một số định lí điểm bất động trong không gian nón metric

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Công Anh MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012... Các định lý điểm bất động trong kh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Lời cảm ơn

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, là người Thầy đã chỉ dạy tận tâm và nhiệt tình trong việc nghiên cứu khoa học, là người Cha luôn động viên, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các Thầy, Cô đang giảng dạy ở Khoa Toán Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi trong suốt khóa học Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng khoa học công nghệ sau đại học, ban chủ nhiệm khoa Toán -Tin trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học viên khóa 19, 20, 21 đã cùng tôi chia

sẽ buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương yêu trong gia đình như bố mẹ, các anh, các em Những người đã luôn động viên tinh thần và là chổ dựa cho tôi về mọi mặt

Tp.HCM, Ngày 30 tháng 03 năm 2012

Học viên

Nguyễn Công Anh

Mục lục

Mục lục 4

Lời mở đầu 5

1 Điểm bất động trong không gian nón mêtric 6

1.1 Không gian nón mêtric 6

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co 16

1.3 Điểm bất động chung 22

1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co 22

1.3.2 Điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu 26

1.3.3 Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không gian nón mêtric 31

1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn 42

1.4.1 Ánhxạc-không giãn 42

1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng 45

1.5 Định lý Kirk-Caristi 53

2 Điểm bất động trong không gian nón -chuẩn 59

2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn 59

2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng 63

Tài liệu tham khảo 67

Danh sách cái tài liệu 68

Lời mở đầu

Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển mạnh mẽ cho đến tận hôm nay Nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học và khoa học

Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ nhận giá trị trong một nón của không gian vectơ được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1950

để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi phân và quá trình tính toán gần đúng

Những năm gần đây việc nghiên cứu các điểm bất động trong không gian nón mêtric được quan tâm trở lại với hàng chục bài báo về đề tại này được công bố Rất nhiều định lý về điểm bất động của ánh xạ trong không gian mêtric thông thường đã được mở rộng cho không gian nón -mêtric

-Việc hệ thống lại các kết quả trong lĩnh vực này là cần thiết để có một cái nhìn tổng quan về các kết quả đã đạt được

Nội dung luận văn bao gồm 02 chương:

Chương 1: Trình bày các khái niệm của không gian nón -mêtric, từ đó đưa ra

các định lý điểm bất động trong không gian nón mêtric của ánh xạ co, ánh xạ không giãn Đồng thời trình bày các định lý điểm bất động chung của ánh xạ dạng co, ánh

xạ tương thích yếu, ánh xạ giãn trong không gian nón -mêtric Và cuối cùng trình bày định lý Kirk -Caristi

Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không

gian nón chuẩn Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng

Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn, dù đã hết sức cố gắng nhưng luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn Do đó, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các bạn tham khảo đề tài này

Chương 1

Điểm bất động trong không gian nón mêtric

1.1 Không gian nón mêtric

Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, phát triển rất mạnh mẽ

và đã trở thành trung tâm của các hoạt động nghiên cứu gần đây Nó có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hệ thống điều kiển tương thích không tuyến tính, bài toán ước lượng tham số, lĩnh vực tính toán và giải mã Gần đây, Huang và Zhang đã đưa ra khái niệm không gian nón mêtric, thay thế tập hơp những số thực bằng 1 không gian Banach có thứ tự và đã thu được những định lý điểm bất động cho các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co Từ đó, việc nghiên cứu định lý điểm bất động trong không gian này được nhiều nhà toán học quan tâm và phát triển mở rộng Để xem xét cụ thể, trước tiên ta đưa ra định nghĩa không gian nón mêtric cũng như các khái niệm trong không gian đó

1.1.1 Định nghĩa: Cho E là không gian Banach thực và P là tập con của E Tập P

được gọi là nón nếu thỏa:

