Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông g

Câu 1 [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khẳng định nào sau đây là khẳng

định sai ?

A Trong không gian một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng

thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng

B Trong không gian hai mặt phẳng cắt nhau và vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến

của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

C Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai

đường thẳng đó song song với nhau

D Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai

đường thẳng đó song song với nhau

Tác giả: Đỗ Thị Bích Hường

Lời giải

Các câu A,B,C đúng vì là lý thuyết ( Định lý, hệ quả )

Câu D sai vì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bài tập tương tự

Câu 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với

nhau

B Trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với

nhau

C Trong không gian một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với

nhau thì song song với đường thẳng còn lại

D Trong không gian một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì

vuông góc với đường thẳng còn lại

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song

song

B Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

C Trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

D Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì songsong

Ghi nhớ: Để làm các câu hỏi lý thuyết về quan hệ vuông góc trong không gian

-Cần nắm chắc các định lý, hệ quả về quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

-Nắm chắc mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song trong không gian

Câu 4 [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABCD. đều Gọi

H là trung điểm củaAC. Tìm mệnh đề sai?

A SAC  SBD. B SH ABCD. C SBD  ABCD . D CDSAD.

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng

Chọn D

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD. đều Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề sai?

A AC SBD. B SAC  ABCD. C.SOABCD D ABSAD .

Câu 6. Cho hình chóp S ABC. đều có O là tâm đáy Tìm mệnh đề sai?

A SOABC. B ABSOC. C SAB  SBC. D SAO  ABC.

Câu 7 [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tìm mệnh đề đúng ?

A Tứ diện đều có tất cả các mặt là các tam giác bằng nhau.

B Hình chóp có đáy hình vuông là hình chóp tứ giác đều.

C Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.

D Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật bằng nhau.

Câu 9. Cho các mệnh đề sau:

I Hình chóp tam giác đều có tất cả các mặt là các tam giác đều.

II Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều.

III Hình lăng trụ đều có tất cả các mặt đều là các hình vuông.

Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đều đúng ?

A.0 B.1 C.2 D.3

Câu 10 [1H3-4.2-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và B;

12

Gọi M là trung điểm của AD Khi đó, tứ giác ABCM là hình vuông nên �ACM  �.45

Tam giác MCD vuông cân tại M nên MCD�  �.45

Câu 11 [1H3-4.2-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hai tam giác ACD và BCD

nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a   , CD2x Tìm giá

trị của x để hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc nhau.

a

x

23

Ta thấy AJD vuông tại J nên AJ  a2x2 .

Mặt khác AC AD BC BD a   nên AJB vuông cân tại J

Câu 12 [1H3-4.2-3] (HK 2 sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, ,

đôi một vuông góc với nhau

1)Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng BC

2)Gọi    lần lượt là góc giữa đường thẳng , , OA OB OC, , với mặt phẳng  ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pcoscos cos

Lời giải

Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu

Câu 14. Cho tứ diện OABC , có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau Gọi    là góc tạo bởi, ,

các mặt bên (OBC OCA OAB),( ), ( ) với mặt phẳng (ABC) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có ABADD A��, suy ra ABC D��  ADD A�� Do đó, �ADD A�� , ABC D��  �90

Vậy (�(BCD A' ' ;) (ABCD) )=(�AB A B; ' ) =450

Phát triển

PT 10.1 Cho hình chóp S ABC có SA^(ABC) và AB^BC, gọi I là trung điểm BC Góc giữa hai

mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Câu 18 [1H3-4.3-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật cạnh

AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB2a Góc giữa mặt phẳng (SBC)

và mặtphẳng đáy bằng

Lời giải

Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền

Chọn B

Vì SA(ABCD) nên SABC.

Mặt khác, theo giả thiếtABBC Do đó BC(SAB) nên SBBC

�Góc giữa hai mặt phẳng (SBC và () ABCD là góc �SBA.)

Câu 19 [1H3-4.3-2] (THTT số 3) Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 0�

C Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 0� và nhỏ

Câu 20 [1H3-4.3-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Trong hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt

đáy bằng 60�, tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

Nhận xét: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên có độ dài bằng

nhau Tâm của đáy là chân đường cao của hình chóp và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau, các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

Cho hình chóp đều S ABC như hình vẽ

Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC , khi đó SOABC .

�SB ABC,  �SB OB, SBO� 60

Gọi I là trung điểm BC , khi đó BCAI

(vì tam giác SOI vuông tại O ).

Xét tam giác SOB vuông tại O, ta có SO OB .tan 60�OA 3.

Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

Câu 21 [1H3-4.3-2] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt phẳng

đáy bằng 45 Gọi  là góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy Tính tan 0

A tan  2. B tan  3. C

1tan

2

 

1tan

Giả sử S ABCD. là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a

Điểm M là trung điểm của DC, { }O  AC�BD Khi đó SMO� 450.

2

 

Câu 22 [1H3-4.3-2] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hình chóp

tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

Xét hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a , khi đó SOABCD.

Gọi OAC�BD, gọi H là trung điểm của CD.

Ta có SCD � ABCD CD.

Tam giác SCD đều cạnh a �SH CD và

32

SH

Câu 23 [1H3-4.3-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình

vuông cạnha SA a ,  3, SA  ( ABCD ). Góc giữa hai mặt phẳng( SBC )và( ABCD )bằng

Lời giải

Tác giả: Tạ Tiến Thanh; Fb: Thanh Ta

Chọn C

Tam giác SAB vuông tại Anên góc SBA nhọn nên � ( � SB BA , )  SBA � .

Câu 24 [1H3-4.3-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và

66

a

SA

Khi đó góc giữa mặtphẳng SBD

322

a SA

.Vecto pháp tuyến của mp A BC' : nuur2 ��uuuur uuuurA'B, 'A C��1;0; 1 

.Khi đó        1 2

và A CD' 

là: 60 0Cách 2:

Hai tam giác vuông A BC �  A DC� Dựng các đường cao BH , DH

Suy ra: cos  '  , '   cos� 1

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

+ Gọi M là trung điểm AC, từ M dựng đường thẳng  vuông góc 1 SAC

+ Gọi N là trung điểm AB, từ N dựng đường thẳng  song song 2 SM , khi đó  cắt 2  tại1

O và Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

Bài toán tương tự.

PT 34.1Cho hình chóp S ABCD. có SA SB SC đôi một vuông góc nhau và , , SA a SC a ;  2 Gọi O là

tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. Cosin góc giữa hai mặt phẳng SBO

và SABbằng

+ Gọi M là trung điểm AC , từ M dựng đường thẳng  vuông góc 1 SAC

+ Gọi N là trung điểm AB , từ N dựng đường thẳng  song song 2 SM , khi đó  cắt 2  tại1

O và Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

a

SB

Góc giữa hai mặt phẳng SAC

+ Gọi M là trung điểm AC nên SM  AC BM; AC suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAC

Gọi H AC�BD , M là trung điểm cạnh AB

Vì chóp S ABCD. đều � SM AB , HM AB Mà SAB � ABCD  AB nên góc giữa

�

.Trong tam giác vuông SAH , có SH  SA2HA2  5a22a2 a 3

Trong tam giác vuông SHM , có

Nhận xét: Bài toán này cần sử dụng các kiến thức

+ Tính chất của hình chóp tứ giác đều: Đáy là hình vuông ; chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đáy

+ Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó

PT 30.1. Cho hình chóp đều S ABCD. có SA a 5, góc giữa hai mặt phẳng SAB

Gọi H  AC�BD , M là trung điểm cạnh AB

Vì chóp S ABCD. đều � SM AB , HM AB Mà SAB � ABCD AB nên góc giữa

Xét hình chóp A ABCD�. có đáy là hình vuông ABCD , hình chiếu vuông góc của A� trên mặt

phẳng ABCD trùng với tâm đáy � A ABCD� là hình chóp đều.

Gọi H  AC�BD , M là trung điểm cạnh AB

Vì chóp A ABCD� đều � A M� AB , HM AB Mà ABB A�� � ABCD AB nên góc

giữa hai mặt phẳng ABB A��

và ABCD

là �A MH� Trong hình vuông ABCD cạnh 2a, có AC 2 2a

1

22

�

và z z 1, 2

Trong tam giác vuông A AH� , có A H� A A�2HA2  5a22a2 a 3

Trong tam giác vuông A HM� , có �

3tanA MH A H a 3

bằng góc giữa hai đường thẳng D E � và HE

và cũng bằng �A MH� Nên có thể giữ nguyên giả thiết và thay yêu cầu là tính góc giữa hai mặt phẳng CDD C��

và ABCD thì đáp án của bài toán không thay đổi.

Câu 29 [1H3-4.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ����có độ dài cạnh

bằng 3 Một mặt phẳng   đồng thời cắt các cạnh AA�, BB� , CC�, DD� lần lượt tại các

điểm M , N s, P , Q Diện tích tứ giác MNPQ bằng 18 Góc giữa   và mặt phẳng đáybằng

Lời giải Chọn C

Gọi góc giữa   và mặt phẳng ABCD

S S

.Vậy góc giữa   và mặt phẳng đáy bằng 60�.

Câu 30 [1H3-4.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại A, AB2a, SA vuông góc mặt đáy và góc giữa SB với mặt

đáy bằng 60o Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Giá trị cos  bằng

Suy ra: SA AB .tanSBA� 2 3 2 3a  a.

Gọi I là trung điểm BC,AI là trung tuyến tam giác vuông cân nên: 2 2

AB

Do ABC vuông cân nên AI BC và SA BC nên BC(SAI)�BC SI .

Vậy  �SBC , ABC SI AI�,  SIA�

Cách 1

Gọi M là trung điểm cạnh BC

Ta có ABC � DBC BC

AM BC ( AM là trung tuyến của tam giác đều ABC )

DM BC ( DM là trung tuyến của tam giác đều DBC )

Do đó �ABC , DBC  �AM DM, .

Gọi H là hình chiếu của A lên mp DBC  , ta có H là trọng tâm tam giác đều DBC

Xét tam giác AMH vuông tại H , ta có

�

1

13

3

DM HM

AMH

.Suy ra cos�  ,   cos�,  cos� 1

3

ABC HBC

S S

3

HCB ABC

Câu 33 [1H3-4.3-2] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hình chóp SABC có đáy là

tam giác đều ABC cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC

và 2.

a

SA

Gócgiữa mặt phẳng ABC

và SBC

bằng

A.30 o B 45 o C.60 o D 90 o

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Viết Chiến; Fb:Viết Chiến

Chọn A

Gọi  là góc giữa mặt phẳng  ABC và mặt phẳng SBC

Ta có: ABC � SBC BC Gọi I là trung điểm của BC

Do ABC đều cạnh a

32

a

AI

�

và AI BC (1).Lại có SAABC�SABC 2 .

a SA SIA

Câu 34 [1H3-4.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Hình chóp đều S.ABCD có tất cả

các cạnh bằng nhau Cosin của góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng

Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm hình vuông ABCD và tất cả các cạnh của hình

chóp có cạnh bằng 1

Ta có

1 ;

23

● Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

● Số hoá độ dài để tính toán nhanh

● Phương pháp toạ độ hoá các hình không gian đặc biệt

Câu 37 [1H3-4.3-2] (Kim Liên) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a

Gọi  là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2cos

4

 

10cos

10

 

2cos

2

 

14cos

Giả sử hình chóp đều S ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi M là trung điểm của CD ; O AC �BD�SOABCD ( do hình chóp đều S ABCD )

mặt phẳng vuông góc với đáy Số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC bằng

Lời giải

Tác giả: Châu Hòa Nhân; Fb: Hòa Nhânn

Suy ra, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC

là góc giữa hai đường thẳng SA và

HA và bằng góc SAH (tam giác SHA vuông tại � H )

Đặt BC a

Ta có:

32

(trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC vuông tại A)

Xét tam giác SHA vuông tại H có:

Vậy, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC bằng 600

Câu 39 [1H3-4.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho khối chóp tứ giác đều P ABCD. có tất cả các cạnh

bằng a được đặt nằm bên trên khối lập phương ABCD EFGH. (như hình vẽ) Côsin góc giữahai mặt phẳng PAB

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình

Chọn A

K O

C

E

A D

H

B

P

H

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, K là trung điểm của AB, H là hình chiếu của O trên

PK Khi đó ta có: OK AEFB và OH PAB

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng PAB

và  AEFB

là góc giữa hai đường thẳng OH và OK

và bằng góc HOK �

Ta lại có �HOK OPK�

Do đó Côsin của góc giữa hai mặt phẳng PAB

3

2

a OP OPK

Vậy để �m� 2 cosx3sin x x �� thì  � ۳m 13 m 13

Câu 41 [1H3-4.3-2] (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Cho

hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a, SAABC, góc giữa hai mặt phẳng SBC

và  ABC

bằng 60� Độ dài cạnh SA bằng

A

32

và  ABC bằng góc giữa SM và AM và bằng góc SMA �� SMA � 60

Vì đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên ta có đường cao

32

a

AM 

.Xét tam giác vuông SAM vuông tại A có

Câu 42 [1H3-4.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có

độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi  là góc giữahai mặt phẳng SBD và ABCD Nếu tan  2 thì góc giữa S AC và SBC bằng

Gọi O là tâm đáy, và K là hình chiếu vuông góc của O trên SC.

a

32

Câu 44 [1H3-4.3-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng

2 và cạnh bên bằng 2 2 Gọi  là góc của mặt phẳng SAC

và mặt phẳng SAB

Khi đócos bằng



Xét BOH vuông tại H, ta có: cos BOH� OH BO 6 1.

SA ABCD , đáy ABCD là hình thang cân có AB BC CD  12AD a SA , 2a Góc

giữa hai mặt phẳng SAB

và SBD

bằng

2 3arctan

Xét tam giác ABD có : BD2  AB2AD22AB AD. cos 60��BD a 3, do đó ABDvuông

Chọn A

Gọi  là số đo góc của hai mặt phẳng MNP

và  ABCD

Ta có hình chiếu vuông góc của tam giác MNP lên mp ABCD

là tam giác ABC , nên áp

dụng công thức hình chiếu về diện tích ta có

Côsin góc giữa hai mặt phẳng ABC

ABC ABD ACD BCD

    là các tam giác cân, do đó

Theo bài ra ta có ACD  BCD và ABC  ABDnên ta có �AFB90 ;0 CED� 900

Nhận xét: nên vẽ AF thẳng đứng vì AF chính là đường cao hình chóp ABCD.

Câu 49 [1H3-4.3-3] (Hàm Rồng ) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,



15

và SBC

.Theo công thức diện tích hình chiếu của một đa giác ta suy ra: S SHB S SBC.cos.

5

SHB SBC

S S

Câu 50 [1H3-4.3-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có . , , , , AB6,

, ,

42cos

Câu 51 [1H3-4.3-3] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho hình lập phương ABCD A B C D Tang ����

của góc giữa hai mặt phẳng  A BD�  và ABCD bằng