Ty SKKN 18 19

Lí do thực tiễn Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó màgiáo vi

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề

1 Lí do lí luận

Albert Einstein đã nói: “Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của

tư duy logic” Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều toánliệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những con số?Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến toán học, đều có tácdụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học hơn và sángtạo hơn, nó giúp cho người học có khả năng suy nghĩ trừu tượng và trong một chừngmực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi quyết định

Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc địnhhướng các em học tốt môn Toán, luôn tìm tòi đổi mới để giúp các em ngày càng hoànthiện hơn các kiến thức toán học Mặc dù chương trình sách giáo khoa hiện hành đãđược chọn lọc những kiến thức rất cơ bản, phù hợp cho mọi đối tượng Tuy nhiên,không phải bất cứ dạng toán nào các em cũng có thể nắm bắt được, trong số đó códạng toán phương trình vô tỉ, một dạng toán phổ biến trong các đề thi học sinh giỏivăn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải toán trên máy tính cầm tay Casio

2 Lí do thực tiễn

Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho các

em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó màgiáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết phân chiatheo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thờirèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ

sở các kiến thức đã học

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tôi nhận thấyhọc sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp dạng phương trình vô tỉ và thường có nhữngsai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về phương pháp giải, quátrình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ điều kiện, chưa xét hết các trường hợpxảy ra Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương trình có chứa biếndưới dấu căn hay gọi là phương trình vô tỉ Nên khi gặp bài toán giải phương trình vô

tỉ, đa số học sinh chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từngdạng bài tập, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiếnthức và kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơngiản

Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ dễ đến khó, phânloại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em

có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bảnchất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo Từ đó rènluyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo

Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vô

tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” với mong muốn được

chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng họcsinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của cácđồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9

trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạng

bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phânloại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả Qua đó giúp họcsinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển nănglực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được

sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê,yêu thích bộ môn Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết vềphương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúphọc sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sángtạo cho học sinh Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễhiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc có thể giải được nhiềudạng Toán, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán

và qua đó hỗ trợ học sinh học tốt các môn học khác

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận của vấn đề

Dạng toán phương trình vô tỉ là dạng toán rất quan trọng trong chương đại số

9, đây là những bài toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi vàolớp 10 Các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinhphải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và pháthuy tối đa khả năng phán đoán Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và họcToán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giải cho từng kiểu loạibài tập Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những

kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phùhợp Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìmhiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin tronghọc tập và niềm đam mê bộ môn

II Thực trạng vấn đề:

Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia giảng dạy cũng như bồi dưỡngđội tuyển học sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và đã trải nghiệm rất nhiềuchuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một số giải pháp giảiphương trình vô tỉ” và tôi cũng đạt được các thành tích trong công tác giảng dạy cũngnhư bồi dưỡng học sinh giỏi

Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bàitoán, chưa phát huy được hiệu quả học tập và kết quả được thống kê lại như sau:

Qua bảng thống kê trên tôi suy nghĩ tìm cách để học sinh nắm vững và giảithành thạo các bài toán về phương trình vô tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng bàitập từ dễ đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng cần

có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng Với những

ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về giải phương

trình vô tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” Sau khi đưa ra

tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy học sinh hứngthú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng toán phương trình vô tỉ thì học sinhkhông chán nản mà đam mê phân tích nhận dạng tìm cách giải bài toán, từ đó ngàycàng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặtchẽ

III Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm vững.Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử dụng cách giảiphương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương trình

vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:

1 Giải pháp 1 Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm vững.

Các ki n th c c b n t ng h p thành b ng sau, yêu c u h c sinh c n n m v ng, cản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, cụ ổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, cụ ợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, cụ ản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm vững, cụ ầu học sinh cần nắm vững, cụ ọc sinh cần nắm vững, cụ ầu học sinh cần nắm vững, cụ ắm vững, cụ ững, cụ ụ

2

C A BC

3 3

(B 0)

B  B Các kiến thức về giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân

tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một ẩn, bất đẳngthức Cauchy

Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ bảncủa phương trình vô tỉ, đồng thời nắm vững phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bàitập, cụ thể như sau:

2 Giải pháp 2 Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

2.1 Dạng 1: Phương trình vô tỉ có dạng: f (x) m (1)

Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và mR

a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức

không âm Nếu m < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình vô nghiệm Nếu m

