Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGÔ THƯỢNG THỦY

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG

VÀ ỨNG DỤNG

THÁI NGUYÊN, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGÔ THƯỢNG THỦY

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

THÁI NGUYÊN, 2019

của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn Khoa học

PGS TS Hà Trần Phương

Lời mở đầu 1

Chương 1 Không gian metric riêng 4

1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng 4

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric riêng 7

1.3 Metric riêng Hausdorff 12

1.4 Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng 16

Chương 2 Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20

2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị 28

2.3 Sự tồn tại nghiệm chung của các phương trình tích phân kiểu Volterra 37

Lời mở đầu

Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyết tối

ưu Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là nguyên lý ánh xạ co Banachtrên lớp các không gian metric đầy đủ Về sau có rất nhiều tác giả mở rộngnguyên lý này với các điều kiện khác nhau của không gian và ánh xạ Vào năm

1994, S Matthews (xem [8]) là người đầu tiên đưa ra giới thiệu khái niệm khônggian metric riêng Đây là lớp không gian mở rộng tự nhiên từ không gian metricthông thường, có vai trò khá quan trọng và có một số ứng dụng trong việc pháttriển toán lý thuyết, đặc biệt là các định lý điểm bất động Trong một số nămtrở lại đây, một số nhà Toán học đã nghiên cứu về không gian metric riêng vàtính chất của nó, đồng thời tổng quát hóa và mở rộng được một số kết quả của

S Matthews

Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến kháiniệm, tính chất và một số định lí điểm bất động trong không gian metric riêng,tôi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình với tên gọi là: "Một số định lí vềđiểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng"

Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương:

• Chương 1: Không gian metric riêng: Trong chương này, tôi trình bày lạimột số kiến thức cần phải nắm vững khi nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động.Đây hầu hết là những những định nghĩa, tính chất khá cơ bản, chẳng hạn như:không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, sự hội tụ trong không gianmetric riêng Ngoài ra, tôi còn nghiên cứu về metric riêng Hausdorff và đưa một

số ví dụ minh họa Trong phần cuối của chương, tôi có trình bày một số tínhchất cơ bản của không gian metric riêng để phục vụ cho các nội dung có trongChương 2

• Chương 2: Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng.Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi có trình bày chủ yếu về các kiến thứcxoay quanh khái niệm điểm bất động trong không gian metric riêng cho một sốcác ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị Ngoài việc trình bày một cách có

hệ thống các kiến thức, tôi đã đưa ra các ví dụ và bài tập nhằm giảm bớt tínhtrừu tượng của các khái niệm cũng như các định lí, mệnh đề đã được đề cập.Phần cuối cùng của chương, tôi có trình bày một ứng dụng của định lí điểmbất động trong không gian metric riêng, đó là sự tồn tại nghiệm chung của cácphương trình tích phân kiểu Volterra

Tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn vàphù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ, nên chắcrằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót nhất định.Chính vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy côgiảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học để luận vănđược hoàn thiện hơn

Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương Tôi xin chân thành gửi lời cảm

ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệmkhoa Toán - Tin, các thầy cô giáo và anh chị học viên lớp Cao học Toán K11Atrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọiđiều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2019

Học viên Cao học

Ngô Thượng Thủy

Bp(x, ε) hình cầu mở tâm tại x, bán kính ε

[a, b] đoạn đóng của tập số thực với các đầu mút a, b và a < b

Chương 1

Không gian metric riêng

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa, đưa ra một số ví dụ

cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian metricriêng Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dungtrọng tâm trong Chương 2 của luận văn Nội dung trong chương được trích dẫnchủ yếu từ các nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] và [8]

1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp khác rỗng, một metric riêng trên X

là một hàm số

p : X × X −→ R+sao cho với mọi x, y, z ∈ X ta có

(P1) p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) nếu và chỉ nếu x = y;

(P2) p(x, x) 6 p(x, y);

(P3) p(x, y) = p(y, x);

