Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân j đơn điệu trong không gian banach

BẢNG KÝ HIỆUX không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X DA miền xác định của toán tử A RA miền giá trị của toán tử A FixT tập điểm bất động của toán tử T H không gian Hilbert

VƯƠNG MINH HẢI

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TO¸N øng dông

Mã số: 60 46 01 12

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

Mục lục

Bảng ký hiệu 3

Mở đầu 4

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 6 1.1 Không gian Banach Ánh xạ J -đơn điệu 6

1.1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert 6

1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu 10

1.1.3 Giới hạn Banach 16

1.2 Bất đẳng thức biến phân 17

1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 17 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 19 2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J -đơn điệu 24 2.1 Phương pháp lặp Mann Phương pháp lai đường dốc nhất 24 2.1.1 Phương pháp lặp Mann 24

2.1.2 Phương pháp lai đường dốc nhất 25

2.2 Phương pháp đường dốc nhất - kiểu Mann 25

2.2.1 Mô tả phương pháp 25

2.2.2 Sự hội tụ 26

BẢNG KÝ HIỆU

X không gian Banach thực

X∗ không gian liên hợp của X

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

Fix(T ) tập điểm bất động của toán tử T

H không gian Hilbert

C tập con lồi đóng của H

I ánh xạ đơn vị

PC phép chiếu mêtric H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

MỞ ĐẦU

Cho X là một không gian Banach thực và J : X → 2X∗ là ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc của X, ở đây X∗ là ký hiệu không gian liên hợpcủa X Cho {xn} là một dãy các phần tử trong X Ký hiệu xn → x(tương ứng xn * x) chỉ sự hội tụ mạnh (tương ứng hội tụ yếu) của dãy{xn} tới x ∈ X Cho F : X → X là một ánh xạ phi tuyến Ký hiệu

C = Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : X → X,nghĩa là Fix(T ) = {x ∈ X : T x = x} Trong đề tài này chúng tôi xétbài toán bất đẳng thức biến phân VI∗(F, C) trên tập điểm bất độngcủa ánh xạ không giãn trong không gian Banach với ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J đơn trị như sau:

Tìm u∗ ∈ C sao cho : hF (u∗), J (u∗ − v)i ≤ 0, ∀v ∈ C (0.1)

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trongnghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,điều khiển tối ưu, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính,

Mục đích của luận văn nhằm trình bày phương pháp lặp giải bấtđẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn(0.1) với toán tử J -đơn điệu trong bài báo của L.-C Ceng và các cộng

sự [6] công bố năm 2008

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach" nhằmtrình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach, ánh

xạ không giãn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; Bài toán bất đẳng thức

biến phân và phương pháp chiếu gradient giải bất đẳng thức biếnphân Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tàiliệu [1]-[9].

Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biếnphân J -đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp lặp Mann, phươngpháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giảibất đẳng thức biến phân J -đơn điệu Nội dung của chương này đượcviết trên cơ sở bài báo [6]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩNguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc nhất tới cô

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy

Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiềukiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tácgiả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu

Tác giảVương Minh Hải

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Banach

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản củakhông gian Banach, không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co, nguyên lý ánh xạ co Banach Đồngthời giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gianHilbert và không gian Banach Các kiến thức của chương này đượctham khảo trong các tài liệu [1]-[9]

1.1 Không gian Banach Ánh xạ J -đơn điệu

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp X Ánh xạ d : X × X → R được gọi

là một mêtric nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X

Tập X cùng với mêtric d xác định như trên được gọi là không gianmêtric và được kí hiệu (X,d ).

