Một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1... Möc löc1.1 Khæng gian Banach p-lçi ·u v khæng gian Banach trìn ·u... intM ph¦n trong cõa tªp hñp Mprojf... ii M

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Li ZhenYang

THÁI NGUYÊN - 2019

ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Tr÷íng.

Nh¥n dàp n y, tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi nhúng ng÷íi th¥ntrong gia ¼nh, b¤n b± v  çng nghi»p ¢ ëng vi¶n, kh½ch l», t¤o i·u ki»n gióp

ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu

Möc löc

1.1 Khæng gian Banach p-lçi ·u v  khæng gian Banach trìn ·u 3

1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤ 3

1.1.2 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Banach 4

1.1.3 H m lçi v  mët sè t½nh ch§t 6

1.1.4 Khæng gian Banach p-lçi ·u 9

1.1.5 Khæng gian Banach trìn ·u 11

1.2 nh x¤ èi ng¨u 13

1.3 Kho£ng c¡ch Bregman v  ph²p chi¸u Bregman 16

1.3.1 Kho£ng c¡ch Bregman 16

1.3.2 Ph²p chi¸u Bregman 17

1.4 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch 21

1.5 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i 24 Ch÷ìng 2 Mët ành lþ hëi tö m¤nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v  b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach 26 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 26

2.2 Ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p 27

2.3 V½ dö minh håa 35

intM ph¦n trong cõa tªp hñp M

projf

Mð ¦u

Cho C v  Q l  c¡c tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa c¡c khæng gian Hilbert

H1 v  H2, t÷ìng ùng Cho T : H1 −→ H2 l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n

B i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) câ d¤ng nh÷ sau:

Ta bi¸t r¬ng C = F (PC)tªp iºm b§t ëng cõa ph²p chi¸u m¶tric tø H1 l¶n

C Do â, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (0.1) l  mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n

iºm b§t ëng t¡ch D¤ng têng qu¡t cõa b i to¡n iºm b§t ëng chung t¡ch

÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho Ti : H1 −→ H1, i = 1, 2, , N v  Sj : H2 −→ H2,

j = 1, 2, , M l  c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H1 v  H2, t÷ìng ùng

T¼m ph¦n tû x∗ ∈ S = ∩Ni=1F ix(Ti) ∩ T−1 ∩Mj=1F ix(Sj)
6= ∅ (0.3)Cho ¸n nay B i to¡n (0.3) trong khæng gian Banach ¢ v  ang l  chõ ·thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n trong v  ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu G¦n

¥y, ¢ câ mët sè t¡c gi£ · cªp ¸n vi»c nghi¶n cùu t¼m c¡c ph÷ìng ph¡p l°pmîi t¼m mët nghi»m chung cõa B i to¡n (0.1) hay (0.3) v  c¡c lîp b i to¡nkh¡c (b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n iºm b§t ëng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ).Möc ½ch cõa luªn v«n n y l  tr¼nh b y l¤i c¡c k¸t qu£ cõa Tuyen T.M v  Ha

N.S trong t i li»u [17] ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p t¼m mët nghi»m chung cõa

B i to¡n (0.2) v  b i to¡n iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n to¡n tûBregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i trong khæng gian Banach

Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng ch½nh:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, luªn v«n · cªp ¸n mët sè v§n · v· khæng gian Banachph£n x¤, khæng gian p-lçi ·u, trìn ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u; kho£ng c¡ch Bregman,ph²p chi¸u Bregman; b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v  b i to¡n t¼m iºm b§t ëngcõa to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i