0 thì phương trình tồn tại vậy khi m0 thì phương trình không cần tìm điều kiện khi

đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi giải phương trình vừa tìm được Vậy phươngtrình (1) mà m < 0 kết luận phương trình vô nghiệm ta không giải, m0 bình phươnghai vế rồi giải phương trình vừa tìm được

Phân tích: Phương trình đã cho có tồn tại không? Vì sao? (Phương trình đã cho

có tồn tại vì vế trái x 5 0  và vế phải 3 > 0) Vậy đối với dạng này không cần tìmđiều kiện

Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc haibằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)

x 6x 9 81

     x2 6x - 72 = 0  x212x 6x 72 0  

x2 12x 6x 72 0

      x(x 12) 6(x 12) 0   

Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn bậchai theo kiến thức 2

A A rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa học)

Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì

phương trình dạng f (x) m giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp chotừng bài toán (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thìbiểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu khôngthì giải theo cách 1)

Ví dụ 3: Giải phương trình 4x2 4x 1 6 0  

Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang 5

được không? (Học sinh nêu cách biến đổi phương trình đã cho về dạng  2

d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều

giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo

2.2 Dạng 2 Phương trình vô tỉ có dạng: f (x) g(x) (2)

Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x

a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh nhận thấy vế trái là một biểu thức

không âm Nếu g(x) < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm.Nếu g(x)  0 phương trình tồn tại Vậy g(x)  0 là điều kiện cần và đủ của phươngtrình, không cần tìm điều kiện để f(x)  0 khi đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồigiải phương trình

c) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình:  2

x 3  3 x

Phân tích: Phương trình đã cho tồn tại khi nào? (3 x   x 3  )

Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc haibằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)

Giải Điều kiện: 3 - x 0  x 3

Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì

giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán (Cách 2 giảiđơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viếcđược dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách 1)

Ví dụ 2 Giải phương trình sau: 4x2 20x 25 3 3x  

Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1

Giải Điều kiện: 3 - 3x  0  -3x  -3 x1

Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về phương trình giá trị tuyệt đối không?

Vì sao (Phương trình đã cho không đưa về phương trình giá trị tuyệt đối được vì biểuthức dưới dấu căn không đưa về dạng bình phương của một biểu thức) Nên giải theocách bình phương hai vế

Giải Điều kiện: 2x + 8  0 2x - 8 x- 4

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x  1

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: 10x2 20x 10 x 1 5x - 3   

Phân tích: Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 không? (Phương

trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế phải thu gọnxong tìm điều kiện Nên cách giải như sau:

Giải

Ta có: 10x2 20x 10 x 1 5x - 3     10x2 20x 10 4x - 4  (*)

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1

d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì đa số học sinh đều làm được các bài

dạng này, đây là dạng cơ bản thứ 2 để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo

3x + 5x +1 2x 4 3x - 2  

2.3 Dạng 3 Phương trình vô tỉ dạng: f (x)  g(x) (3)

Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x

a) Phân tích: Cả hai về của phương trình đều chưa căn bậc hai vậy để mất căn

Giải 2 bất phương trình f(x)  0 và g(x)  0 suy ra điều kiện chung của bai toán

Giải phương trình f(x) = g(x) suy ra x đối chiếu điều kiện và kết luận

c) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 2x 1  x 1

Giải Điều kiện: * 2x - 1  0  2x  1 x1

2

* x - 1  x  1Vậy điều kiện: x  1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau: x - x 62   x 3

Kết luận: So sánh với điều kiên bài toán, nghiệm của phương trình x = 3

Ví dụ 3 Giải phương trình sau: x2 4x 4  4x212x 9

Giải Điều kiện: *x2  4x 4  x 2  2  0( x   R)

d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì

phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán

(Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dướidấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theocách 1)

Giải phương trình * như dạng 2 phần 2.2 (chú ý điều kiện bổ sung cho phương trình *

là h(x) - f(x) - g(x) )  0) Khi suy ra nghiệm của * ta đối chiếu điều kiện ban đâu vàđiều kiện bổ sung rồi kết luận Nên cách giải như sau

b) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: x 4  1 x  1 2x

Phân tích: Ta thấy vế phải là số không âm, vế trái chưa xác định được dương

hay âm Khi giải bình phương để mất căn thì được phương trình mới không tươngđương với phương trình đã cho nên phương trình mới sẽ có nghiệm ngoại lai Vì vậythường sai lầm khi kết luận lấy cả nghiệm ngoại lai, Vậy giáo viên nên hướng dẫn chohọc sinh cách khắc phục sai sót này theo hai cách sau