(P4) p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

Khi đó, cặp (X, p) được gọi là một không gian metric riêng

Ví dụ 1.1.2 Cho X = R+ và p : X × X −→ R+ là một hàm số xác định bởip(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là một không gian metric

riêng Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa1.1.1 nên ta chỉ cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4) Rõ ràng vai tròcủa x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử x 6 z Ta cóđánh giá

p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

⇔ max {x, z} 6 max {x, y} + max {y, z} − max {y, y}

⇔z 6 max {x, y} + max {y, z} − y

⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z) > 0

Bất đẳng thức cuối luôn thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4) Do đó (X, p)

là một không gian metric riêng

Ví dụ 1.1.3 Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a 6 b} và p : X × X −→ R+ là hàm sốcho bởi p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − min {a, c} Dễ thấy p thỏa mãn các Điềukiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1 Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g]

Vì vai trò của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta chỉ xét 3 trườnghợp sau:

Trường hợp 1: a 6 b < e 6 g Ta có đánh giá

p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

⇔ g − a 6 max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c

⇔ (max {d, g} − g) + (a − min {a, c}) + (max {b, d} − d) + (c − min {c, e}) > 0.Bất đẳng thức cuối thỏa mãn

Trường hợp 2: a 6 e < b 6 g

Tương tự như trường hợp 1, ta cũng có p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).Trường hợp 3: a 6 e 6 g 6 b Ta có đánh giá

p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

⇔ b − a 6 max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c

⇔ (max {b, d} − b) + (a − min {a, c}) + (max {d, g} − d) + (c − min {c, e}) > 0.Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p là mộtmetric riêng trên X, hay (X, p) là một không gian metric riêng

Nhận xét 1.1.4.

1 Một không gian metric luôn là một không gian metric riêng Thật vậy,giả sử (X, p) là một không gian metric Khi đó, rõ ràng (X, p) thỏa mãn cácĐiều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1 Theo tiên đề tam giác ta có

p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z)

= p(x, y) + p(y, z) − 0

6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)

Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên nó là một không gian metric riêng

2 Từ Định nghĩa 1.1.1, ta nhận thấy rằng nếu p(x, y) = 0 thì từ Điều kiện(P1), (P2), ta suy ra được x = y Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung khôngcòn đúng; nghĩa là nếu x = y thì p(x, y) chưa chắc đã bằng 0 Thật vậy, chẳnghạn trong Ví dụ 1.1.2 ta thấy p(x, x) = x không nhất thiết phải bằng 0

3 Cho (X, p) là một không gian metric riêng Khi đó hàm ps : X×X −→ R+xác định bởi

ps(x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)với mọi x, y ∈ X là một metric trên X Thật vậy, ta kiểm tra được

• ps(x, y) = 0 ⇔ 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 0 ⇔ x = y

• ps(x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x) = ps(y, x)

Mặt khác, ta có đánh giá

ps(x, y) + ps(y, z) = [2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)] + [2p(y, z) − p(y, y) − p(z, z)]

= 2 [p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)] − p(x, x) − p(z, z)

> 2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z) = ps(x, z)

Vậy ps thỏa mãn 3 tiên đề của metric nên ps là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, p) là một không gian metric riêng, x ∈ X và ε > 0

Ta gọi tập hợp Bp(x, ε) = {y ∈ X | p(x, y) < p(x, x) + ε} là một p-hình cầu mởtâm tại x, bán kính ε

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric riêng

Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, p) là một không gian metric riêng Ta có các địnhnghĩa sau:

1 Một dãy {xn} trong X hội tụ về một điểm x ∈ X nếu và chỉ nếu

limn→∞p(x, xn) = p(x, x);

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0 ta có

|p(x, xn) − p(x, x)| < ε

Ta gọi x là giới hạn của dãy {xn} , kí hiệu là xn → x

2 Một dãy {xn} trong X được gọi là dãy Cauchy nếu giới hạn lim

n,m→∞p(xn, xm)tồn tại và nhận giá trị hữu hạn; nghĩa là lim

n,m→∞p(xn, xm) = a, a hữu hạnkhi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có

|p(xn, xm) − p(x, x)| < ε

Mệnh đề 1.2.2 (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, khi đócác khẳng định sau là đúng:

(i) Nếu {xn} là một dãy hội tụ trong X thì {xn} là một dãy Cauchy

(ii) Nếu {xn} là một dãy trong X hội tụ về x và y thì x = y

(iii) Nếu {xn} và {yn} là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y thì

limn→∞p(xn, yn) = p(x, y)

n,m→∞p(xn, xm) = p(x, x) hay {xn} là một dãy Cauchy trong X.