Ch÷ìng 2 Mët ành lþ hëi tö m¤nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v 

b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach

Trong ch÷ìng n y luªn v«n tªp trung tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t c¡c k¸tqu£ cõa Tuyen T.M v  Ha N.S trong t i li»u [17] v· ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²pt¼m mët nghi»m chung cõa b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v  b i to¡n iºm b§t ëngcõa to¡n tû Bregman khæng gi¢n m¤nh tr¡i trong khæng gian Banach p-lçi ·u

v  trìn ·u

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y bao gçm 4 möc Möc 1.1 tr¼nh b y v· mët sè t½nh ch§t cì b£ncõa khæng gian ph£n x¤, khæng gian Banach lçi ·u, trìn ·u Möc 1.2 giîi thi»uv· ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c Möc 1.3 · cªp ¸n c¡c kh¡i ni»m ph²p chi¸um¶tric v  ph²p chi¸u têng qu¡t còng vîi mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa chóng Möc1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têngqu¡t v  to¡n tû gi£i m¶tric Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c

t i li»u [2, 11, 12]

1.1 Khæng gian Banach p-lçi ·u v  khæng gian Banach trìn

·u

1.1.1 Khæng gian Banach ph£n x¤

ng¨u cõa nâ º cho ìn gi£n v  thuªn ti»n hìn, chóng tæi thèng nh§t sû döngk½ hi»u k.k º ch¿ chu©n tr¶n X v  X∗; gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ X∗t¤i iºm x ∈ X ÷ñc kþ hi»u l  hx, x∗i

ành ngh¾a 1.1.1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£n x¤ n¸u vîi måi

x∗∗ ∈ E∗∗, tçn t¤i x ∈ E sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i,vîi måi x∗ ∈ E∗

V½ dö 1.1.2 Måi khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n húu h¤n chi·u, c¡c khænggian lp hay Lp(Ω), vîi 1 < p < ∞, l  c¡c khæng gian ph£n x¤ (xem [2])

Chó þ 1.1.3 C¡c t½nh ch§t d÷îi ¥y v· khæng gian Banach ph£n x¤ câ thº t¼mth§y trong t i li»u tham kh£o [2].

i) N¸u khæng gian Banach X çng phæi tuy¸n t½nh vîi khæng gian ph£n x¤

Y, th¼ X công l  khæng gian ph£n x¤

ii) Måi khæng gian con âng cõa khæng gian ph£n x¤ l  khæng gian ph£n x¤;iii) Khæng gian Banach E l  ph£n x¤ khi v  ch¿ khæng gian li¶n hñp E∗ cõa nâ

l  khæng gian ph£n x¤

1.1.2 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Banach

gåi l  hëi tö y¸u v· mët ph¦n tû x ∈ E v  ÷ñc kþ hi»u l  xn * x, n¸u

lim

n→∞hxn, x∗i = hx, x∗i,vîi måi x∗ ∈ X∗

Nhªn x²t 1.1.5 N¸u d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x, tùc l  kxn− xk → 0, th¼ d¢y

khæng gian Hilbert l2, d¢y {en} x¡c ành bði

en = (0, , 0, 1

vîi måi n ≥ 1, hëi tö y¸u v· khæng (xem [2]), nh÷ng khæng hëi tö m¤nh v· khæng(v¼ kenk = 1 vîi måi n ≥ 1)

hëi tö y¸u v· x ∈ E Khi â, d¢y {xn} bà ch°n

hx∗, Hxni = hxn, x∗i vîi måi x∗ ∈ E∗ Khi â, vîi méi x∗ ∈ E∗, ta câ

M»nh · ÷ñc chùng minh.

M»nh · 1.1.7 Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, A ⊂ E l mët tªp compact t÷ìng èi v  {xn} ⊂ A thäa m¢n xn * x Khi â, xn → x.Chùng minh Gi£ sû xn 9 x, khi â tçn t¤i ε > 0 v  mët d¢y con {xnk} ⊂ {xn}sao cho

ii) Måi d¢y bà ch°n trong E, ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u

M»nh · d÷îi ¥y cho ta mèi li¶n h» giúa tªp âng v  tªp âng y¸u trong khænggian tuy¸n t½nh ành chu©n