1.1.5 Mệnh đề Giả sử “£ ” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn Khi đó:

1 Nếu u v£ thì đoạn <u v, >=: {xÎ X u: £ x£v} bị chặn theo chuẩn

x £ y £ z nÎ N và limx n =a, limz n = thì lima y n = a

3 Nếu { }x n đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì limx n = a

Chứng minh:

1.1.6 Định nghĩa Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên

thì hội tụ Tức là nếu dãy { }x n³1 thỏa x1£ x2£ £ yÎ E thì tồn tại x thuộc E để lim || n || 0

Cho (X,d) là không gian nón mêtric và P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K<1 Ta lấy 0¹ xÎ P và 0<e < sao cho 1 K < -1 e Thì lúc này ta có (1- e ).x£ x nhưng (1- e) || ||x >K || ||x (vô lý với P là nón chuẩn)

Ví dụ 1.8.1.1 Cho E=C R([0,1]) với chuẩn sup và P={f Î E f: ³ 0} Ta thấy rằng nón chuẩn P có hằng số chuẩn là K=1 Bây giờ ta lấy 1 dãy giảm trong E và bị chặn dưới nhưng nó không hội tụ trong E

Thật vậy, lấy {a x b n + n n}³1 là 1 dãy tăng và bị chặn trên, tức ta có cx b E+ Î thỏa:

1 2 2

a x b+ £a x b+ £ £cx d+ với mọi x [1 1,1]

k

Î - Suy ra { }a n n³1 và { }b n n³1 là 2 dãy trong R mà:

0£ g£ f Þ ||g||£K || f ||

Với mọi ,g f Î E Bây giờ ta cần chứng minh là K > m

Trước tiên, ta chú ý rằng ( )f x = -mx m+ Î P g x, ( )=mÎ P f, - gÎ P nên

Vậy ta đã chứng minh được K > m

Có những nón không phải là nón chuẩn qua ví dụ sau:

|| || || ||

k f < g

Suy ra k không phải là hằng số chuẩn của P Suy ra P là nón không chuẩn

Từ đây, ta luôn giả sử rằng E là không gian Banach thực, P EÌ với intP ¹ 0 và

Khi đó d được gọi là mêtric trên X, và (X,d) được gọi là không gian nón mêtric

a Dãy { }x n gọi là hội tụ đều đến x XÎ nếu với mỗi cÎ E, 0 , tồn tại N c

sao cho với mọi n³ N d x x, ( n, ) Chúng ta ký hiệu là limc n

® ¥ = hoặc ,

( n, m) ( n, ) ( m, )

d x x £d x x +d x x  c

Suy ra { }x n là dãy Cauchy trong X

1.1.16 Mệnh đề Cho (X,d) là không gian nón mêtric P là nón chuẩn với hằng số

chuẩn K Mọi dãy { }x n là Cauchy khi và chi khi ( ,d x x n m)® 0 ( ,n m® ¥ )

Chứng minh

• Chiều thuận Giả sử { } x n là dãy Cauchy Với mọi e >0, chọn cÎ E, 0 c

và K || ||c <e Khi đó, tồn tại N sao cho với mọi ,n m>N d x x, ( n, m) Do c

đó, khi n, m > N thì:

|| ( ,d x x n m) ||£K || ||c < e

Vậy ( , )d x x n m ® 0( ,n m® ¥ )

• Chiều đảo Giả sử ( , ) d x x n ® 0(n® ¥ ) Lấy cÎ E, 0 , tồn tại c d > mà 0

|| ||x <d , tức là c x intP- Î Với d > 0 thì tồn tại N, sao cho với mọi

1.1.17 Mệnh đề Cho (X,d) là không gian nón mêtric P là nón chuẩn với hằng số

chuẩn K Lấy 2 dãy{ }x n và { }y trong X mà n x n ® x y, n ® y n( ® ¥ ) thì:

Ta có điều phải chứng minh

{ }x n hội tụ tới x và { }x n k là dãy con của { }x n thì { }

k

n

x hội tụ tới x

{ }x n là dãy Cauchy và có dãy con {x n k} hội tụ tới x thì { }x n hội tụ tới x

Với mọi n > N, lấy k > N thì ta có:

Nếu tồn tại 1 dãy { }a n trong R, với a n > "0 n,å a n < ¥ , thỏa mãn

1.1.21 Định nghĩa Giả sử E và F là không gian Banach thực và P, Q lần lượt là 2

nón xác định trên E và F Gọi (X, d) và ( , )Y r là không gian nón mêtric với

:

d X´ X ® E và r : Y Y´ ® F Hàm f :X ® Y được gọi là liên tục tại x0Î X

Nếu và chỉ nếu với mỗi cÎ F, 0 , tồn tại c bÎ E, 0 sao cho b

0

( ( ), ( ))f x f x c

r  với xÎ X d x x, ( , 0) b

Nếu f là liên tục tại mọi điểm của X, thì nó liên tục trên X

• ( )Þ Giả sử f là liên tục tại x0Î X và lấy { }x n là 1 dãy trong X hội tụ về x 0

Chúng ta cần chứng minh rằng { ( )}f x n hội tụ tới { ( )}f x0 Thật vậy, lấy , 0

cÎ F  , vì f là liên tục tại c x 0 nên ta có thể lấy bÎ E, 0 sao cho với b

mọi x XÎ mà d x x( , 0) suy ra b r ( (f x n), ( ))f x0  c

Mặt khác, dãy { }x n hội tụ tới x 0 nên tồn tại N sao cho ( , )d x x n  với mọi b

n³ N Do đó, với mọi n³ N, ( (r f x n), ( ))f x0  Vì vậy c

0

lim ( n) ( )

® ¥ =

• ( )Ü Bây giờ giả sử với mọi dãy { }x n trong X hội tụ tới x , dãy { (0 f x n)}hội

tụ tới { ( )}f x0 Chúng ta sẽ chứng minh rằng f liên tục tại x0 Ta giả sử trái lại, khi đó tồn tại cÎ F, 0 sao cho với mọi c bÎ E, 0 , và x X b Î thỏa

Mặt khác, vì b 0

n ® khi n ® ¥ nên dãy { } x n hội tụ tới x0, nhưng dãy { (f x n)}không hội tụ tới { ( )}f x0 (bởi vì c- r ( ( ), ( ))f x f x0 Ï intQ) Điều này trái với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co

Trong phần sau, chúng ta sẽ đưa ra và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian nón mêtric

1.2.1 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d x x ® n m® ¥

Vì thế { }x n là dãy Cauchy Mà X là đầy đủ nên tồn tại x0Î X x, n ® x n0( ® ¥ ) Mặt khác:

Vậy chỉ có duy nhất 1 điểm cố định duy nhất

1.2.1.1 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K Cho c EÎ với 0 c và x0Î X Đặt

Ta chỉ cần chứng minh rằng B x c ( , )0 là đầy đủ và TxÎ B x c( , )0 với mọi xÎ B x c( , )0

• Giả sử { }x n là dãy Cauchy trong B x c , nên { }( , )0 x n cũng là dãy Cauchy

trong X mà X là không gian đầy đủ nên tồn tại x XÎ để x n ® x n( ® ¥ )

1.2.1.2 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn điều kiệu co với *

nÎ N : ( n , n ) ( , )

Suy ra Tx 0 cũng là điểm bất động của n

T Do tính duy nhất suy ra T x( )0 =x0 hay

1.2.2 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón chính quy Giả

sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn điều kiệu co

với mọi ,x yÎ X với hằng số [0; )1

2

k Î Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất

trong X, ghi là x , và 0 lim n 0

-  nên ( , )d x x n m  với mọi n m c >

Suy ra { }x n là dãy Cauchy trong (X,d) mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ nên tồn tại x0Î X sao cho x n ® x0 Lúc này, chọn tiếp N sao cho 2

(1 )( , )

