Sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người thực hiện : Nguyễn Cô

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện : Nguyễn Công Phương

Chức vụ : Giáo viên

SKKN thuộc môn :Toán

THANH HÓA NĂM 2018

16 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy : Đa số học sinh rất ngại học môn hình học, đặc biệt là những bài toán cực trị trong hình học không gian Bởi vì, đây là môn học khó đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được Việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian, đôi khi ta có thể biến một bài toán khó thành một bài toán đơn giản, lời giải ngắn gọn hơn, không đòi hỏi nhiều đến khả năng tư duy, kỹ năng

vẽ hình và chứng minh hình học Khi dạy phần hình học không gian lớp 11 cho họcsinh tôi thấy học sinh rất bế tắc về phương pháp cho loại toán này bởi vì trong sách giáo khoa hay sách bài tập không có nhiều bài tập loại này nhưng lại có trong đề thitốt nghiệp THPTQG và xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khiến cho học sinh rất bối rối về phương pháp, rất nhiều học sinh không làm hết bài hoặc phải bỏ qua các bài toán hình học trong bài thi Trong khi đó các em lại có thể làm tốt các biến đổi đại số và chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng phương pháp véc

tơ đã chuyển bài toán hình học với các tư duy trìu tượng về hướng tư duy biến đổi đại số, giải tích đã mang lại hứng thú và tính sáng tạo cho các em học sinh

Bởi vậy việc giúp các em có cách tiếp cận mới cho dạng toán cực trị hình học, thêm hứng thú trong học tập và phát triển tư duy đã thôi thúc tôi viết đề tài sáng

kiến kinh nghiệm “sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Giúp học sinh hệ thống hóa và có kiến thức vững về lý thuyết về vec tơ

- Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán toán cực trị hình học không gian lớp

11 bằng phương pháp véc tơ

- Thông qua việc học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể

Từ đó bồi dưỡng cho học hoc sinh kỹ năng giải toán và khả năng tư duy sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Véc-tơ và các tính chất của véc-tơ trong hình học phẳng và trong không gian liên quan đến bài toán cực trị

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài

tập ,sách tài liệu và các đề thi học sinh giỏi các tỉnh

- Phương pháp điều tra thực tiễn : Quan sát quá trình học tập lấy phiếu điều

tra đối tượng học sinh trước và sau khi dạy chuyên đề

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận:

Véc tơ được xem là một trong những kiến thức cơ bản trong hình học và được ứngdụng rộng rãi cả trong hình học phẳng và hình học không gian Lý thuyết véc tơ bắt nguồn từ vật lý và được sáng lập bởi nhà lý hóa học người Mỹ Josiah Willard

Gibbs (1839-1903 )

Cũng theo Josiah Willard Gibbs Để giải một bài toán bằng phương pháp véc tơ

ta thực hiện theo các bước sau :

 Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ véc tơ thích hợp, chuyển bài toán hình họckhông gian về bài toán biến đổi véc tơ dựa vào tính chất của véc tơ

 Bước 2 : Giải bài toán hình học véc tơ nói trên

 Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học không gian sang các tínhchất hình học véc tơ tương ứng

Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vàogiải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừutượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông quamột số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toánhình học không gian bằng phương pháp véc tơ

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

2.2.1 Thuận lợi:

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chưng trình lớp

11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữađường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đốitượng trong hình học không gian

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làmcho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàngtiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xâydựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, mộtcông cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

2.2.2 Khó khan:

Không ít học sinh chưa nắm vững kiến thức về véc tơ vì các khái niệm nàymột phần được học từ lớp 10, sách giáo khoa lại trình bày phần lý thuyết về tínhđồng phẳng của véc tơ chưa sau, bài tập vận dụng ít, các đề thi những năm trướcđây cũng ít đề cập đến phần này nên nhiều học sinh và cả giáo viên cũng ít chú

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 11 Do chưa tìm ra đượcphương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thútrong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạymới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò.

2.3.Các giải pháp thực hiện đề tài:

Trước hết cần hệ thống hóa lại lý thuyết về véc tơ , nêu tóm tắt các tính chất

và kết quả quan trọng đã được trình bày ở sách giáo khoa lớp 10 và 11.

Qui tắc hình hộp.

Cho hình hộp S với AB, AD , AA là ba cạnh có

chung đỉnh A và AC là đường chéo, ta có:

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

- Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.

Cho ba vectơ a, b, c (¹ 0) trong không gian Từ một điểm O bất kì ta dựng

OA a 

, OB b 

, OC c  Khi đó xảy ra hai trường hợp:

Các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì

ta nói ba vectơ a,b,c không đồng phẳng

Các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói

ba vectơ a,b,c đồng phẳng

- Định nghĩa 3

Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng

song song với một mặt phẳng.

Trên hình bên, giá của các vectơ a,b,c cùng song song

với mặt phẳng (a) nên ba vectơ a,b,c đồng phẳng

- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Định lí 1.

