)

và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f ,

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x)

+ Df(ω, z) = h5f (z) − 5f (x), y − ωi

(1.6)Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = f (x) − f (y) − h5f (y), x − yi

+ f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi

− [f (x) − f (z) − h5f (z), x − zi]

= h5f (z) − 5f (y), x − yi,suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh

Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x) + Df(ω, z) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi

− [f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi]

− [f (w) − f (x) − h5f (x), w − xi]+ f (w) − f (z) − h5f (z), w − zi

= h5f (z) − 5f (x), y − ωi,suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh

Định nghĩa 1.2.18 Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux.Khi đó, f được gọi là:

a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nótại x, vf : int domf × [0, ∞) −→ [0, ∞) xác định bởi

vf(x, t) = inf{Df(y, x) : y ∈ domf, ky − xk = t},

là dương với mọi t > 0;

b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ;

c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf(B, t) là dương với mọi tậpcon bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn củahàm f trên tập B là hàm vf : int dom f × [0, ∞) −→ [0, ∞) xác định bởi

vf(B, t) = inf{vf(x, t) : x ∈ B ∩ int domf }

Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dướiđây

Mệnh đề 1.2.19 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8) Cho f là một hàm lồi, chính thường,nửa liên tục dưới Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây:

i) Miền hữu hiệu của vf(x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf(x)) hoặc [0, τf(x)]với τf(x) ∈ [0, ∞);

ii) Nếu c ∈ [1, ∞) và t ≥ 0, thì vf(x, ct) ≥ cvf(x, t);

iii) Hàm vf(x, ·) là cộng tính trên, tức là với mọi s, t ∈ [0, ∞) thì ta có vf(x, s +t) ≥ vf(x, s) + vf(x, t);

iv) Hàm vf(x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu

f là hàm lồi hoàn toàn tại x

Chứng minh i) Giả sử x ∈ int dom f và vf(x, t) < ∞ Khi đó, từ định nghĩa của

vf(x, t) tồn tại yt ∈ dom f sao cho kyt− xk = t Vì dom f là tập lồi nên đoạn nối

x và yt, ký hiệu là [x, yt] nằm hoàn toàn trong dom f Suy ra với mọi s ∈ [0, t]tồn tại ys ∈ dom f sao cho kys− xk = s Như vậy khoảng (0, t) chứa trong miềnxác định của vf(x, ·) khi mà vf(x, t) < ∞ Điều này chỉ ra rằng miền xác địnhcủa vf(x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf(x)) hoặc [0, τf(x)]

ii) Nếu c = 1 hoặc nếu t = 0 hoặc nếu vf(x, ct) = ∞ thì kết luận của mệnh đề

là hiển nhiên Trong các trường hợp khác, cho ε là một số thực dương Từ địnhnghĩa của vf(x, ct), tồn tại u ∈ dom f sao cho ku − xk = ct và

vf(x, ct) + ε > Df(u, x) = f (u) − f (x) − h5f (x), u − xi (1.7)Với mọi α ∈ (0, 1), ký hiệu uα = αu + (1 − α)x Đặt β = c−1 và khi đó ta có

với mọi α ∈ (0, 1) Từ (1.8), ta nhận được

= βf (u) + (1 − β)f (x) − f (uβ)

β+

= 1β



f (uβ) − f (x) −

f (x + α

β(uβ − x)) − f (x)α

β



Cho α & 0, từ định nghĩa của hàm vf(x, ·), ta nhận được

vf(x, ct) + ε > cDf(uβ, x) ≥ cvf(x, t)

Vì ε là số dương tùy ý nên ta nhận được vf(x, ct) ≥ cvf(x, t)

iii) Cho s và t là các số thực dương Khi đó, từ ii) ta có

vf(x, s + t) = vf(x, s + t

s s) ≥

s + t

s vf(x, s)và

tvf(x, s + t) ≥ (s + t)vf(x, t)

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận được

vf(x, ·) là hàm tăng ngặt thì hiển nhiên f là hàm lồi hoàn toàn

Định nghĩa 1.2.20 Một hàm f : X → (−∞, ∞] được gọi là:

(a) đồng xác định nếu dom f∗ = X∗;

(b) bức (xem [29]) nếu tập mức dưới của f bị chặn hoặc tương đương vớilimkxk→∞f (x) = ∞, trong đó tập mức dưới của f được xác định bởi

Khi đó, Vf là ánh xạ không giãn và Vf(x, x∗) = Df(x, 5f∗(x∗)) với mọi x ∈ X

và mọi x∗ ∈ X∗ Hơn nữa, từ định nghĩa của dưới vi phân, ta có

Vf(x, x∗) + hy∗, 5f∗(x∗) − xi ≤ Vf(x, x∗+ y∗) (1.10)

với mọi x ∈ X và x∗, y∗ ∈ X∗ [16] Nếu thêm điều kiện f : X → (−∞, ∞] làhàm chính thường, nửa liên tục dưới, thì f∗ : X∗ → (−∞, ∞] là hàm lồi, chínhthường và nửa liên tục trong tô pô *yếu (see [18]) Do đó, Vf là hàm lồi theobiến thứ hai Vì vậy, với mọi z ∈ X, từ 5f = (5f∗)−1, ta có

Chứng minh Vì dãy {Df(xn, x0)} bị chặn nên tồn tại số M > 0 saocho Df(xn, x0) ≤ M với mọi n ≥ 1 Từ định nghĩa của modul của tính lồihoàn toàn vf(x, t) ta có

vf(x0, kxn − x0k) ≤ Df(xn, x0) ≤ M (1.12)Suy ra dãy {vf(x0, kxn − x0k)} cũng bị chặn bởi M Vì f là hàm lồi hoàn toànnên theo Mệnh đề 1.2.19 iv) vf(x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, ∞) Suy

suy ra dãy {vf(x0, kxnk − x0k)} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.12) Vậy dãy{xn} bị chặn.

Mệnh đề 1.2.22 (xem [25], Mệnh đề 2.2) Nếu x ∈ domf , thì các khẳng địnhdưới đây là tương đương:

i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x;

ii) Với bất kỳ dãy {yn} ⊂ domf,

và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C

Mệnh đề 1.2.24 (xem [8], Bổ đề 2.1.2) Hàm f : X −→ (−∞, ∞] là một hàmlồi và C ⊂ int dom f Khi đó các khẳng định sau là tương đương

i) f là ổn định dãy trên C;

ii) Với mọi dãy {xn} và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãnlimn→∞Df(yn, xn) = 0 thì limn→∞kxn− ynk = 0

Chứng minh i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn}

và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãn limn→∞Df(yn, xn) = 0 nhưng

kxn − ynk 9 0 Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk} ⊂ {xn} và{ynk} ⊂ {yn} thỏa mãn kxnk − ynkk ≥ α với mọi k ≥ 1 Đặt E = {xn}, khi đó E

là tập bị chặn Do đó

Df(ynk, xnk) ≥ vf(xnk, kxnk − ynkk) ≥ vf(xnk, α) ≥ inf

x∈Evf(x, α),