M»nh · 1.1.9 N¸u C l  tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian khænggian tuy¸n t½nh ành chu©n X, th¼ C l  tªp âng y¸u

cho xn * x, nh÷ng x /∈ C Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i x∗ ∈ X∗ t¡chng°t x v  C, tùc l  tçn t¤i ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,

vîi måi y ∈ C °c bi»t, ta câ

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,vîi måi n ≥ 1 Ngo i ra, v¼ xn * x, n¶n hxn, x∗i → hx, x∗i Do â, trong b§t

ành ngh¾a 1.1.11 Cho D ⊂ E l  mët tªp lçi, f : D → R ∪ {±∞}

i) H m f ÷ñc gåi l  ch½nh th÷íng n¸u dom f 6= ∅ v  f(x) > −∞(∀x ∈ D),trong â

d¢y {xn} ⊂ D thäa m¢n xn * x, ta ·u câ

f (x) ≤ lim inf

ii) H m f l  lçi tr¶n D khi v  ch¿ khi

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),vîi måi x, y ∈ D v  måi t ∈ [0, 1]

iii) H m f ÷ñc gåi l  lçi ch°t tr¶n D n¸u tr¶n ç thà epi f cõa nâ l  tªp lçich°t tr¶n E × R, hay t÷ìng ÷ìng vîi

f [tx + (1 − t)y] < tf (x) + (1 − t)f (y),vîi måi x, y ∈ D, x 6= y v  måi t ∈ (0, 1)

V½ dö 1.1.14 Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n Khi â, h m

f (x) = kxk l  h m lçi tr¶n X

Thªt vªy, vîi måi x, y ∈ X v  måi t ∈ [0, 1], ta câ

ktx + (1 − t)yk ≤ ktxk + k(1 − t)yk = tkxk + (1 − t)kyk,

hay t÷ìng ÷ìng vîi

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)

Do â f l  h m lçi tr¶n X

M»nh · 1.1.15 Cho D ⊂ E l  mët tªp lçi, f : D → R ∪ {±∞} l  mët h mlçi tr¶n D Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành d÷îi ¥y:

i) Måi iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f tr¶n D ·u l  iºm cüc tiºu to n cöccõa f tr¶n D

ii) N¸u f l  h m lçi ch°t tr¶n D, th¼ iºm cüc tiºu cõa f n¸u câ l  duy nh§t.Chùng minh i) Gi£ sû x0 ∈ D l  mët iºm cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f, nh÷ng x0

khæng l  iºm cüc tiºu to n cöc Khi â, tçn t¤i x1 ∈ D sao cho f(x1) < f (x0)

cõa x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x),vîi måi x ∈ D ∩ U Vîi t ∈ (0, 1) õ nhä, ta câ xt = x0+ t(x1− x0) ∈ D ∩ U, do

M»nh · 1.1.16 Cho C l  tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gianBanach ph£n x¤ E v  f : C −→ (−∞, ∞] l  mët h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa

x0 ∈ dom(f ) sao cho

f (x0) = inf{f (x) : x ∈ C}

Chùng minh °t m = inf{f(x) : x ∈ C} Khi â, tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ C sao

{xnk} cõa {xn} sao cho kxnkk → ∞ Theo gi£ thi¸t, f(xnk) → ∞, m¥u thu¨nvîi m 6= ∞ Do â, {xn}bà ch°n Theo M»nh · 1.1.8 v  M»nh · 1.1.9, tçn t¤id¢y con {xnj} cõa {xn} sao cho xnj * x0 ∈ C V¼ f l  nûa li¶n töc d÷îi trongtæpæ y¸u, n¶n ta câ

1.1.4 Khæng gian Banach p-lçi ·u

Ti¸p theo, trong möc n y chóng tæi · cªp ¸n mët sè v§n · cì b£n v· c§utróc h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, nh÷: t½nh lçi, t½nh trìn, mæ un lçi, mæ