C D

C' D'

O C

A B

Cho ba vectơ a,b,c trong đó a và b không cùng phương Điều kiện cần và

đủ để ba vectơ a,b,c đồng phẳng là có duy nhất các số m, n sao cho

x y z   Thật vậy:

Việc học và nắm vững lý thuyết, các bước giải toán để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sin Do vậy cần thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.

1.3.2 Một số ví dụ minh họa

Bài 1. [2].Cho tứ diện S ABC có SA SB SC  1, mặt phẳng  P đi qua trọng

tâm M của tứ diện, cắt cạnh SA SB SC lần lượt tại , ,, , D E F (khác S)

Bài 2. [3] Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc P

là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của

PA PB PC T

OA OB OC

O C

B

A

P H

+ Theo giả thiết PA PB PC  , ,

cùng nằm trong mặt phẳng ABC nên

Do OM OH Vậy MinT=2 khi M trùng H

Bài 3. [4] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M N chạy tương ứng trên,

các đoạn AB và CD sao cho BM DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa MN

Lời giải +) Đặt BM x

BA  , với 0 x 1

DN

x DC

Bài 4. [5] Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD BC , AD AC BD, 

và một điểm X thay đổi trong không gian Tìm vị trí của điểm X sao cho

D

C

G B

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên

AN BN suy ra MN AB, tương tự ta chứng minh được MN CD và

đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD Từ đó suy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ

khi X trùng với điểm G Vậy XA XB XC XD   nhỏ nhất khi và chỉ khi

X là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Bài 5. [6] Cho hình chóp S ABC có SA2 ,a SB3 ,a SC 4a,

ASB SAC  , BSC 1200 Hai điểm M N thỏa mãn,

3SM               2SB SC,  2SN

Cho hai điểm E và F thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và

SC Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạnEF

Bài 6. [7] Cho hình chóp S ABC có SA1, SB2, SC 3 Gọi G là trọng

tâm tam giác ABC Mặt phẳng  a đi qua trung điểm I của SG cắt các

cạnh SA SB SC lần lượt tại , , , , M N P Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu

Bài 7. [8] Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng  P Tìm trên mặt phẳng  P

điểm M sao cho MA MB MC MD    

Bài 8. [9] Cho tam giác ABC, M là điểm trong của tam giác ABC Các đường

thẳng đi qua M song song với AD , BD , CD tương ứng cắt các mặt

BCD ,  ACD ,  ABD lần lượt tại  A, B, C Tìm điểm M sao cho

Tương tự ta có

'

2 1

MA MB MC

AA BB CC

Hay M là trọng tâm tam giác ABC

Bài 9. [10] Cho tứ diện ABCD Tìm điểm M trong không gian sao cho

C B

Vậy T OA 2 OB2 OC2OD2 đạt giá trị nhỏ nhất khi M O.

Bài 10. [11] Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D 1 1 1 1 có chiều cao bằng nửa

cạnh đáy Với M là một điểm trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc

1 1

A MC .

Lời giải

Chọn cơ sở AB a AD b AA               ,                , 1 c

Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuông cạnh 2h

nên có số a sao cho: AM aABaa

    nên M là trung điểm của AB

Bài 11. [12] Cho hình lập phương ABC cạnh bằng O Các điểm a lần lượt là

trung điểm của các cạnh S ABC Điểm

 0  0  0

OA OB OC a SA OA SB OB SC OC ASB       BSC  CSAthuộc đoạn a. điểm ABC thuộc đoạn b sao cho đường thẳng SO tạo với

K

H

D' A'

C'

C B

B' M

Tức là  

2 0

Bài 12. [13] Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ cạnh bằng a Lấy điểm M

thuộc đoạn AD , điểm ’ N thuộc đoạn BD sao cho

2 , 0

Bài 1. [14] (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho tứ diện SABC

có SA SB SC  1 Một mặt phẳng ( )a thay đổi luôn đi qua trọng tâm

G của tứ diện và cắt các cạnh SA SB SC, , lần lượt tại các điểm A B C', ', '.Chứng minh rằng biểu thức 1 1 1

Bài 2.[15] Cho hình lập phương ABC cạnh bằng . O Các điểm a lần lượt là trung

điểm của các cạnh S ABC Điểm

OA OB OC a SA OA SB OB SC OC ASB       BSC  CSAthuộc đoạn a. điểm ABC thuộc đoạn b sao cho đường thẳng SO tạo với

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 2. [18] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

bằng R Các đường thẳng AG BG CG DG lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp, , ,

hình chóp tại ', ', ', 'A B C D Chứng minh rằng

GA GB GC GD GA GB GC GD

2.4Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Các nội dung về bài toán cực trị luôn là các phần khó đối với học sinh và cả

giáo viên THPT Tuy nhiên, đưa nội dung đề tài vào giảng dạy tội đã thấy được

hiệu quả tích cực của việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Nhiều học sinh đã chủ

