Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng Gọi H là trung điểm của AB tham khảo hình vẽ, suy ra SH và CH là các đường trung tuyến đồng thời là các đường cao trong hai tam giác cân SAB và C

Câu 1 [1H3-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho tứ diện đều ABCD Tính góc giữa vectơ.

Vì ABCD là tứ diện đều�ADB là tam giác đều��ADB60�

Vẽ DE BDuuur uuur Khi đó DA BDuuur uuur,   DA DEuuur uuur,  �ADE180��ADB120�

Câu 2 [1H3-2.2-3] (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông

góc và OA OB OC a Gọi    M là trung điểm cạnh AB Góc tạo bởi hai vectơ uuur

uuuur uuuruuuur uuur OM BC a uuuur uuur

Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có: O0;0;0 , A0; ;0a  , B a ;0;0 , C0;0;a , �2 2; ;0�

a a M

Khi đó ta có: uuurBC  a;0;a

2





a a

Câu 3 [1H3-2.3-1] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng

 a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC Số đo của góc �,IJ CD

Mặt khác IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ// SB

Do đó: �I J CD,  �,S B AB  �60 (vì SAB đều).

Nguyenvandiep1980@gmail.com

Câu 4 [1H3-2.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D. ���� có đáy là hình chữ

nhật và CAD�  � Số đo góc giữa hai đường thẳng 40 AC B D, ��là

Lời giải Chọn D

Vì BD B D// �� nên �AC B D; �� �AC BD;  �AOB �80 với O là tâm hình chữ nhật ABCD

Câu 5 [1H3-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ����, biết đáy

ABCD là hình vuông Tính góc giữa A C� và BD

Theo tính chất của đường trung bình ta có

1212

Câu 7 [1H3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hình chóp S ABC có SA SB  và CA CB  Góc

giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

Gọi H là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ), suy ra SH và CH là các đường trung

tuyến đồng thời là các đường cao trong hai tam giác cân SAB và CAB.

Từ �� �SH  AB �ABSHC �AB SC

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 90o.

Câu 8 [1H3-2.3-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và

BAD BAC  � Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD

A 90� B 45� C 60� D 30�

Lời giải

Tác giả:Trần Công Diêu; Fb:Trần Công Diêu

Cách 1 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng

BCD

Ta có AB AC AD nên suy ra H là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD

S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M , N lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của SC và AMN Khi

đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng

● Xét các tam SAB và SAD có: �SAB SAD�  �, SA chung, 90 AB AD .

Suy ra SAB  SAD �SA SD và AM AN �MN BD// .  1

● Ta có

BDAC (do ABCD là hình vuông).

BDSA (do SAABCD).

Suy ra BDSAC mà AP�SAC nên suy ra BD AP.  2

Từ  1 và  2 suy ra MN AP hay góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng 2



Bài tập tương tự :

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M là hình

chiếu vuông góc của A lên đường thẳng SB Khi đó góc giữa hai đường thẳng AM và SC

Câu 11. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M , N lần

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của

� suy ra góc giữa hai đường thẳng CD� và AC� là 90�.

Câu 13 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đôi một vuông góc với nhau Số đo góc giữa hai đường

thẳng AB và CD bằng:

45

Ghi nhớ: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc

Câu 16 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện .S ABC có

SA SB SC  ABAC a BC a Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Lời giải Chọn C.

Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,, , BC SB SA

Câu 17 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ���� Khẳng

định nào sau đây là khẳng định sai?

A Góc giữa hai đường thẳng B D�� và AA� bằng 60�.

B Góc giữa hai đường thẳng AC và B D�� bằng 90�.

C Góc giữa hai đường thẳng AB và D C� bằng 45�

D Góc giữa hai đường thẳng D C� và A C�� bằng 60�.

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

Chọn A

● ABCD A B C D. ���� là hình lập phương nên AA�A B C D����� AA� ��B D

Câu 18 [1H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình lăng

trụ ABC A B C ���có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a ,

3

AC a Hình chiếu của A� lên ABC

trùng với trung điểm I của BC Khi đó

Xét tam giác vuông AA I�: A I'  AA�2AI2  4a2a2 a 3.

Xét tam giác vuông A IB� �: B I� A B�� �2A I2  a23a2 2a.

