Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020... TRƯỜNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN THỊ HẢI NINH

PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐOÀN THỊ HẢI NINH

PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Song Hà

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Song Hà Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy T.S Nguyễn Song Hà (TrườngĐại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy đã trực tiếp hướng dẫn tậntình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.

Xin chân thành cảm ơn tới các quý Thầy, Cô giáo đã trực tiếp giảng dạylớp Cao học Toán K12A3, các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vànghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giađình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc cao học và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thầy

Cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giảĐoàn Thị Hải Ninh

1.1 Cấu trúc hình học không gian Banach 21.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 111.3 Ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng 16Chương 2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ

2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 232.2 Phương pháp lặp Halpern-Mann 312.3 Ví dụ minh họa 38

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

E∗ Không gian đối ngẫu của E

E∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của E

PC(x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

ΠC(x) Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập CFix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh đến x

xn * x Dãy {xn} hội tụ yếu đến x

hx∗, xi Giá trị của x∗ ∈ E∗ tại x ∈ E

J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.14) 402.2 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.15) 42

Mở đầu

Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Toán học người BaLan, là người đặtnền móng cho những nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động Kết quả quantrọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" được ông công bố năm

1912 Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là mộttrong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến Ngày nay đã có ít nhấtnăm cách chứng minh khác nhau cho nguyên lý nổi tiếng này và hàng chụcđịnh lý tương đương đã được tìm ra

Trong suốt hơn 100 năm qua, lí thuyết này đã dành được sự quan tâm đặcbiệt và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học lớn như E Picard, L.E.J.Brouwer, S Banach, J Schauder, S Kakutani, A.N Tikhonov, Ky Fan, F.E.Browder, K Goebel, W.A Kirk, Nó đóng vai trò then chốt trong nhiềunghiên cứu thuộc các lĩnh vực lí thuyết Toán học khác nhau như: lí thuyết tối

ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán minimax, phươngtrình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, Bên cạnh đó, lí thuyết nàycũng là một công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều mô hình bài toán thực tiễnnhư: kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng viễn thông CDMA, xử líảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thông, y sinh,

Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại có hệ thống về một sốphương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trêncác không gian Banach lồi đều và trơn đều

Với mục tiêu như vậy, ngoài lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kếtluận và tài liệu tham khảo Chương 1, chúng tôi dành để hệ thống lại nhữngkiến thức cơ bản về cấu trúc hình học không gian Banach, ánh xạ không giãntương đối và phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dungchính ở chương sau của luận văn Chương 2 dùng để trình bày phương phápchiếu lai ghép và phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động của bàitoán nêu trên cùng các ví dụ số minh họa

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản nhằmphục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấutrúc của chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại một số kháiniệm và kết quả cơ bản về cấu trúc hình học không gian Banach Những tínhchất cần thiết về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cụ thể hóa trong Mục 1.2.Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tươngđối cùng phép chiếu suy rộng trên không gian Banach

1.1 Cấu trúc hình học không gian Banach

Cho E là không gian Banach thực, E∗ và E∗∗ tương ứng là không gian đốingẫu và không gian đối ngẫu thứ hai của E

Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi

Hình 1.1 Tập lồi và tập không lồi(Quan sát hình bên tay phải, ta thấy là tập không lồi vì đoạn nối hai điểm I

và H có chứa phần J K không nằm trong tập đó)

Ví dụ 1.1 Những ví dụ đơn giản về tập lồi là các nửa không gian đóng hoặchình cầu đóng Dạng biểu diễn giải tích của các tập hợp này lần lượt là:

∆ := {x ∈ E : hx∗, xi ≤ α},S[x0, r] := {x ∈ E : kx − x0k ≤ r},trong đó, x∗ ∈ E∗, x0 ∈ E, α ∈ R và số thực r > 0 cố định đã cho

Định nghĩa 1.2 Dãy {xk} ⊂ E được gọi là

i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E nếu

lim

k→∞kxk − x0k = 0,

và khi ấy ta kí hiệu là xk → x0

ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E nếu

lim

k→∞hxk, x∗i = hx0, x∗i ∀x∗ ∈ E∗,

và khi ấy ta kí hiệu là xk * x0

Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk} ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E thì nó hội tụ yếutới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại là đúng nếu E là không gian hữu hạn chiều

Ví dụ 1.2 Dưới đây là một ví dụ về một dãy hội tụ yếu nhưng không hội

tụ mạnh Xét E = l2 và {xk} là một dãy trong l2 xác định bởi

xk = (0, 0, 0, , 1, 0, ) k ∈ N,trong đó các thành phần đều bằng 0 trừ ra thành phần bằng 1 ở vị trí thứ

k(x + y)/2k ≤ 1 − δ.

