Dang 2. Tính thể tích các khối đa diện(VDC)

Tận dụng đặc điểm của hình chóp đều có BD^SAC, kẻ hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng SBC và SCD và vuông góc với giao tuyến SC.Khi đó học sinh sẽ dễ ngộ nhận góc giữa hai

Câu 1 [2H1-3.2-4] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có SA=a 11, côsin góc

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng.

A Phân tích bài toán:

1)Hình chóp S ABCD. đều nên đáy ABCD là hình vuông và SO^(ABCD)

với

O=AC BDÇ .Suy ra hình vẽ đã được xác định.

2)Theo tính chất hình chóp đều,các cạnh bên SA=SB=SC=SD=a 11 Từ đó các dữ kiện tính toán có mối quan hệ với nhau

3) Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù, cách xác định góc giữa hai mặt phẳng Tận dụng

đặc điểm của hình chóp đều có BD^(SAC), kẻ hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng (SBC)

và (SCD)

và vuông góc với giao tuyến SC.Khi đó học sinh sẽ dễ ngộ nhận góc giữa hai mặt phẳng là góc ·BMD, không phải góc ·BMD.Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và(SCD)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BMD ta sẽ tìm được cạnh của hình vuông đáy Dễ dàng

suy ra chiều cao SO của hình chóp Thể tích đã được tính

B Lời giải Chọn C

Có BD^AC ; BD^SO Þ BD^SC Trong tam giác SBC kẻ đường cao BM

Trong tam giác vuông OMC có OM <OC=OBÞ 2OM <BDÞ Bµ + <Dµ M¶

2 2

11

411

1

10 40

x a

C Sai lầm học sinh hay mắc phải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng chính là góc ·BMD suy ra ·

1cos

10

Và bài toán sẽkhông giải được Hoặc xét hai trường hợp sẽ mất thời gian cho bài toán:

=-D Khai thác bài toán:

Từ hình chóp đều ta có tể sáng tạo ra các câu 45 khi ta biết hai dữ liệu:

Độ dài cạnh bên và 1 góc ( có thể là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng).

Độ dài cạnh bên và khoảng cách ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đà Nẵng).

Và còn nhiều bài toán khác liên quan đến hình chóp đều khi các bạn biết hai dữ kiện.

E Sau đây là một vài bài tập tương tự.

Câu 2 [2H1-3.2-4] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình hộp đứng

ABCD A B C D    có đáy là hình thoi và diện tích đáy bằng S Tứ giác ACC A và 1 BDD B  có

diện tích lần lượt bằng S và 2 S 3 M là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABCD

Kí hiệu V

là thể tích của khối chóp M A B C D.     Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A

1 2 3.6

3

.9

Câu 3 [2H1-3.2-4] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Trong không gian với

hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;1; 4

Gọi  P là mặt phẳng đi qua M1;1; 4 và cắt 3 tia

a b c

Câu 4 [2H1-3.2-4] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp

Gọi M , N lần

lượt là trung điểm của các cạnh SB SD ; mặt phẳng , AMN cắt SC tại I Tính thể tích khối

đa diện ABCDMNI.

A

3

5 318

, gọi P là giao điểm của MN và SO

Trong mpSAC, gọi I là giao điểm của AP và SC

SMNI

SMNI SBCD SABCD SBDC

c cm , trong đó , , a b c là các số nguyên và 1  a b c Gọi V cm và ( 3) S cm( 2)lần lượt là

thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp Biết V S , tìm số các bộ ba số ( , , )a b c ?

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6 [2H1-3.2-4] (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hình chóp .S ABC có các cạnh SA BC  ;3

S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB2a,BC C DDA a và SA(ABCD).

Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt SB SC SD, , lần lượt tại M N P, , Tính thể tích

khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP

A

3

323

a



Lời giải

Tác giả: Lý Văn Công; Fb: Hà Minh

Chọn C

Do hình thang ABCD cân và AB2BC 2CD2DAnên ACB ADB 90 Mặt phẳng qua

A vuông góc với SB nên AM vuông góc với SB

Ta có BC AC BC, SA BC(SAC) BCAN Mặt khác AN SB nên

AN  SBC Do đó AN BN Tương tự APSB AP, BD AP(SBD) APBPSuy ra các điểm C D P N, , , và M đều nhìn đoạn AB dưới một góc vuông Do đó, tâm mặt cầu

ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNP là trung điểm đoạn AB (trong đó AB là đường kính mặt

cầu) Vì vậy, bán kính khối cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNP là 2

AB

.Vậy thể tích khối cầu là

3

4a3

Câu 8 [2H1-3.2-4] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA a ,

OB b  , OC c  và đôi một vuông góc với nhau Gọi r là bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả

bốn mặt của tứ diện Giả sử a b a c ,  Giá trị nhỏ nhất của

Vậy min

a

a b c r

a

3 36

a

3 316

a

3 38

B

D C

A'

B'

C'

D' H

Câu 10 [2H1-3.2-4] (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam

giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng

tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng

34

a

V 

3 33

a

V 

3 324

a

V 

3 312

a

V 

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Đức Chính ; Fb: Huỳnh Đức Chính

a

, khoảng cách giữa BC và AB là

2 55

a

, khoảng cách giữa AC và

BD là

33

( K là hình chiếu của B lên AB).

Xét tam giác ABB ta có: 2 2 2 2

A VS ABC.  4. B VS ABC.  6. C VS ABC.  8. D VS ABC.  12.

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Phượng Uyên; Fb: Uyentran

Chọn A

2 4

4

4 2

30°

H A

B

C O

Gọi H là trung điểm BC , ta có AB=AC nên AH BC , SH BC , suy ra BC  (SAH)

Do đó (SAH)(ABC) Trong mặt phẳng (SAH), kẻ SOAH  SO(ABC )

A

3 2624

a

3 524

a

3 58

a

3 1318

SK SB   E là trung điểm SK  tam giác SAK cân tại A

32

Câu 14 [2H1-3.2-4] (Chuyên Bắc Giang) Cho lăng trụ đều ABC A B C.    có độ dài tất cả các cạnh

bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC Tính thể tích V của khối

đa diện AMNA B C  

A

7 3 48

V 

5 3 32

V 

7 3 32

V 

5 3 48

SAA B   A là trung điểm của SA.

Do đó, SA  và 2 SA  Mặt khác: 1

14

Kí hiệu V , 1 V tương ứng là thể tích của các khối chóp SA B C2    và S AMN

Thể tích của khối đa diện AMNA B C   là

 HẾT 

Câu 15 [2H1-3.2-4] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a.

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA SC, Biết rằng BM vuông góc với AN Thể tích

khối chóp S ABC bằng

A.

3 148

a

3 34

a

3 312

a

3 1424

N M

BM SM SB  SA SB

.Theo giả thiết

Câu 16 [2H1-3.2-4] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình lăng trụ đứng

tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' ' A và AB AC a  Biết góc giữahai đường thẳng AC và ' BA' bằng 60 Thể tích của khối lăng trụ 0 ABC A B C bằng ' ' '

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành

Tam giác A BD' có A B  A B 2BB2  DB2BB2 BD nên A BD' cân tại B

Do  'A BD   nên tam giác 60 A BD' đều suy ra A B A D a    2

Lập luận như trường hợp 1 ta cũng có A BD' cân tại B Do đó BO là tia phân giác cũng đồng

thời là đường cao

E P

C

D B

Gọi V là thể tích khối đa diện có các đỉnh 1 M P Q E F N, , , , ,

Gọi ,S h lần lượt là diện tích đáy và chiếu cao của hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

+ Sử dụng quan hệ song song để tính tỷ số khoảng cách, tỷ số diện tích

Câu 18 [2H1-3.2-4] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hình chóp đều .S ABC có độ dài cạnh đáy bằng 2,

điểm M thuộc cạnh SA sao cho SA4SM và SA vuông góc với mặt phẳng MBC

Thể

tích V của khối chóp S ABC là

A.