Cách 1 Khi giải xong thay nghiệm vào thử lại nghiệm nào không thõa mãn thìloại, nghiệm nào thỏa mãn thì nhận Như vậy cách này mất thời gian nhiều

Cách 2 Biến đổi chuyển vế để cả hai vế đều cùng dương x 4  1 x  1 2x

x 4 1 2x 1 x

      Nên ta có cách giải như sau

Giải Điều kiện:

1 2x 0

x2

2.5 Dạng 5 Phương trình vô tỉ dạng: A B C D(1)

a) Phân tích: Nếu phương trình (1) có A + B = C + D khi đó cả hai vế đều

không âm, cách giải ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện tổng A + B và vế phảixuất hiện C + D mà A + B = C + D khử được khi đó phương trình mới về dạng cơ bảnphần 2.3 dạng 3 và cách giải theo dạng này

Nếu phương trình (1) có A + C = B + D khi đó ta chuyển vế phương trình (1) vềdạng A C B D sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì

cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới củng có dạng 3phần 2.3 Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử lại nghiệm để loại nghiệmngoại lai

Nếu phương trình (1) có AB = CD khi đó cả hai vế đều không âm, cách giải tabình phương hai vế thì vế trái xuất hiện AB vế trái và CD vế phải mà AB = CDkhử được khi đó phương trình không còn căn bậc hai và giải được

Nếu phương trình (1) có AC = BD khi đó ta chuyển vế phương trình (1) vềdạng A C B D sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì

cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới khử được AC

và BD và phương trình mới không còn căn Chú ý khi giải phương trình mới này cầnthử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai

So sánh điều kiện và kết luận.

Chú ý: Các trường hợp còn lại giải tương tự.

c) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: x 3  3x 1 2 x   2x 2

Giải Điều kiện: * x + 3 0  x - 3

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau: x3 1 2

Đối chiếu điều kiện và thử lại thì nghiệm của phương trình là x 1  3

Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét phương trình dạng

A B C D khi nào giải theo ví dụ 1 khi nào giải theo ví dụ 2? Khi giải xongcần chú ý những gì? (khi thấy A + C = B + D giải theo ví dụ 1 còn AC = BD giải theo

ví dụ 2, giải xong cần đối chiếu điều kiện và thử lại để tránh thu nghiệm ngoại lai)





2.6 Dạng 6 Phương trình vô tỉ dạng: 3A3B3C

Trong đó A, B, C là các đa thức chứa biến x

a) Phân tích: Phương trình dạng cơ bản 3 A3 B3 C, hướng xử lý để mấtcăn bậc ba là lập phương hai vế và thường sử dụng hằng đẳng thức

a b 3 a3b33ab(a b) , rồi sau đó thay thế 3A3B 3 C vào phương trình thuđược sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng 3 f (x) g(x)   f (x) g(x)  3.Nên cách giải như sau

c) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: 3 x 1 33x 1 3 x 1

Giải Điều kiện:   x R

Thay x = 0 vào phương trình thỏa mãn nên x = 0 là nghiệm của phương trình

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = -1; x = 0

d) Bài tập tương tự:

Câu 1 32x 1 3x 1 33x 2 Câu 2 3x+53x+632x + 11 Câu 3 3x+13x+13x + 3 0

3 Giải pháp 3 Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ là một hình thức đưa bài toán từ tình thế phức tạp sangtình thế đơn giản hơn mà đã biết cách giải Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khác nhau tùythuộc vào đặc điểm của từng phương trình mà có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ, ba ẩnphụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần tìmđiều kiện cho ẩn phụ Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta đi tìm điều kiện cho hợp lý(dễ, không gây sai sót)

Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp và cách giải của từng dạng

3.1 Dạng 1 Phương trình có dạng: a.f (x) b f (x) c 0 n   (1)

Trong đó f(x) là đa thức chứa biến x

a) Nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong căn và ngoài căn có mối liên hệ b) Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt điều kiện

Bước 2: Đặt tn f (x)(Điều kiện của t)