Chó þ 1.1.18 ành ngh¾a 1.1.17 cán câ thº ph¡t biºu d÷îi c¡c d¤ng t÷ìng

ktx + (1 − t)yk < 1 vîi måi t ∈ (0, 1), trong â

ành ngh¾a 1.1.19 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi ε > 0,tçn t¤i δ(ε) > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ E m  kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε taluæn câ

V½ dö 1.1.20 (xem [2] trang 54) X²t E = c0 (khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö v·khæng) vîi chu©n k.kβ x¡c ành bði

º o t½nh lçi cõa khæng gian Banach E, ng÷íi ta ÷a v o kh¡i ni»m sau: Mæ

un lçi cõa khæng gian Banach E l  h m sè

Nhªn x²t 1.1.21 Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ành,li¶n töc v  t«ng tr¶n o¤n [0; 2] Khæng gian Banach E lçi ch°t khi v  ch¿ khi

δE(2) = 1 (xem [2] trang 59) Ngo i ra, khæng gian Banach E l  lçi ·u khi v ch¿ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [2] trang 60)

V½ dö 1.1.22 Cho H l  khæng gian Hilbert, khi â mæ un lçi cõa H ÷ñc x¡c

Khi â, ta câ

f xni + xnj

2



≤ kf k xni + xnj

2

< kf k(1 − δ) = 1 − δ,

limn→∞kxnk = 1 Do â, tø hxn, f i → 1, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc hx, fi = 1.Theo ành lþ James2, suy ra E l  khæng gian ph£n x¤

ành ngh¾a 1.1.24 Cho sè thüc p > 1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  p-lçi

·u n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè c > 0 sao cho

1.1.5 Khæng gian Banach trìn ·u

ành ngh¾a 1.1.26 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn n¸u vîi méi

x ∈ SE, tçn t¤i duy nh§t fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk v  kfxk = 1

ành ngh¾a 1.1.27 Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n Chu©ntr¶n E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux t¤i iºm x ∈ SE n¸u vîi méi y ∈ SE, tçn t¤igiîi h¤n

d

dt(kx + tyk)t=0 = limt→0

kx + tyk − kxk

ành ngh¾a 1.1.28 Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n Khi â:

2 Khæng gian Banach E l  ph£n x¤ khi v  ch¿ khi vîi méi j ∈ S ∗ , tçn t¤i x ∈ S sao cho hx, ji = 1.

a) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux n¸u nâ kh£ vi G¥teaux t¤i måi

Ta câ ành lþ d÷îi ¥y mæ t£ mèi li¶n h» giúa t½nh trìn v  tr¼nh lçi ch°t cõa

ành lþ 1.1.29 (xem [2] trang 92) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â,

ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E∗ l  khæng gian lçi ch°t th¼ E l  khæng gian trìn

b) N¸u E∗ l  khæng gian trìn th¼ E l  khæng gian lçi ch°t

ành ngh¾a 1.1.30 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ànhbði

ρE(τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk
− 1 : kxk = 1, kyk = τ }

Nhªn x²t 1.1.31 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ành,li¶n töc v  t«ng tr¶n kho£ng [0; +∞) (xem [2] trang 95)

V½ dö 1.1.32 [12] N¸u E l  khæng gian lp ho°c Lp(Ω), th¼ ta câ

a) ρE ∗(τ ) = sup{τ ε

2 − δE(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.b) ρE(τ ) = sup{τ ε

2 − δE∗(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.Nhªn x²t 1.1.34 Tø ành lþ 1.1.33, suy ra

Tø Nhªn x²t 1.1.34, ta câ ành lþ d÷îi ¥y:

ành lþ 1.1.36 (xem [11] trang 70) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â

ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E l  khæng gian trìn ·u th¼ E∗ l  khæng gian lçi ·u;

b) N¸u E l  khæng gian lçi ·u th¼ E∗ l  khæng gian trìn ·u

54)