Định nghĩa 1.2 Không gian mêtric (X,d ) được gọi là không gianđầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.3 Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực,ánh xạ ||.|| : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) ||x|| ≥ 0 ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;

(ii) ||kx|| = |k|.||x|| ∀x ∈ X, ∀k ∈ R;

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn ||.|| xác định như trênđược gọi là không gian định chuẩn và được ký hiệu (X, ||.||)

Nhận xét 1.1 Cho không gian định chuẩn (X, ||.||) Với mọi x, y ∈ X,đặt d(x, y) = ||x − y|| thì d là một mêtric trên X

Do đó, mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric vớimêtric sinh bởi chuẩn xác định như trên

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là khônggian Banach

Ví dụ 1.1 Không gian Rn với chuẩn xác định bởi:

và không gian C[a,b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với chuẩn xácđịnh bởi:

||f || = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} , f ∈ C[a,b]

là các không gian Banach

Định nghĩa 1.5 Cho không gian tuyến tính H trên trường số thực

R, ánh xạ h., i : H × H → R được gọi là một tích vô hướng trên Hnếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

x(t)y(t)dt, x, y ∈ L2[a,b]

là các không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.7 Toán tử A : X → X∗ được gọi là

(i) đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);

(ii) η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại η > 0 sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkx − yk2, ∀x, y ∈ D(A);

(iii) L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ D(A)

Nếu 0 ≤ L < 1 thì toán tử A được gọi là toán tử co Nếu L = 1 thìtoán tử A được gọi là toán tử không giãn

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X được gọi là

(i) không gian trơn (hay có chuẩn khả vi Gâteaux ) nếu tồn tại giớihạn

lim

t→0

||x + ty|| − ||x||

t với mỗi x, y ∈ SX;(ii) không gian trơn đều (hay có chuẩn khả vi Gâteaux đều) nếu giớihạn trên đạt được đều với x ∈ SX

Ở đây, ký hiệu SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} là mặt cầu đơn vị của X.Định nghĩa 1.9 Không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điềukiện Opial nếu với dãy {xn} bất kỳ trong X, xn * x (n → ∞) ta có

1.1.2 Ánh xạ J-đơn điệu

Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợp của

X Ký hiệu D(A) và R(A) tương ứng là miền xác định và miền giá trịcủa toán tử A : X → Y

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ J : X → 2X∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc của X nếu

J (x) = {x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kxkkx∗k, kx∗k = kxk}, x ∈ X.Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach vànói chung là ánh xạ đa trị Nếu X là không gian Hilbert H thì ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong không gian Hilbert

H Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau

Mệnh đề 1.1 Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,

(i) J (x) là tập lồi, J (λx) = λJ (x), với mọi λ > 0;

(ii) J là ánh xạ đơn trị nếu X∗ là không gian lồi chặt

Nếu X là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu X là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của X

Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian Banach Toán tử A : X → Xđược gọi là:

(i) J -đơn điệu nếu với mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y)sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0;

(ii) δ-J -đơn điệu mạnh nếu mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại một số δ > 0 vàtồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ δkx − yk2;(iii) η-J -ngược đơn điệu mạnh nếu mỗi x, y ∈ D(A) tồn tại một số

η > 0 và tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y) ≥ ηkA(x) − A(y)k2;(iv) giả co nếu

kAx − Ayk2 ≤ kx − yk2+ k(I − A)x − (I − A)yk2, ∀x, y ∈ D(A),trong đó I là toán tử đồng nhất;

(v) λ-giả co chặt nếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y)sao cho

hA(x)−A(y), j(x−y)i ≤ kx−yk2−λkx−y−(A(x)−A(y))k2 (1.1)với mỗi λ ∈ (0, 1)

Nhận xét 1.3 Biểu thức (1.1) có thể được viết lại như sau

h(I −A)(x)−(I −A)(y), j(x−y)i ≥ λk(I −A)(x)−(I −A)(y)k2 (1.2)Chú ý rằng, mọi ánh xạ giả co đều là ánh xạ không giãn

Ký hiệu Fix(A) = {x ∈ D(A) : x = Ax} là tập điểm bất động củatoán tử A

Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho X là một khônggian mêtric đầy đủ và A : X → X là một ánh xạ co Khi đó, tồn tạiduy nhất ¯x ∈ X sao cho A(¯x) = ¯x

Mệnh đề 1.2 Cho X là một không gian Banach thực trơn và F :

q

1−δ λ

.Chứng minh (i) Từ (1.2) ta nhận được

λk(I − F )x − (I − F )yk2 ≤ h(I − F )x − (I − F )y, J(x − y)i

≤ k(I − F )x − (I − F )ykkx − yk,

Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Banach thực trơn Khi đó

kxk2 + 2hy, J (x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, J (x + y)i, ∀x, y ∈ X,trong đó J : X → 2X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Bổ đề 1.2 Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach thực X và T : K → K là một ánh xạ giả co liên tục Khi đó,(i) A = (2I − T )−1 là một ánh xạ không giãn trong K

(ii) Nếu lim

n→∞kxn− T xnk = 0, thì lim

n→∞kxn − Axnk = 0

Bổ đề 1.3 (Nguyên lý nửa đóng) Cho K là tập con lồi đóng khácrỗng của không gian Banach phản xạ X thỏa mãn điều kiện Opial vàgiả sử T : K → X là ánh xạ không giãn Khi đó ánh xạ I − T là nửađóng tại 0, tức là

xn * x, xn− T xn → 0 ⇒ x = T x

Cho X là một không gian Banach trơn đều và T : X → X là ánh

xạ không giãn Giả sử F : X → X là ánh xạ δ-J -đơn điệu mạnh vàλ-giả co chặt với δ + λ > 1 Với mỗi t ∈ (0, 1) ta chọn số µt ∈ (0, 1)tùy ý và xét ánh xạ Γt : X → X xác định bởi

Γt = tx + (1 − t)T x − tµtF x, ∀x ∈ X (1.3)Khi đó Γt : X → X là ánh xạ co Thật vậy, với mọi x, y ∈ X, sử dụngMệnh đề 1.2(iii) ta có

xt = txt + (1 − t)T xt − tµtF (xt) (1.4)

Bổ đề 1.4 Cho X là một không gian Banach thực trơn và T : X → X

là ánh xạ không giãn (hoặc giả co liên tục) với Fix(T ) 6= ∅ Giả sử

F : X → X là ánh xạ δ-J -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ+λ > 1.Với mỗi t ∈ (0, 1) chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý và giả thiết {xt} được xácđịnh bởi (1.4) Giả sử u ∈ X là một điểm bất động của T , nghĩa là,

Do đó

tµthF (xt), J (xt− u)i ≤ hxt − (txt + (1 − t)u − tµtF (xt)), J (xt − u)i

− (1 − t)kxt − uk2 ≤ 0,suy ra

hF (xt), J (xt − u)i ≤ 0

(ii) Vì F là δ-J -đơn điệu mạnh nên

hF (xt), J (xt − u) = hF (xt) − F (u), J (xt − u)i + hF (u), J(xt − u)i

inf{an : n ∈ N} ≤ µ (a) ≤ sup{a∼ n : n ∈ N}

với mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞ Ta sẽ viết µ∼n(a) thay cho µ(a).∼ ∼µ trên

N được gọi là giới hạn Banach nếu

∼

µn(a) =µ∼n(an+1)với mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞ Sử dụng định lý Hann–Banach, ta cóthể chứng minh sự tồn tại của giới hạn Banach Ta biết rằng nếu µ là∼giới hạn Banach thì

lim inf

n→∞ an ≤ µ∼n(an) ≤ lim sup

n→∞

anvới mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞

Cho {xn} là một dãy bị chặn trong X Khi đó, ta có thể định nghĩahàm lồi liên tục nhận giá trị thực g : X → R bởi

g(x) =µ∼nkxn − xk2, ∀x ∈ X

Bổ đề 1.5 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach X với chuẩn khả vi Gâteaux đều Cho {xn} là một dãy bị chặntrong X, ∼µ là một giới hạn Banach trên N, và z ∈ C Khi đó,

∼

µnhx − z, J(xn− z)i ≤ 0, x ∈ C

1.2 Bất đẳng thức biến phân

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i vàchuẩn k.k, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và F : H → H

là một toán tử phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân trongkhông gian Hilbert H được phát biểu như sau:

Tìm điểm u∗ ∈ C sao cho : hF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C (1.6)Nếu F là toán tử η-điệu mạnh và liên tục L-Lipschitz trên C, thì bàitoán (1.6) có duy nhất nghiệm u∗

Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân (1.6)

là sử dụng kỹ thuật trong tối ưu lồi Một phương pháp lặp điển hình

để giải bài toán (1.6) là phương pháp chiếu gradient được mô tả nhưdưới đây:

H và {τn} ⊂ (0, ∞) Phương pháp chiếu có ưu điểm là dễ lập trình

và tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên, khi áp dụng tính toán trong cáctrường hợp cụ thể thì cần phải xác định được công thức biểu diễntường minh của PC, mà trên thực tế thì dạng hiện của PC là khó xácđịnh Thay vì sử dụng trực tiếp PC ta dùng ánh xạ không giãn T nào

đó Lúc này dạng hiện của ánh xạ không giãn T mà tập điểm bất độngcủa nó có thể xác định được dựa trên lý thuyết cơ bản về điểm bấtđộng

Dựa trên ý tưởng này, Yamada (xem [9]) đã đề xuất phương pháplai đường dốc nhất (hybrid steepest-descent) vào năm 2001 giải bấtđẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không

giãn Dãy lặp được xác định như sau:

ở đây, F : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz, η-đơn điệu mạnh;

T : H → H là ánh xạ không giãn với Fix(T ) 6= ∅; µ ∈ (0, 2η/L2);

τn ∈ (0, 1] thỏa mãn các điều kiện

mở rộng bài toán trong không gian Banach

Cho X là không gian Banach thực và J : X → 2X∗ là ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc của X Trong mục này, không làm mất tính tổng quát,

ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị là J Ta xét bài toánbất đẳng thức biến phân VI∗(F, C) trong không gian Banach (đã được

trình bày trong phần Mở đầu) như sau:

Tìm u∗ ∈ C sao cho : hF (u∗), J (u∗ − v)i ≤ 0, ∀v ∈ C (1.8)Bài toán (1.8) với toán tử J -ngược-đơn điệu mạnh F trên một tậpcon lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Banach trơn X đã đượcAoyama và các đồng nghiệp nghiên cứu trong [3]-[4] Nếu C là tậpđiểm bất động của ánh xạ không giãn T : X → X thì ta có bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

Sau đây là một kết quả giải bất đẳng thức biến phân VI∗(F, C) trêntập điểm bất động của một ánh xạ giả co liên tục

Mệnh đề 1.3 Cho X là một không gian Banach phản xạ thực và lồichặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều Giả sử T : X → X là ánh xạ giả

co liên tục và C = Fix(T ) 6= ∅ Giả thiết rằng F : X → X là ánh xạδ-J -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 Với mỗi t ∈ (0, 1),chọn một số µt ∈ (0, 1) tùy ý và dãy {xt} được định nghĩa bởi (1.4).Khi đó, nếu t → 0+ thì dãy xt hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗của bài toán VI∗(F, C)

Chứng minh Trước tiên ta chỉ ra tính duy nhất của nghiệm của bàitoán VI∗(F, C) Thật vậy, giả sử rằng u∗ và v∗ ∈ C = Fix(T ) là hainghiệm của VI∗(F, C) Khi đó, ta có

hF (u∗), J (u∗ − v∗)i ≤ 0và

hF (v∗), J (v∗ − u∗)i ≤ 0

Cộng hai vế của hai bất đẳng thức cuối ta được

trong đó {tn} là một dãy trong (0, t0) hội tụ tới 0 khi n → ∞ và µ∼n

là một giới hạn Banach Định nghĩa tập

Vì X là một không gian Banach phản xạ, nên K là tập con lồi đóng,

bị chặn, khác rỗng của X Mặt khác, limn→∞kxn − Axnk = 0, suy ravới mọi x ∈ K ta có

g(Ax) = µ∼nkxn− Axk2 ≤ µ∼n(kxn − Axnk + kAxn − Axk)2

≤ µ∼nkxn − xk2 = g(x)

Do đó, Ax ∈ K Suy ra K là bất biến đối toán tử A Vì Fix(A) =Fix(T ) nên ta có thể chọn u ∈ Fix(A) = Fix(T ) tùy ý Vì mỗi tập conlồi đóng khác rỗng của một không gian Banach lồi chặt và phản xạ X

là một tập Chebyshev, nên tồn tại duy nhất ˆu ∈ K sao cho