(ii) Giả sử {xn} là một dãy trong X hội tụ về x và y Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có

p(x, x) = lim

n→∞p(x, xn) = lim

n→∞p(xn, xn),p(y, y) = lim

n→∞p(y, xn) = lim

n→∞p(xn, xn)

Suy ra p(x, x) = p(y, y) Trong đánh giá

p(x, y) 6 p(x, xn) + p(xn, y) − p(xn, xn),

cho n → ∞ ta được p(x, y) 6 p(x, x) Tương tự, trong đánh giá

p(xn, xn) 6 p(xn, x) + p(x, y) + p(y, xn) − p(x, x) − p(y, y),

cho cho n → ∞ ta được p(x, x) 6 p(x, y) Dẫn tới p(x, x) = p(y, y) = p(x, y)hay x = y

(iii) Giả sử {xn} và {yn} là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y Từ Địnhnghĩa 1.2.1 ta có

p(x, x) = lim

n→∞p(x, xn) = lim

n→∞p(xn, xn),p(y, y) = lim

n→∞p(y, yn) = lim

n→∞p(yn, yn)

Với mỗi n ∈ N ta có đánh giá

p(xn, yn) 6 p(xn, x) + p(x, y) + p(y, yn) − p(x, x) − p(y, y),

p(x, y) 6 p(x, xn) + p(xn, yn) + p(yn, y) − p(xn, xn) − p(yn, yn)

Trong hai đánh giá trên, cho n → ∞ và thu gọn ta có

limn→∞p(xn, yn) 6 p(x, y) và p(x, y) 6 lim

Định lí 1.2.4 (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metricriêng đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian metric (X, ps) là không gian đầy đủ.Hơn nữa, lim

đủ nên dãy {xn} hội tụ về x ∈ X, tức là

Ngược lại, giả sử (X, ps) là không gian metric đầy đủ và {xn} là dãy Cauchytrong không gian metric riêng (X, p) Theo Định lí 1.2.3 thì dãy {xn} là dãyCauchy trong không gian metric (X, ps) Vì (X, ps) là không gian đầy đủ nêndãy {xn} hội tụ về x ∈ X hay lim

n→∞ps(xn, x) = 0 Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại

n0 ∈ N, sao cho với mọi n > n0 ta có

n→∞p(xn, xn) = p(x, x)

Do đó {xn} hội tụ về x ∈ X, hay (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ

Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, p) là một không gian metric riêng Một ánh xạ

f : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 saocho f (Bp(x, δ)) ⊆ Bp(f (x), ε)

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên A ⊆ X nếu f liên tục tại mọi x ∈ A.Nếu f liên tục trên X thì ta nói f là ánh xạ liên tục

Định lý 1.2.6 (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, một ánh

xạ f : X −→ X liên tục và {xn} là một dãy trong X Khi đó, nếu dãy {xn} hội

tụ về x ∈ X thì dãy {f (xn)} hội tụ về f (x)

Chứng minh Với mọi ε > 0, ta cần chỉ ra |p(f (xn), f (x)) − p(f (x), f (x))| < ε.Thật vậy, vì f liên tục tại x nên tồn tại δ > 0 sao cho

f (Bp(x, δ)) ⊂ Bp(f (x), ε)

Vì xn → x nên tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |p(xn, x) − p(x, x)| < δ, tức là ta có

xn ∈ Bp(x, δ), với mọi n > n0 Suy ra f (xn) ∈ Bp(f (x), ε), với mọi n > n0 Điềunày dẫn tới

Chú ý 1.2.8

1 Mọi dãy 0-Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) đều là dãy Cauchy.Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, chẳng hạn xét X = {a, b} và hàm pcho bởi

Khi đó, rõ ràng dãy {xn} cho bởi xn = a với mọi n ∈ N là dãy Cauchy hội tụ về

a, nhưng không là dãy 0-Cauchy

2 Mọi không gian metric riêng đầy đủ đều là không gian metric 0-đầy đủ.Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, tức là một không gian metric riêng0-đầy đủ thì chưa chắc đã là không gian đầy đủ Chẳng hạn, không gian metric(Q ∩ [0, ∞) , p), trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ và metric riêng p cho bởip(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y > 0 là một ví dụ về không gian metric riêng0-đầy đủ nhưng không là không gian metric riêng đầy đủ.