ành ngh¾a 1.1.38 Cho sè thüc q > 1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l 

q-trìn ·u n¸u tçn t¤i h¬ng sè c > 0 sao cho

Chó þ 1.2.2 a) Vîi måi x ∈ E ta ·u câ Jp(x) 6= ∅ Thªt vªy, n¸u x = 0, th¼

0 ∈ Jp(x) Gi£ sû x 6= 0, khi â theo h» qu£ cõa ành lþ Han-Banach, tçnt¤i f ∈ E∗ sao cho kfk = 1 v  hx, fi = kxk Suy ra x∗ = kxkp−1f ∈ Jp(x).b) N¸u E l  khæng gian Banach p-lçi ·u v  trìn ·u, th¼ khæng gian èi ng¨u(li¶n hñp) E∗ l  q-trìn ·u v  lçi ·u, vîi 1/p + 1/q = 1 Trong tr÷íng hñp

n y ¡nh x¤ èi ng¨u Jp l  mët-mët, ìn trà v  thäa m¢n Jp = (Jq∗)−1, trong

â J∗

q l  ¡nh x¤ èi ng¨u cõa E∗ (xem [1], [9])

D÷îi ¥y, luªn v«n · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa ¡nh x¤ èi ng¨u

tr¶n E vîi 1 < p < ∞ Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

i) Jp(x) l  tªp lçi vîi måi x ∈ E;

ii) Jp(x) l  tªp âng y¸u trong E∗

Chùng minh i) L§y b§t ký f, g ∈ Jp(x), khi â vîi måi t ∈ [0, 1], ta câ

ktf + (1 − t)gk = kxkp−1

Vªy tf + (1 − t)g ∈ Jp(x) vîi måi t ∈ [0, 1] v  do â Jp(x) l  tªp lçi.

ii) Ta ch¿ ra tªp Jp(x)l  âng y¸u trong E∗ Thªt vªy, gi£ sû {fn} ⊂ Jp(x)thäam¢n fn * f trong E∗ Ta ch¿ ra f ∈ Jp(x)

V¼ {fn} ⊂ Jp(x), n¶n hx, fni = kxkp v  kfnk = kxkp−1 vîi måi n ≥ 1 Trong

Tø (1.6) v  (1.8), suy ra f ∈ Jp(x) v  do â ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh

tr¶n E vîi 1 < p < ∞ Khi â, ta câ

hx − y, f − gi ≥ 0,vîi måi x, y ∈ E v  måi f ∈ Jp(x), g ∈ Jp(y)

Chùng minh Tø ành ngh¾a cõa ¡nh x¤ èi ng¨u v  f ∈ Jp(x), g ∈ Jp(y), tanhªn ÷ñc

hx, f i = kxkp, kf k = kxkp−1, hy, gi = kykp, kgk = kykp−1

3 Trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X, n¸u {x n } ⊂ X thäa m¢n x n * x , th¼ kxk ≤ lim infn→∞kxnk

Thªt vªy, theo H» qu£ cõa ành lþ Han-Banach, tçn t¤i x ∗ ∈ X∗sao cho kx ∗ k = 1 v  hx, x ∗ i = kxk V¼ x n * x , n¶n hx n , x∗i → hx, x∗i = kxk Suy ra

kxk = lim

n→∞ hxn, x∗i ≤ lim inf

n→∞ kx∗kkxnk = lim inf

Ta câ m»nh · d÷îi ¥y:

M»nh · 1.2.5 [18] Cho x, y ∈ E N¸u E l  khæng gian Banach q-trìn ·u,th¼ tçn t¤i h¬ng sè Cq > 0 sao cho

Nhªn x²t 1.2.6 Måi khæng gian Hilbert H l  2-trìn ·u v  ta câ Cq = 2

1.3 Kho£ng c¡ch Bregman v  ph²p chi¸u Bregman

1.3.1 Kho£ng c¡ch Bregman

domf × int domf −→ [0, +∞) ÷ñc x¡c ành bði

∆f(y, x) = f (y) − f (x) − hy − x, 5f (x)i,gåi l  kho£ng c¡ch Bregamn t÷ìng ùng vîi f (xem [7])