O

y x

D

δ

A ≡ x+y2A B

Hình 1.2 Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 lồi đều

Ví dụ 1.3 Không gian Hilbert H là không gian lồi đều Thật vậy, từ quytắc hình bình hành trên không gian Hilbert, ta có

kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H

Giả sử với mọi 0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ εthỏa mãn Khi đó, ta nhận được

kx + yk2 ≤ 4 − ε2

Điều này suy ra

k(x + y)/2k ≤ 1 − δ(ε),trong đó δ(ε) = 1 −p1 − ε2/4

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọiđiểm x, y ∈ SE, x 6= y thì

k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1),trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của E

Ví dụ 1.4 Không gian hữu hạn chiều Rn với chuẩn

kxk =

q

x21+ x22+ + x2

n, ∀x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

là không gian lồi chặt

Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn

Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 [3]

Mọi không gian Banach lồi đều là lồi chặt

Ví dụ 1.5 Các không gian l1 hay l∞ không lồi chặt Thật vậy, trong l1hoặc l∞ ta lấy x = (1, 0, 0, , 0) và y = (0, 1, 0, , 0) Khi đó, dễ thấy rằng

x 6= y, kxk = kyk = 1 nhưng

k(1 − λ)x + λyk = 1, ∀λ ∈ (0, 1)

Nhận xét 1.3 Cho E là không gian Banach lồi chặt Nếu

kx + yk = kxk + kyk, ∀x, y ∈ E\{0},thì tồn tại α ∈ R+ sao cho y = αx Thật vậy, với mọi x, y 6= 0, theo Định líHahn-Banach, tồn tại x∗ ∈ E∗ sao cho

∗

=

ykyk, x

Định nghĩa 1.6 Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Kleenếu với mọi dãy {xk} ⊂ E thỏa mãn xk * x0 và kxkk → kx0k khi k → ∞đều kéo theo xk → x0

Ví dụ 1.6 Không gian Hilbert là không gian có tính chất Kadec-Klee.Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3 [1]

Mọi không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee

Chứng minh Giả sử E là không gian Banach lồi đều và dãy {xk} ⊂ E thỏamãn xk * x0 và kxkk → kx0k

Nếu x0 = 0 thì hiển nhiên ta có xk → 0 Giả sử x0 6= 0 và xk 9 x0 Khi

x0

kx0k ≤ lim infk→∞

12

xki

kxk ik +

x0

kx0k ≤ 1 − δ,mâu thuẫn Vì thế xk → x0 hay E có tính chất Kadec-Klee

Định nghĩa 1.7 Hàm δE(ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của khônggian Banach E nếu

δE(ε) = infn1 − x + y

2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε

o.Chú ý 1.1 Dễ thấy rằng δE(0) = 0 và δE(t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0 Hơn nữa,môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăngtrên đoạn [0, 2]

Ví dụ 1.7 Cho H là không gian Hilbert, khi đó môđun lồi của H là

Đặc trưng tính lồi của không gian qua môđun lồi được phát biểu như sau.Mệnh đề 1.4 [1]

Không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0

Chứng minh Giả sử E là không gian lồi đều Khi đó, với ε > 0 tồn tạiδ(ε) > 0 sao cho

0 < δ(ε) ≤ 1 − x + y

2 , ∀x, y ∈ E,trong đó kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε Từ đây suy ra δE(ε) > 0

Ngược lại, giả sử E là không gian Banach có môđun lồi δE thỏa mãn

δE(ε) > 0, ∀ε ∈ (0, 2] Lấy x, y ∈ E sao cho kxk = 1, kyk = 1 với kx − yk ≥ εvới ε ∈ (0, 2] Từ định nghĩa δE(ε) ta có

Định nghĩa 1.8 Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE

nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn sau

Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SEtồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E∗ sao cho hx, x∗i = kxk và kx∗k = 1.

Ví dụ 1.9 [1, 3]

Các không gian lp, Lp[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn.Các không gian Banach c0, l1, L1[a, b] và l∞ là không trơn

Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tính trơn của không gian và tính khả

vi Gâteaux của chuẩn

Nhận xét 1.4 Từ định nghĩa của ρE suy ra ρE(0) = 0 và ρE(t) ≥ 0 với mọi

t ≥ 0 Hơn nữa, ρE là hàm lồi, tăng và liên tục

Tính trơn đều của không gian Banach được định nghĩa thông qua môđuntrơn như sau

Định nghĩa 1.11 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

Chứng minh Giả sử E là không gian Banach trơn đều nhưng không trơn.Khi đó, tồn tại x 6= 0 và x∗ 6= y∗ ∈ E∗ sao cho kx∗k = ky∗k = 1 và

Mâu thuẫn với tính lồi đều của E Vì thế, E là không gian trơn

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tính trơn đều và lồi đều củakhông gian Banach E và không gian đối ngẫu E∗ của nó

Mệnh đề 1.7 [1]

Cho E là không gian Banach Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) E∗ là không gian lồi đều khi và chỉ khi E là không gian trơn đều

ii) E là không gian lồi đều khi và chỉ khi E∗ là không gian trơn đều

Chứng minh i) Giả sử E là không gian trơn đều Khi đó, ta có

ρE(τ ) = sup τ ε

2 − δE∗(ε) : ε ∈ (0, 2]

, τ > 0 (1.1)

Nếu E∗ không là không gian lồi đều thì ∃ε0 ∈ (0, 2] sao cho δE ∗(ε0) = 0 Khi

Ngược lại, giả sử E∗ là không gian lồi đều Khi đó, ta có

ρE ∗(τ ) = sup τ ε

2 − δE(ε) : ε ∈ (0, 2]

, τ > 0 (1.2)Nếu E không là không gian trơn đều thì

Do đó, δE(ε) = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết E∗ là không gian lồi đều

Vì thế, E là không gian trơn đều

ii) Chứng minh tương tự như i) bằng cách thay đổi vai trò E và E∗.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.12 Một ánh xạ J : E ⇒ E∗ (nói chung là đa trị) thỏa mãnđiều kiện

J (x) = {x∗ ∈ E∗ : hx, x∗i = kxkkx∗k và kx∗k = kxk},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Chú ý 1.2 Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach Khẳng định nàyđược suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach (Nhận xét4.2, trang 25, [3]) Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn, trường hợp ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc là đơn trị ta sẽ kí hiệu là j

Ví dụ 1.11 Trong không gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của

H là ánh xạ đơn vị I Thật vậy, trước hết để ý rằng H = H∗ và với mọi

Mệnh đề 1.8 [1]

Trong không gian Banach E, ta có bất đẳng thức sau

kxk2+ 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i,

= (kxk − kx + yk)2 ≥ 0.

Từ đó suy ra kxk2 + 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được trình bàytrong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.9 [1]

Cho E là không gian Banach thực và J : E ⇒ E∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc của E Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) J (0) = {0}

ii) Với mỗi x ∈ E, J (x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng

iii) J (λx) = λJ (x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R

iv) Nếu E∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị

Chứng minh i) Hiển nhiên, ta thấy

Do đó, y∗ ∈ J(x) hay suy ra J(x) khác rỗng với mọi x ∈ E

Tiếp theo, giả sử x∗, y∗ ∈ J(x) và λ ∈ [0, 1] Ta có

hx, x∗i = kxkkx∗k, kxk = kx∗k,

hx, y∗i = kxkky∗k, kxk = ky∗k,và

hx, λx∗+ (1 − λ)y∗i = kxk(λkx∗k + (1 − λ)ky∗k) = kxk2 (1.3)

Từ các đẳng thức trên cùng ước lượng sau

hx, λx∗ + (1 − λ)y∗i ≤ kxkkλx∗ + (1 − λ)y∗k

≤ kxk(λkx∗k + (1 − λ)ky∗k)

= kxk2dẫn đến

kxkkλx∗ + (1 − λ)y∗k = kxk2.Điều này tương đương với

kλx∗ + (1 − λ)y∗k = kxk (1.4)Kết hợp (1.3) và (1.4) ta nhận được

hx, λx∗ + (1 − λ)y∗i = kλx∗+ (1 − λ)y∗kkxk (1.5)

Vì thế, từ (1.4) và (1.5) suy ra λx∗ + (1 − λ)y∗ ∈ J(x) hay J(x) là tập lồi.Cuối cùng, từ định nghĩa của J (x), dễ thấy J (x) là tập đóng và bị chặn.iii) Giả sử x∗ ∈ J(λx) và xét trường hợp λ 6= 0 (vì nếu λ = 0 thì hiển nhiên

J (0) = {0}) Khi đó, ta có

hλx, x∗i = kλxkkx∗k = kx∗k2, kλxk = kx∗k

Từ đó suy ra

hx, λ−1x∗i = λ−1hλx, λ−1x∗i = λ−2hλx, x∗i = λ−2kλxkkx∗k = λ−2kλxk2 = kxk2.Mặt khác, dễ thấy rằng

hλx, x∗i = λhx, x∗i = λ2hx, λ−1x∗i = λ2kxk2 = kλxk2.Hơn nữa, vì x∗ = λy∗ với y∗ ∈ J(x) nên

kx∗k = kλy∗k = |λ|ky∗k = |λ|kxk = kλxk

2kxk2 = hx, x∗ + y∗i ≤ kxkkx∗+ y∗k,kéo theo

kx∗ + y∗k ≥ 2kxk = kx∗k + ky∗k (1.8)Ngoài ra, ta có đánh giá sau

Điều này suy ra α = 1 và vì thế x∗ = y∗ Do đó, J là ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.13 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j : E → E∗ được gọi là

i) liên tục yếu theo dãy nếu với mọi dãy {xk} hội tụ yếu tới điểm x thì j(xk)hội tụ tới j(x) theo tôpô yếu∗ trong E∗

ii) liên tục mạnh-yếu∗ nếu với mọi dãy {xk} hội tụ mạnh tới điểm x thì j(xk)hội tụ tới j(x) theo tôpô yếu∗ trong E∗

Mệnh đề 1.10 [3]

Nếu không gian Banach E có chuẩn khả vi Gâteaux đều thì ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc j : E → E∗ liên tục đều mạnh-yếu∗ trên các tập con bị chặncủa E

iii) Chuẩn của E là khả vi Gâteaux với ∇kxk = kxk−1J (x)

Mệnh đề dưới đây cho ta một đặc trưng quan trọng của không gian Banachlồi đều

Mệnh đề 1.12 [1]

Cho s > 0 và E là không gian Banach thực.Khi đó, E là lồi đều khi và chỉkhi tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăng ngặt g : [0, ∞) → [0, ∞) có g(0) = 0thỏa mãn

kx + yk2 ≥ kxk2+ 2hy, J (x)i + g(kyk),với mọi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s}

1.3 Ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng

Cho E là không gian Banach trơn Ta xét hàm số φ : E × E → R xác địnhnhư sau

φ(y, x) := kyk2 − 2hy, J(x)i + kxk2.với mỗi x, y ∈ E

Chứng minh Vì φ(yn, zn) → 0 nên {φ(yn, zn)} bị chặn Do đó, nếu ít nhấtmột trong hai dãy {yn}, {zn} bị chặn thì dãy còn lại cũng bị chặn (suy ra từNhận xét 1.5) Theo Mệnh đề 1.12, tồn tại một hàm lồi, liên tục và tăng ngặt

là ánh xạ không giãn nếu và chỉ nếu |a| ≤ 1

Định nghĩa 1.15 Cho C là tập con khác rỗng của E và ánh xạ T : C → C.Phần tử p ∈ C được gọi là

(i) điểm bất động của T nếu

T (p) = p

Tập các điểm bất động của T kí hiệu là Fix(T )

(ii) điểm bất động tiệm cận của T nếu C chứa dãy {xn} mà xn * p và

xn− T (xn) → 0

Tập các điểm bất động tiệm cận của T kí hiệu là ˆF (T )

Định nghĩa 1.16 Cho C là tập con khác rỗng của E Ánh xạ T : C → Cđược gọi là không giãn tương đối nếu

(i) ˆF (T ) = Fix(T ),

(ii) φ(p, T (x)) ≤ φ(p, x) với mọi x ∈ C và p ∈ Fix(T )

Ví dụ 1.13 Cho C là tập con khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều.Khi đó, mọi ánh xạ không giãn T : C → C đều là không giãn tương đối.Thật vậy, để ý rằng nếu xn → p thì T (xn) → T (p) (do tính liên tục củaánh xạ T ) Do đó, ta có ˆF (T ) = Fix(T ) Mặt khác, ta lại có

φ(p, T (x)) = kp − T (x)k2 = kT (p) − T (x)k2 ≤ kp − xk2 = φ(p, x),với mọi x ∈ C và p ∈ Fix(T )

Tính chất tập điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối được phátbiểu trong mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.14 [4]

Cho E là không gian Banach lồi chặt và trơn Cho C là tập con lồi đóngkhác rỗng của E Cho T : C → C là ánh xạ không giãn tương đối Khi đó,Fix(T ) là tập đóng lồi

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh Fix(T ) là tập đóng Giả sử {xn} làmột dãy các phần tử trong Fix(T ) mà xn → x ∈ C Từ định nghĩa của T tacó

Vì thế, ta nhận được x = T (x) hay x ∈ Fix(T ).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh Fix(T ) là tập lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈Fix(T ) và t ∈ (0, 1), ta đặt

Điều này dẫn đến z ∈ Fix(T ) hay Fix(T ) là tập lồi

Tiếp theo, cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banachphản xạ, lồi chặt và trơn E Khi đó, với mỗi x ∈ E đều tồn tại duy nhất