Định lí dưới đây là điều kiện cần và đủ để một không gian metric riêng làmột không gian metric

Định lí 1.2.9 (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metricnếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy

Chứng minh Rõ ràng nếu (X, p) là không gian metric thì mọi dãy Cauchy trong

X đều là dãy 0-Cauchy Ngược lại, giả sử mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy0-Cauchy Khi đó, với mỗi a ∈ X, a là hằng số, xét dãy {xn} cho bởi xn = avới mọi n ∈ N Thế thì, rõ ràng {xn} là một dãy Cauchy trong X nên nó là dãy0-Cauchy Theo định nghĩa ta có

limn,m→∞p(xn, xm) = p(a, a) = 0,hay p(x, x) = 0, với mọi x ∈ X Suy ra p(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y vàp(x, y) 6 p(x, z) + p(y, z), với mọi x, y, z ∈ X Hơn nữa, ta có p(x, y) = p(y, x)với mọi x, y ∈ X Vậy (X, p) là một không gian metric

1.3 Metric riêng Hausdorff

Kí hiệu CBp(X) là tập hợp tất cả các tập khác rỗng, đóng và bị chặn củakhông gian metric riêng (X, p) Chú ý rằng tính đóng được tạo nên từ (X, τp)(τp là tôpô được sinh bởi p) và tính bị chặn được xác định như sau: tập con A

bị chặn trong không gian (X, p) nếu tồn tại x0 ∈ X và M > 0 sao cho với mọi

a ∈ A ta có a ∈ Bp(x0, M ), nghĩa là p(x0, a) < p(a, a) + M, với mọi a ∈ A Với

A, B ∈ CBp(X) và x ∈ X, ta kí hiệu

p(x, A) = inf

a∈Ap(x, a),

δp(A, B) = sup

a∈Ap(a, B),

δp(B, A) = sup

b∈Bp(b, A),

Hp(A, B) = max {δp(A, B), δp(B, A)}

Ta kiểm tra được rằng từ điều kiện p(x, A) = 0 suy ra ps(x, A) = 0, trong đó

a ∈ A ⇔ Bp(a, ε) ∩ A 6= ∅ với mọi ε > 0

⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) < ε + p(a, a) với mọi ε > 0

⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) − p(a, a) < ε với mọi ε > 0

⇔ infx∈A{p(a, x) − p(a, a)} = 0

⇔ infx∈Ap(a, x) − p(a, a) = 0

⇔ p(a, A) = p(a, a)

Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất quan trọng của ánh xạ

(ii) δp(A, A) 6 δp(A, B);

(iii) δp(A, B) = 0 suy ra A ⊆ B;

(iv) δp(A, B) 6 δp(A, C) + δp(C, B) − inf

(ii) Lấy a ∈ A, ta có p(a, a) 6 p(a, b) với mọi b ∈ B Do đó

p(a, a) 6 p(a, B) 6 δp(A, B)

Theo (i), suy ra δp(A, A) = sup

a∈Ap(a, a) 6 δp(A, B)

(iii) Giả sử δp(A, B) = 0, dẫn tới p(a, B) = 0 với mọi a ∈ A Từ (i) và (ii) suy

ra p(a, a) 6 δp(A, B) = 0 với mọi a ∈ A Do đó p(a, a) = 0 hay p(a, B) = p(a, a)với mọi a ∈ A Theo Chú ý 1.3.1 ta có a ∈ B = B Vậy A ⊆ B

(iv) Lấy a ∈ A, b ∈ B và c ∈ C, ta có

p(a, b) 6 p(a, c) + p(c, b) − p(c, c),

suy ra

p(a, B) 6 p(a, c) + p(c, B) − p(c, c),p(a, B) + p(c, c) 6 p(a, c) + δp(C, B)

Vì c là phần tử bất kì của C nên

p(a, B) + inf

c∈Cp(c, c) 6 p(a, C) + δp(C, B)

Chú ý rằng, do a là phần tử bất kì của A nên ta nhận được

δp(A, B) 6 δp(A, C) + δp(C, B) − inf

c∈Cp(c, c)