N¸u E l  mët khæng gian Banach trìn v  lçi ch°t v  f(x) = 1

D¹ th§y r¬ng vîi måi x, y, z ∈ E, ta câ

1.3.2 Ph²p chi¸u Bregman

Tr÷îc h¸t, ta nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t v· ph²p chi¸u m¶tric

Ta câ m»nh · d÷îi ¥y:

M»nh · 1.3.1 Gi£ sû C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian

Chùng minh °t d = inf{kyk : y ∈ C} Khi â, tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ C sao cho

kxnk → d, khi n → ∞ Tø t½nh bà ch°n cõa {xn} v  M»nh · 1.1.8, tçn t¤i d¢ycon {xnk} ⊂ {xn} sao cho xnk * x Tø t½nh âng y¸u cõa C (M»nh · 1.1.9),suy ra x ∈ C Do â, tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi y¸u cõa chu©n, ta câ

kxk ≤ lim

n→∞kxnk = d

Suy ra kxk = d = inf{kyk : y ∈ C} hay x ∈ C0

Ta chùng minh t½nh duy nh§t Gi£ sû tçn t¤i y 6= x v  y ∈ C0 Tø t½nh lçich°t cõa C, ta câ ktx + (1 − t)yk < d vîi måi t ∈ (0, 1), i·u n y m¥u thu¨n vîi

Tø H» qu£ 1.3.2, n¸u C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian

kx − PCxk = inf

y∈Ckx − yk,vîi måi x ∈ E nh x¤ PC n y ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø E l¶n C

M»nh · 1.3.3 Cho E l  mët khæng gian Banach ph£n x¤, lçi ch°t v  trìn.Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa E, x ∈ E v  z ∈ C Khi â,c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:

a) z = PCx;

b) hy − z, j(x − z)i ≤ 0 vîi måi y ∈ C

Cho E l  mët khæng gian Banach ph£n x¤, lçi ch°t v  trìn T÷ìng tü nh÷c¡ch x¥y düng kh¡i ni»m ph²p chi¸u m¶tric, kh¡i ni»m ph²p chi¸u Bregman l 

ΠC(x) := arg min

y∈C ∆p(y, x), x ∈ E,tùc l  ΠC(x) l  iºm cüc tiºu duy nh§t cõa h m kho£ng c¡ch Bregman ∆p(x, y)tr¶n C (xem [5])

Thªy vªy, ta ch¿ ra sü tçn t¤i v  duy nh§t cõa ΠC(x) Vîi méi x ∈ E, d¹th§y Df(y, x) l  h m lçi ch°t, ch½nh th÷íng v  nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C V¼ tªp{Df(y, x) : y ∈ C} bà ch°n d÷îi bði 0, n¶n tçn t¤i d = infy∈CDf(y, x) Theot½nh ch§t cõa cªn d÷îi óng, tçn t¤i d¢y {yn} ⊂ C sao cho

Ph²p chi¸u Bregman ÷ñc °c tr÷ng bði t½nh ch§t d÷îi ¥y:

nh nghắa 1.1.24 Cho sè thüc p > Khæng gian Banach E ữủc gồi l p-lỗi

Ãu náu tỗn tÔi mởt hơng sè c > cho

1.1.5 Khæng gian Banach trỡn Ãu... l  mët khæng gian Banach Khi â,

ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E l khổng gian lỗi cht thẳ E l khổng gian trỡn

b) Náu E l khổng gian trỡn thẳ... Cho E l mët khæng gian Banach Khi â

ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E l  khỉng gian trìn ·u thẳ E l khổng gian lỗi Ãu;

b) Náu E l khổng gian lỗi Ãu thẳ