Phương pháp hiệu chỉnh tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV

VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV

VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành :Toán ứng dụng

Mã số : 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trương Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu đểhoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo trong khoa Toán

- Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ vàtruyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tạiTrường

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnhđạo trường Trung học phổ thông Gang Thép cũng như toàn thể các đồng nghiệptrong trường Trung học phổ thông Gang Thép đã quan tâm và tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán K8A và cácbạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyênmôn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về hình học các không gian Banach, toán tử đơn

điệu và ánh xạ không giãn 3

1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 13

1.2.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh 13

1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 14

1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 17

1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 19

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 20

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21

2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 29

2.3 Ví dụ số minh họa 33

Một số ký hiệu và viết tắt

H(C1, C2) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C1 và C2lim sup

n→∞

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ khônggiãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêngcủa bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ

hay không gian Banach E" Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trongcác lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, yhọc

phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii,Mann, Ishikawa, Halpern và phương pháp xấp xỉ mềm Chẳng hạn, tương tựnhư phương pháp chiếu xoay vòng để giải bài toán chấp nhận lồi trong khônggian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H đã đề xuất phương pháp lặp xoay vòngdựa trên phương pháp lặp Halpern cho bài toán tìm điểm bất động chung củamột họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach E,thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I là toán tử đồng nhấttrên E Như vậy, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các

tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế

quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giảimột phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán về mộtnghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh được chọn thích hợp

Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm 2006,tác giả Buong Ng [12] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần

kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính hiệuchỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các

Hilbert H

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong bài báo củaTuyen T.M [25] và bài báo của Kim J.K., Tuyen T.M [20] về các phương pháphiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cùngvới tính ổn định của các phương pháp cho bài toán tìm điểm bất động chung củamột họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach Nội dung chínhcủa luận văn được chia làm hai chương Chương 1, giới thiệu sơ lược về một sốvấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặtkhông chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệuchỉnh và cuối cùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kếtquả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận văn Chương 2, trình bày vềcác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tínhhiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạkhông giãn trong không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếutheo dãy [25], đồng thời tính ổn định của các phương pháp [20] cũng được giớithiệu trong chương này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao bồm 5 mục Mục 1.1 trình bày một số vấn đề về khônggian Banach lồi đều, trơn đều, một số lớp toán tử loại đơn điệu, ánh xạ khônggiãn cùng những tính chất cơ bản của chúng Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặtkhông chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục 1.3 và 1.4 trình bày vềcác phương pháp điểm gần kề quán tính và phương pháp điểm gần kề quán tínhhiệu chỉnh Mục 1.5 trình bày một số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụngđến trong việc chứng minh các định lý chính ở chương sau của luận văn

toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn

cho đơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu k.k để chỉ

Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây củakhông gian Banach phản xạ

Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E là một không gian Banach Khi đó,các khẳng định sau là tương đương:

i) E là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu

Tiếp theo, trong mục này chúng tôi đề cập đến một số vấn đề cơ bản về cấutrúc hình học các không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, môđun trơn

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈

E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có

x + y

Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương

ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0,tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε taluôn có

x + y

Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gianBanach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ rađiều đó

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau:

Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số

Nhận xét 1.1 Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,liên tục và tăng trên đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi

Mệnh đề 1.2 (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là khônggian phản xạ

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi

Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn trên

d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều

Định lí 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E là một không gian Banach Khi đó, ta

có các khẳng định sau:

Định nghĩa 1.6 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác địnhbởi

Nhận xét 1.2 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liêntục và tăng trên khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95)

Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không gian

Định lí 1.2 (xem [15] trang 70) Cho E là một không gian Banach Khi đó tacó

b) Nếu E là không gian lồi đều thì E∗ là không gian trơn đều.

1 < p < +∞ đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều (xem [13] trang54)

Định nghĩa 1.8 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Chú ý 1.2 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh

xạ đồng nhất I

Nhận xét 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì X, ta luôn có

J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X;

iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J (D) là một tập

v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của X khi và chỉ khi

X là không gian Banach trơn đều

Ví dụ 1.4 Xét không gian lp, với p > 1 Vì không gian đối ngẫu lq của không

nó được xác định như sau:

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được

Chú ý 1.3 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kíhiệu nó bởi j

(xem [1])

Bổ đề 1.1 [3] Cho E là một không gian Banach trơn đều Khi đó, với mọi

x, y ∈ E, ta có

trong đó c = 48 max(L, kxk, kyk) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7

Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của toán tử đơn điệu và j-đơn điệu

Định nghĩa 1.10 Cho E là một không gian Banach Toán tử A : D(A) ⊂

đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} của nókhông thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác trong E

Ví dụ 1.6 [23] Cho f : E −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tụcdưới Khi đó, toán tử dưới vi phân

là một toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.12 Cho E là một không gian Banach Toán tử A : D(A) ⊂

J (x − y) sao cho

Chú ý 1.4 Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tửj-đơn điệu trùng nhau

m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnhcủa toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E

Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng vớikhái niệm toán tử đơn điệu cực đại

Chú ý 1.5 Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu

Định nghĩa 1.14 Cho E là một không gian Banach Một ánh xạ T : D(T ) −→

E được gọi là không giãn nếu

Chú ý 1.7 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C củakhông gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu Trong trường hợp

C trùng với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu [10] Ngoài ra, bằng cáchtiếp cận khác ta có mệnh đề tổng quát hơn dưới đây

Chứng minh Với mỗi λ > 0 ta cần chỉ ra R(I + λA) = E Thật vậy, với mỗi

lí ánh xạ co Banach, f có duy nhất một điểm bất động, hay phương trình (1.7)

có duy nhất nghiệm Mệnh đề được chứng minh

Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theotia cùng với một số tính chất cơ bản của nó và đây cũng là ánh xạ thường xuyênđược đề cập đến trong luận văn

Định nghĩa 1.15 Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi

a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;

b) co rút và không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ

Chú ý 1.8 Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.5 chính là phép chiếu

Dễ thấy rằng nếu C là một tập con lồi và đóng trong không gian Hilbert H, thì

lên C Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach

Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụng trongchứng minh các kết quả của luận văn

Mệnh đề 1.6 [16] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một tập

khi và chỉ khi

Nhận xét 1.5 Từ Mệnh đề 1.6 suy ra, nếu E là một không gian Banach trơn

và C là tập con co rút và không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút không

sau:

trong đó N là một số nguyên dương cho trước Khi đó, C là một tập con co rút và

H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},

trong đó β(A, B) = sup

1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu

Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J [18] đưa ra khi nghiên cứu vềảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũngnhư parabolic

Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình

trong đó A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y với

(1.10) gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả

ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm Nhất là khi máytính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy

ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến những sai lệchđáng kể.

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán(1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông tin về nghiệm

hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị củamột tham số mới đưa vào

số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì

ta có phần từ xấp xỉ thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từkhông gian Y vào không gian X

Định nghĩa 1.18 Toán tử R(f, α) phụ thuộc tham số α tác động từ Y vào Xđược gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.10) nếu:

Phần tử xα gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.10) và α = α(fδ, δ) gọi

là tham số hiệu chỉnh Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệuchỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp hiệuchỉnh nổi tiếng và được sử dụng nhiều cho việc nghiên cứu và giải các bài toánđặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học

Chú ý 1.9 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạngđơn giản sau:

Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,nếu:

Chú ý 1.10 Toán tử hiệu chỉnh R(f, δ) có thể là một ánh xạ đa trị

Tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho việc giải phương trình

Chú ý 1.11 i) Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu

không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee

A(x) khi t → 0 và A được gọi là h-liên tục trên E nếu nó h-liên tục tại mọi

x ∈ E Dễ thấy rằng nếu A là một toán tử liên tục, thì A là một toán tử h-liêntục, tuy nhiên điều ngược lại không đúng

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder F E [9] đề xuất năm 1966

có tính chất h-liên tục, đơn điệu mạnh, giới nội và thỏa mãn điều kiện bức, tức

là hM (u), ui/kuk → +∞, khi kuk → +∞, làm thành phần hiệu chỉnh (trongkhông gian Banach E, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j có đầy đủ các tính chấttrên)

toán tử phi tuyến đơn điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính

thức biến phân

biến phân (1.12), Browder F E đã xét bất đẳng thức biến phân

Năm 2006, Buong Ng [11] đã đề xuất thuật toán mới dựa trên phương pháphiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán cực trị đa mục tiêu sau trong

N

X

i=0

tham số hiệu chỉnh α và tham số h được chọn sao cho α −→ 0, h/α −→ 0, thì

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trìnhvới toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu

Xét bài toán

Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tửđơn điệu cực đại, thì Rockafellar R T [24] đã xét phương pháp lặp

toán (1.17)

Chú ý 1.12 Phương pháp điểm gần kề được Martinet B đề xuất lần đầu tiêntrong tài liệu [22] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên