Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm trung tách trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐỖ THỊ HUYỀN TRANG MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CO HẸP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng M

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CO HẸP

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Li Quanqing

Thái Nguyên – 2019

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người đã tậntình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoànthành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trongkhoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên đã tận tìnhgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ngườithân, bạn bè đã động viện, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về hình học các không gian Banach 3

1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 14

1.3 Phép chiếu mêtric 22

1.4 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach 24

1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu cực đại và toán tử giải mêtric 24 1.4.2 ε− mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Banach 26

Chương 2 Một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm chung tách 32 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 32

2.2 Một số ứng dụng 39

2.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 39

2.2.2 Bài toán chấp nhận tách đa tập 41

2.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 42

2.3 Ví dụ số minh họa 44

Một số ký hiệu và viết tắt

δE(ε) mô đun lồi của không gian Banach E

F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Mở đầu

Cho C và Q là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert

H1 và H2, tương ứng Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn

và T∗ : H2 −→ H1 là toán tử liên hợp của T Bài toán chấp nhận tách (SFP)

có dạng như sau:

Mô hình bài toán (SFP) lần đầu tiên được giới thiệu và nghiên cứu bởi Y.Censor và T Elfving [5] cho mô hình các bài toán ngược Bài toán này đóngvai trò quan trọng trong khôi phục hình ảnh trong Y học, điều khiển cường độ

xạ trị trong điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay có thể

áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi(xem [13])

Giả sử C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H1 Ta biếtrằng tập điểm cực tiểu của hàm chỉ

là arg minH1iC(x) = C Do đó, ta nhận được C = (∂iC)−1(0), với ∂iC là dưới

vi phân của iC (Rockafellar [11] đã chỉ ra rằng ∂iC là một toán tử đơn điệu cựcđại) Ngoài ra, C cũng là tập không điểm của toán tử đơn điệu A xác định bởi

A = I − PC Do đó, ta có thể xem bài toán chấp nhận tách (SFP) là trườnghợp riêng của bài toán không điểm chung tách

Bài toán không điểm chung tách được phát biểu ở dạng sau: Cho A : H1 −→

2H1 và B : H2 −→ 2H 2 là các toán tử đơn điệu cực đại và cho T : H1 −→ H2

là một toán tử tuyến tính bị chặn

Tìm một phần tử x∗ ∈ S = A−1(0) ∩ T−1 B−1(0)
6= ∅ (SCNPP)Cho đến nay Bài toán (SCNPP) đã và đang là chủ đề thu hút nhiều ngườilàm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Mục đích của luận văn

này là trình bày lại các kết quả của T.M Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy trongtài liệu [15] về phương pháp chiếu co hẹp cho Bài toán (SCNPP) trong khônggian Banach.

Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về cấu trúc hình họccủa các không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gian Banachtrơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric và phép chiếu tổngquát; toán tử đơn điệu trong không gian Banach, toán tử giải mêtric và toán

lí 2.1) cho một số bài toán liên quan như bài toán điểm cực tiểu tách, bài toánchấp nhận tách đa tập và bất đẳng thức biến phân tách

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao bồm 4 mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản củakhông gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn đều Mục 1.2 giới thiệu

về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu mêtric

và một số tính chất cơ bản Mục 1.4 trình bày về toán tử đơn điệu trong khônggian Banach, toán tử giải mêtric và ε-mở rộng của một toán tử đơn điệu Nộidung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 6, 7, 8, 9]

1.1 Một số vấn đề về hình học các không gian Banach

Cho E là một không gian Banach và E∗ là không gian đối ngẫu của nó Để chođơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu k.k để chỉchuẩn trên E và E∗; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {xn} về phần tử x trong

E lần lượt được kí hiệu là xn → x và xn * x trong toàn bộ luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây củakhông gian Banach phản xạ

Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E là một không gian Banach Khi đó,các khẳng định sau là tương đương:

i) E là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trongkhông gian tuyến tính định chuẩn

Mệnh đề 1.2 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian khônggian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ Csao cho xn * x, nhưng x /∈ C Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X∗tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i Do đó, trong bấtđẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Ví dụ 1.1 Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi

Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0 Với mọi ε > 0 và với mọi

δ > 0 (trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có

f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x),với mọi x Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0

Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của mộtphiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phảnxạ

Mệnh đề 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banachphản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tụcdưới trên C, sao cho f (xn) → ∞ khi kxnk → ∞ Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f )sao cho

f (x0) = inf{f (x) : x ∈ C}

Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ C saocho f (xn) → m khi n → ∞ Nếu {xn} không bị chặn, thì tồn tại một dãy con{xnk} của {xn} sao cho kxnkk → ∞ Theo giả thiết, f (xnk) → ∞, mâu thuẫnvới m 6= ∞ Do đó, {xn} bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tạidãy con {xnj} của {xn} sao cho xnj * x0 ∈ C Vì f là nửa liên tục dưới trongtôpô yếu, nên ta có

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi

Mệnh đề 1.4 Cho E là một không gian Banach lồi chặt Khi đó, với mỗi

f ∈ E∗\ {0}, tồn tại duy nhất phần tử x ∈ E sao cho kxk = 1 và hx, f i = kf k.Chứng minh Sự tồn tại phần tử x như trên được suy ra trực tiếp từ hệ quảcủa định lí Hahn-Banach

Giả sử tồn tại x, y ∈ E thỏa mãn kxk = kyk = 1 và x 6= y sao cho

x + y

Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gianBanach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ rađiều đó

Ví dụ 1.2 (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ vềkhông) với chuẩn k.kβ xác định bởi

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau:

Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số

Nhận xét 1.1 Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,liên tục và tăng trên đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi

δE(2) = 1 (xem [1] trang 59) Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi vàchỉ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [1] trang 60)

Ví dụ 1.3 Cho H là không gian Hilbert, khi đó mô đun lồi của H được xácđịnh bởi

Khi đó, ta có

f xni + xnj

2



≤ kf k xni + xnj

2

< kf k(1 − δ) = 1 − δ,điều này mâu thuẫn với f (xn) → 1 Vì vậy, {xn} là dãy Cauchy và ∃x ∈ Esao cho xn → x Rõ ràng x ∈ SE và từ tính liên tục của chuẩn ta có kxk =limn→∞kxnk = 1 Do đó, từ hxn, f i → 1, cho n → ∞, ta nhận được hx, f i = 1.Theo Định lý James1, suy ra E là không gian phản xạ

Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Kleenếu mọi dãy {xn} ⊂ E thỏa mãn xn * x và kxnk → x, thì xn → x

Ví dụ 1.4 Mọi không gian Hilbert H đều có tính chất Kadec-Klee

Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn xn * x và

Nếu x = 0, thì hiển nhiên xn → 0 Giả sử x 6= 0 và xn 9 x Khi đó, ta có

xnk

kxnkk −

xkxk

... E không gian lồi E∗ khơng gian trơn

Chứng minh a) Giả sử E không gian trơn Từ Định lí 1.2, ta có