động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải toán không cần sự gợi ý của

giáo viên Từ đó đã mang lại các kết quả bất ngờ từ việc giải toán thông qua các

phương pháp sáng tạo cho học sinh Nhiều học sinh có học lực khá môn toán đã

giải được một số bài toán khó trong đề thị Đặt biết các em trong đội tuyển học

sinh giỏi của nhà trường đã đạt thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

năm học 2017-2018

Kết quả bài khảo sát môn hình học của 36 học sinh lớp 11 sau khi thực

hiện đề tài:

lớp

Tổngsốhọcsinh

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận:

Bài viết là một vài kinh nghiệm nhỏ về chuyên đề “sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian” chuyên đề này tuy không

mới nhưng chưa được nhiều thầy cô đồng nghiệp chú trọng nghiên cứu hay cónhững bài viết chuyên sâu về dạng toán này Với thời gian nghiên cứu và sưu tầmtài liệu trong một năm, tài liệu đã tổng hợp được lý thuyết cơ sở cho dạng toán, đưađược những ví dụ minh họa làm rõ hơn phương pháp bao gồm cả những dạng toánliên quan đến hình chóp và hình lăng trụ Cuối chuyên đề là phần bài tập vận dụngtương tự cho học sinh tự học nhằm khắc sâu kiến thức Hiệu quả của việc chuyểnmột bài hình học về hướng tư duy biến đổi đại số, giải tích đã mang lại hiệu quảtích tích cực trong công tác dạy và học

Tuy nhiên với thời lượng không cho phép, nội dung sáng kiến vẫn còn nhữnghạn chế mà tác giả đang trăn trở để tiếp tục hoàn thiện trong thời gian tới như:

- Nội dung đề tài chỉ áp dụng phù hợp cho học sinh có học lực khá giỏi , bồidưỡng đội tuyển học sinh giỏi, chưa có nội dung áp dụng cho học sinh có học lựctrung bình và yếu

- Đề tài về véc tơ còn nhiều nội dung khác như sử dụng phương pháp véc tơ

để chứng minh quan hệ song song, vuông góc , tính khoảng cách, tính góc … vẫnchưa được đề cập đến

3.2 Kiến nghị:

Đối với giáo viên: Cần tích cực nâng cao trình độ, năng lực giảng dạy, không

ngừng học tập, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ đặc biệt là phương pháp dạyhọc phù hợp với đối tượng học sinh Ngoài những kiến thức trong sách giáokhoa, sách bài tập, mỗi giáo viên luôn tìm tòi tích lũy kinh nghiệm để có thêmnhiều phương pháp mới giúp học sinh thêm hứng thú và tìm thấy niềm vui tronghọc tập

Đối với tổ chuyên môn và nhà trường: Cần tổ chức hiệu quả các buổi sinh hoạt

chuyên môn về phương pháp giảng dạy những kiểu bài khó, để các giáo viên có thể

trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm và thống nhất cách dạy đối với những dạng bài cụ thể.Việc dự giờ, góp ý cho đồng nghiệp về từng kiểu bài,dạng toán cũng cần được thựchiện một cách thường xuyên để nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường nói

chung và môn Toán học nói riêng Bên cạnh đó cần tham khảo các sáng kiến kinh

nghiệm đã được đánh giá từ Hội đồng khoa học cấp tỉnh để triển khai tới các tổviên, tạo cơ hội cho tổ viên học hỏi, rút kinh nghiệm cho chuyên môn của mình.Tạo phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm như là một công việc thương niên củamỗi người để có thêm nhiều tài liệu tốt dạy bồi dưỡng cho học sinh

Đối với Sở giáo dục và đào tạo: Thường xuyên tổ chức các lớp tập huấn, các

chuyên đề về lĩnh vực chuyên môn đối với các nội dung giảng dạy còn khiến nhiềugiáo viên băn khoăn, lúng túng trong cách thực hiện, đặc biệt phát động trong tràoviết các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, phù đạo học sinh yếu kém Những sángkiến kinh nghiệm được đánh giá cao, sát với thực tiễn, dễ vận dụng cần được phổbiến rộng rãi để giáo viên trong tỉnh có cơ hội học tập kinh nghiệm lẫn nhau

Sáng kiến kinh nghiệm đề tài“sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian” Là một chuyên đề nhỏ trong việc áp ứng dụng

véc tơ vào giải bài toán hình học Trong quá trình thực hiện, không tránh khỏithiếu sót Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến, trao đổi, bổ sung của bạn bèđồng nghiệp và Ban giám khảo trong Hội đồng khoa học của ngành để sáng kiến

kinh nghiệm này của tôi được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thạch thành, ngày 25 tháng 5 năm 2018 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân không sao chép nội dung của người khác.

Người viết