Áp dụng định lí coscho tam giác BIB�: cos IBB��

Vậycos ,  cos� 1

4

AA B C� �� IBB�

Câu 19 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ���� có I J, tương ứng là

trung điểm của BC và BB� Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

vì ABCD A B C D. ���� là hình lập phương nên

AC B C �AB� suy ra KI IJ JK suy ra tam giác IJK là tam giác đều, suy ra �KIJ  �.60Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60�

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT

 Bài toán: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

 Kiến thức cần nhớ để vận dụng vào bài tập

 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a� và b� cùng đi qua một

điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng ) với a và b

 Phương pháp giải

 Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Tìm hai đường thẳng a� và b� cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song ( hoặc

trùng ) với a và b, thông thường ta chọn O thuận lợi thuộc đường thẳng a , b� đi qua O

và song song với b Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b�

Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu

Câu 20 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ���� Góc giữa hai đường

thẳng AC và A B� bằng

Lời giải Chọn B

Do AC A C// �� nên góc giữa hai đường thẳng AC và A B� là góc giữa hai đường thẳng A C��

và A B� Ta có A C�� � A BBC� a 2 ( với a là độ dài cạnh của hình lập phương )

A BC� �



� đều ��BA C��600 � góc giữa hai đường thẳng AC và A B� là 60�.

Câu 21 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ���� có đáy là hình vuông

cạnh 2a , cạnh bên là a I J, tương ứng là trung điểm của BC và BB� Góc giữa hai đườngthẳng AC và IJ bằng  Tính osc  ?

A

10os

5

c  

5os

5

c  

1os2

c  

3os

Gọi E là điểm đối xứng của A� qua B�.

Vậy góc giữa đường thẳng AB� và BC� bằng 60�

Câu 23 [1H3-2.4-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho tứ diện

đều ABCD Khi đó góc giữa AB và CD bằng:

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen

Chọn C

Giả sử tứ diện ABCDđều cạnh a

Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung

điểm của AD.

Ghi nhớ: Cách xác định góc giữa hai đường phẳng

+Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

Câu 26 [1H3-2.4-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam

giác đều Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Suy ra CD^(ABE), mà AB�ABE nên CDAB.

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90�

Cách 2

Xét uuur uuur uuur uuur uuurAB CD AB AD AC     uuur uuur uuur uuurAB AD AB AC.  .  uuur uuurAB ADcosBAD�  uuur uuurAB AC cos�BAC0

.( Vì ABADAC, �BAD BAC� 60�).

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90�

Câu 27 [1H3-2.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh.

bằng a Tính uuur uuurAC EF.

222

uuur uuur uuur uuur

AC EF EG EF  uuur uuurEG EF .cosuuur uuurEG EF;   EG EF. .cosGEF� a 2 .cos 45a � a2.

Câu 28 [1H3-2.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho lăng trụ tam

giác đều ABC A B C. ��� có tất cả các cạnh đều bằng a Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng

Ta có uuur uuurAB BC� uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BB BC � AB BC BB BC  �.

Câu 29 [1H3-2.4-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam

Định Lần 1) ] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh là 2a ; cạnh SA a vàvuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của CD Tính cos với  là góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AM



Xét NPC có

52

a

NP

,

332

Câu 30 [1H3-2.4-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho tứ diện ABCD có AC 3a,BD4a Gọi M

, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Biết AC vuông góc với BD Tính MN.

A.

52

a

MN

52

a

MN 

72

a

MN 

72

a

MP NQ 

,2

QM NP a

Câu 31 [1H3-2.4-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho tứ diện gần

đều ABCD , biết AB CD  , 5 AC  BD 34, AD BC  41 Tính sin của góc giữa

Chú ý: Có thể dùng công thức tính nhanh:

2

7( , )

Vì C B��, C D ��, C C � đôi một vuông góc với nhau nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O C��

như hình vẽ Giả sử cạnh hình lập phương đã cho có độ dài bằng a

Ta có: C�0;0;0 , B a ;0;a , D0; ;a a, A a a a ; ;  .

 ; ; 

C A a a auuur�

, BDuuura a; ;0.

C A BDuuur uuur�  � C Auuur uuur�BD Vậy góc giữa AC� và BD bằng 90�.

-STRONG TEAM TOÁN VD

VDC -Câu 33 [1H3-2.4-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình chóp

3

1

3.2

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có

32



B   �60 C   �30 D cos  41.

là vectơ chỉ phương của đường thẳng b

và  u vr r, 

thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 0�� � � và bằng 180 90 �nếu 90� � � Nếu 180 a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0�.

Câu 36 [1H3-2.4-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho tứ diện ABCD có

AB AC  AD và �BAC BAD � 60 ,�CAD� 90� Gọi I và J lần lượt là trung điểm của

AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJuur và CD

uuur

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy : IJuur uuurCD.