Vì thế d Tx x( 0, 0) c

m

 với mọi m ³ 1 Suy ra c d Tx x( 0, 0) P

m- Î với mọi m ³ 1 Mà 0

c

m ® khi m ® ¥ và P là tập đóng nên -d Tx x( 0, 0)Î P Mặt khác d Tx x( 0, 0)Î P Nên theo định nghĩa thì d Tx x( 0, 0)= , suy ra 0 Tx0 =x0

1.2.4 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ Giả sử ánh xạ

k Î Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất

trong X, ghi là x , và 0 lim n 0

-Lấy 0 c , vì h Î [0,1) nên ta có thể chọn được số N 1 sao cho với mọi m>N1 ta có

-  nên ( , )d x x n m  với mọi n m c >

Suy ra { }x n là dãy Cauchy trong (X,d) mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ nên tồn tại x0Î X sao cho x n ® x0 Lúc này, chọn tiếp N sao cho 2

(1 )( , )

c

m ® khi m ® ¥ và P là tập đóng nên -d Tx x( 0, 0)Î P Mặt khác d Tx x( 0, 0)Î P Nên theo định nghĩa thì d Tx x( 0, 0)= , suy ra 0 Tx0 =x0

1.2.5 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ Giả sử ánh xạ

1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co

1.3.1 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử có 2 ánh xạ , :f g X ® X thỏa mãn:

-+ + - + + - -

-2 2 1 2 1 2 1

( n, m ), ( n , m ) 0

d x x + d x + x + ®Suy ra { }x n là dãy Cauchy trong (X,d) mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ

nên tồn tại u XÎ sao cho x n ® u khi n ® ¥ Như vậy fx2n ® u gx, 2n+1 ® u Đặt x=u y, =x2n+1 trong (1.3.1), ta được:

Bây giờ trong (1.3.1), đặt x=u y, = u ta được:

1.3.2 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn:

Bằng cách đặt f = f p,g = f q trong định lý trên ta có điều phải chứng minh

1.3.3 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn:

Chúng ta chú ý rằng nếu f có điểm bất động là u thì u cũng là điểm bất động của

n

f với mọi số tự nhiên n Nhưng điều ngược lại không đúng

f Ta định nghĩa:

• Nếu ( )F f =F f( n) thì ta nói f có tính chất P

• Nếu ( )F f ÇF g( )=F f( n)ÇF g( n) thì ta nói f và g có tính chất Q

1.3.5 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn:

Suy ra: || ( ,d u gu) || 0= hay u=gu Mà theo định lý 1.3.1 thì ,f g có 1 điểm bất

động chung duy nhất nên u fu=

1.3.6 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K Giả sử ánh xạ :T X ® X thỏa mãn:

1.3.2 Điểm bất động chung của ánh xạ tương thích yếu

Trước khi đưa ra những định lý về điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu, ta đưa ra một số định nghĩa sau

, :

f g X ® X được gọi là giao hoán nếu:

,

fgx=gfx " xÎ X

1.3.2.2 Định nghĩa Cho (X d , ) là không gian nón mêtric, hai ánh xạ , :

f g X ® X Với x XÎ mà w= fx=gx thì x được gọi là điểm trùng của f và

g w được gọi là giá trị trùng của f và g

, :

f g X ® X Khi đó, f và g được gọi là tương thích yếu nếu nó giao hoán tại

những điểm trùng, nghĩa là nếu:

fx=gxÞ fgx=gfx

1.3.2.4 Mệnh đề Cho f và g là 2 ánh xạ tương thích yếu từ X vào chính nó Nếu

f và g có giá trị trùng duy nhất w fx gx= = thì w là điểm bất động chung duy

d y y h

Với điều kiện a i ³ 0," i =1, ,5,a1+a2+2a3+2a4+a5 < nên Tv1 =gv= z

Vậy fu Su Tv gv z= = = = Mặt khác, vì f và S là cặp ánh xạ tương thích yếu nên

Sfu= fSu hay zS = fz Bây giờ ta chứng minh z la điểm bất động của S Giả sử

ngược lại, tức là Sz¹ z, theo (ii), ta có:

Tương tự f và T là cặp ánh xạ tương thích yếu, chúng ta có: z T =gz Bây giờ

chúng ta chứng minh z là điểm cố định của T Giả sử Tz¹ z, thì từ (ii), ta có:

Giả sử có 2 điểm ,z w mà z¹ w là 2 điểm bất động chung của , , ,f g S T Chúng ta

sẽ chứng minh z w= Thật vậy, từ (ii) ta có:

Với điều kiện a i ³ 0," i =1, ,5,a1+a2+2a3+2a4+a5 < hay z1 =w

Vậy ta đã chứng minh z là điểm bất động chung duy nhất của , , , f g S T

1.3.2.6 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K Giả sử các ánh xạ , , :f S T X ® X thỏa mãn các điều kiện sau:

iii Với mọi ,x yÎ X a, i ³ 0 và a1+a2+2a3+2a4+a5 < 1 thì các cặp ( , ), ( , )f S f T là 2 cặp ánh xạ tương thích yếu

Khi đó , ,f S T có 1 điểm bất động chung duy nhất

Chứng minh

Nếu ta đặt f g= trong định lý 1.3.2.5 thì ta có điều phải chứng minh

1.3.2.7 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K Giả sử các ánh xạ , :f S X ® X thỏa mãn các điều kiện sau:

Nếu ta đặt f g= và S = T trong định lý 1.3.2.5 thì ta có điều phải chứng minh

1.3.2.8 Hệ quả Ta có thể thay điều kiện (ii) trong định lý 1.3.2.5 bằng điều kiện:

1.3.3.1 Định lý Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ Giả sử f và g là toàn

ánh đi từ X vào chính nó thỏa mãn 2 bất đẵng thức sau:

với mọi xÎ X a b, , >1 Khi đó, nếu f hoặc g là liên tục thì f và g có 1 điểm bất động chung

x + Î f - x n x + Î g- x + Ta dễ thấy rằng, nếu tồn tại n NÎ để x2n =x2n+1

thì x n là điểm cố định của f và g Thật vậy, nếu x 2n không phải là điểm cố định của

thì bằng cách tương tự sử dụng bất phương trình (1.3.1) thì ta chứng minh đươc

với n =0,1, 2, Suy ra { }x n là dãy Cauchy trong không gian nón mêtric đầy đủ

nên suy ra y=z Vậy z gz= , hay ta đã chứng minh được rằng z là điểm cố định chung của f và g

Tương tự, nếu ta coi g là liên tục, thì ta cũng có kết quả trên

1.3.3.2 Hệ quả Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ Giả sử : f X ® X là toàn ánh thỏa mãn:

Rõ ràng nếu ta đặt f =g k, =min{ , }a b thì ta có điều phải chứng minh

Nếu ta đặt E =R P, ={xÎ R x: ³ 0}Ì R d X, : ´ X ® R trong hệ quả 1.3.3.2 thì ta được kết quả sau:

toàn ánh thỏa mãn:

2

d f x fx ³ kd fx x

với mọi xÎ X k, >1 Khi đó, nếu f là liên tục thì f có 1 điểm bất động

Chúng ta sẽ minh họa cho định lý trên bằng 1 ví dụ sau:

Đúng mọi x XÎ Như vậy 2 bất đẳng thức trong định lý trên đều thỏa mãn và x=0

là điểm chung cùa f và g

Bây giờ, chúng ta se đưa ra một số định lý điểm bất động chung của ánh xạ giãn trong không gian nón mêtric thông thường với điều kiện mới

thỏa mãn gX Ì fX và 1 trong 2 tập fX và gX là đầy đủ Giả sử:

d fx fy ³ a d gx gy (1.5) với a >1, với mọi ,x yÎ X Khi đó f và g có 1 điểm trùng duy nhất Mặt khác, nếu cặp (f, g) là tương thích yếu, thì f và g có điểm trùng duy nhất