Mệnh đề 1.3.3 (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng Khi đó,với mọi A, B, C ∈ CBp(X), ta có

(H1) Hp(A, A) = Hp(A, B),(H2) Hp(A, B) = Hp(B, A),(H3) Hp(A, B) 6 Hp(A, C) + Hp(C, B) − inf

c∈Cp(c, c),

Chứng minh Theo (ii) của Mệnh đề 1.3.2, ta có

Hp(A, A) = δp(A, A) 6 δp(A, B) 6 Hp(A, B)

Theo định nghĩa, ta có (H2) Từ Tính chất (iv) trong Mệnh đề 1.3.2 ta có

Hp(A, B) = max {δp(A, B), δp(B, A)}

Sử dụng (iii) trong Mệnh đề 1.3.2 ta được A ⊆ B và A ⊆ B Vậy A = B

Nhận xét 1.3.5 Điều ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 nhìn chung không cònđúng Chẳng hạn, xét X = [0, 1] với metric riêng p : X × X −→ R+ xác định bởip(x, y) = max {x, y} Ta sẽ chỉ ra Hp(X, X) 6= 0 Thật vậy, theo (i) của Mệnh

đề 1.3.2 ta có

Hp(X, X) = δp(X, X) = sup

06x61{x} = 1 6= 0

Theo Mệnh đề 1.3.3 và Mệnh đề 1.3.4, ta gọi ánh xạ

Hp : CBp(X) × CBp(X) −→ [0, +∞)

là một metric riêng Hausdorff sinh bởi metric riêng p Rõ ràng, mọi metricHausdorff luôn là metric riêng Hausdorff Tuy nhiên, theo Nhận xét 1.3.2 thìđiều ngược lại không đúng

1.4 Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng

Mệnh đề 1.4.1 (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng Khi đó,hàm d : X × X → R+ xác định bởi

là một metric trên X thỏa mãn τps ⊆ τd Hơn nữa, (X, d) là không gian metricriêng đầy đủ nếu và chỉ nếu (X, p) là không gian 0-đầy đủ

Chứng minh Rõ ràng d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y và d(x, y) = d(y, x) vớimọi x, y ∈ X Lấy x, y, z ∈ X, chú ý rằng ta đã có

Do vậy (X, d) là một không gian metric Giả sử (X, p) là không gian 0-đầy

đủ và {xn} là một dãy Cauchy trong (X, d) Không giảm tính tổng quát, ta

có thể giả sử xn 6= xm với mọi n 6= m Do đó d(xn, xm) = p(xn, xm) với mọi

n, m > 1 Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong (X, p) Vì (X, p) là không gian0-đầy đủ nên lim

n→∞p(xn, x∗) = 0 với x∗ ∈ X Chú ý rằng x∗ 6= xn với mọi n nênlim

n→∞d(xn, x∗) = 0 và do đó (X, d) là không gian metric đầy đủ

Ngược lại, giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và {xn} là một dãy0-Cauchy trong (X, p) Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xn 6= xmvới mọi n 6= m Do đó p(xn, xm) = d(xn, xm) với mọi n, m > 1 Vậy {xn} là mộtdãy Cauchy trong (X, d) Vì (X, d) là không gian đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X saocho lim

n→∞d(xn, x∗) = 0 Suy ra lim

n→∞p(xn, x∗) = 0 hay (X, p) là không gian 0-đầyđủ

Từ bổ đề này, ta có kết quả sau đây:

Bổ đề 1.4.2 (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, T : X −→ X

là một ánh xạ, d là metric được xây dựng trong Mệnh đề 1.4.1 và x, y ∈ X Kíhiệu

Md(x, y) = max

d(x, y), d(x, T x), d(y, T y),1

2[d(x, T y) + d(y, T x)]

,

Mp(x, y) = max

p(x, y), p(x, T x), p(y, T y), 1

2[p(x, T y) + p(y, T x)]



Do vậy Md(x, y) = Mp(x, y) với mọi x, y ∈ X, x 6= y.

Từ Mệnh đề 1.4.1 và Bổ đề 1.4.2 ta thu được kết quả sau đây:

Bổ đề 1.4.3 (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, T : X −→ X

là một ánh xạ Giả sử d : X × X −→ R+ là metric được xây dựng trong Mệnh