23

V 

2 59

Gọi D là trung điểm BC , H là chân đường cao khối chóp hạ từ S

Ta có tứ giác SMHD nội tiếp đường tròn đường kính SD Theo tích chất cát tuyến

Câu 19 [2H1-3.2-4] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình chóp S ABC.

có

393

Cách 2: (Tác giả: Dương Quỳnh Nga; Trình bày: Thịnh Nguyễn Văn).

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt đáy ABC

, vì SA SB SC  nên HA HB HC  Gọi O là trung điểm BC  HOBC

Tam giác ABC cân tại A nên   60

Câu 20 [2H1-3.2-4] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng 1 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

a h

Câu 21 [2H1-3.2-4] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D.     có đáy ABCD là hình

chữ nhật AB a , AD a 3 Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABCD trùng

với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng ADD A  và  ABCD bằng 60 Tính

thể tích khối tứ diện ACB D 

D'

O C D

D'

O C D

A

B A'

Gọi OACBD và I là trung điểm của AD

Câu 22 [2H1-3.2-4] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho khối lăng trụ

tam giác ABC A B C.    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC M , N, P lần lượt là trung điểmcủa CC, A C , A B  Biết thể tích của khối GMNP bằng 5, tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C  

Q B

P

C'

B'

A A'

2

.Suy ra:  ,   5

2

Câu 23 [2H1-3.2-4] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCDlà hình bình hành Gọi N là trung điểm SB P thuộc đoạn , SC sao cho SP2PC M,thuộc đoạn SA sao cho

4.5

Câu 24 [2H1-3.2-4] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Cho tứ diện S ABC có SA  , 1 SB  , 2 SC  và 3 ASB BSC CSA  60 Tính thểtích khối tứ diện S ABC

Gọi B, C lần lượt là các điểm trên SB và SC thỏa SB  , 1 SC  1

Khi đó tứ diện S AB C  là tứ diện đều có cạnh là 1

Do đó thể tích của khối tứ diện S AB C  là .

212

S AB C

.Mặt khác ta lại có

Câu 25 [2H1-3.2-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho khối

chóp .S ABC có  ASB BSC CSA  600, SA a SB , 2 ,a SC4a Tính thể tích khối chóp

S ABC theo a

A

3

2 23

a

3

23

a

3

4 23

a

3

8 23

Lấy E SB F SC ,  , thỏa mãn: SE SF a  Suy ra

212

Câu 26 [2H1-3.2-4] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Một cốc nước có hai phần: phần thân và phần đế.

Phần thân để chứa nước có hình trụ cao 15 ml , chứa được đúng 750 ml nước Phần đế là mộtphần của bán cầu làm bằng thủy tinh đặc Mặt trên của đế là hình tròn lớn của bán cầu vừa khítvới hình tròn đáy của thân cốc, mặt dưới của đế là hình tròn đường kính 6 ml Thể tích củaphần đế là (tính chính xác đến hàng phần trăm)

15cm

O I A

R r

+ Thể tích của bán cầu, bán kính R là:

3

3

3 1

Câu 27 [2H1-3.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy là tam

giác vuông tại , A AB1,BC Góc 2 CBB ' 90 , 0 ABB' 120  0 Gọi M là trung điểm cạnh

Câu 28 [2H1-3.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có thể tích V, đáy là

tam giác cân, ABAC Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là hình chiếu vuông góc của E

Kéo dài FE cắt tia CA tại I Nối C I cắt A A tại N Khi đó C EF 

cắt lăng trụ theo thiết diện là tứ giác EFC N

Gọi thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là V 1

Ta có:

2/ /

13

IC

38

FCC

BCC B

S S



 

, do đó

Chọn B