CHUYÊN đề THỂ TÍCH các KHỐI đa DIỆN

CHUYÊN đề THỂ TÍCH các KHỐI đa DIỆN

CHUYÊN ĐỀ : THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN

A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

CÔNG THỨC THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP

Thể tích khối lăng trụ: V= B.h

B: diện tích đáy, h: chiều cao

h

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c

a,b,c là ba kích thước

c

b a

Thể tích khối lập phương: V = a3

a a

Thể tích khối chóp: V=1

3Bh

B: diện tích đáy, h: chiều cao

h

Tỉ số thể tích tứ diện:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm

tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC

SA ' B ' C '

V  SA ' SB ' SC '

C'

B' A'

C

B A

S

CÁC CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG CÓ LIÊN QUAN:

I- Tỷ số lượng giác của góc nhọn:

B

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB AC;cosB AB; tanB AC;cot AB

II- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

H B

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường

cao, ta có:

BC2 = AB2 + BC2 (Pi-ta-go)

AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC

AH.BC = AB.AC

AH2 = BH.BC ; 1 2 12 1 2

AH  AB  AC

ABC

S  AH BC  AB AC

III- Hệ thức lượng trong tam giác thường:

c

a b A

Đ.lý cos:

a2 = b2 + c2- 2bc cosA

b2 = c2 + a2- 2ca cosB

c2 = a 2 + b2- 2ab cosC

Đ.lý sin:

2

R

A B C 

( R: bk đ.tròn ngoại tiếp)

Độ dài trung tuyến tam giác:

2

2

2

2( ) 4 2( ) 4 2( ) 4

a

b

c

b c a m

a c b m

a b c m

 



 



 

 Diện tích tam giác:

S a h b h c h

S bc A ca B ab C





4

abc S R

S pr

S p p a p b p c

(p là nửa chu vi)

IV- Diện tích các đa giác thường gặp:

Diện tích tam giác đều cạnh a:

2

3 4

a

Đường cao tam giác đều cạnh a: 3

2

a

Diện tích hình chữ nhật: a.b ( a,b là 2 kích thước) Diện tích hình vuông cạnh a: a2

Diện tích hình thang: ( )

2

ab h

b

a h

Diện tích hình bình hành: a.h

a h

Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc:

1 2

1

2d d (d1;d2 là độ dài 2 đường chéo)

d1 d2

QUAN HỆ VUÔNG GÓC, KHOẢNG CÁCH, CÁC LOẠI GÓC

C/m đt vuông góc với mp:

a b, a c , b  c = {O} , b,c  (P)

b

P

a

O

Định lý 3 đường vuông góc:

Cho b’ là hình chiếu vuông góc của b trên mp  ,

c   , ta có: cbcb'

b'

 A' c

B' B

2mp cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao

tuyến của chúng cũng vuông góc với mp đó

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1mp:

Để xác định khoảng cách từ A đến mp(P), ta tìm 1

mp qua A vuông góc với (P) và cắt (P) theo giao

tuyến d Hạ AH  d  AH  (P)  AH là

khoảng cách từ A đến mp(P)

*Chú ý: các loại khoảng cách khác thường quy về

loại khoảng cách này

+Khoảng cách giữa 2mp // là k/cách từ 1 điểm trên

mp này đến mp kia

+K/cách giữa 2đt chéo nhau:

 bằng độ dài đoạn vuông góc chung

 bằng k/cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất đến

mp chứa đt thứ hai và // với đt thứ nhất

 bằng k/cách giữa 2mp // lần lượt chứa 2đt

đó

(P)

d H A

Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho a,b là 2 đt bất kỳ trong không gian

O là điểm tùy ý, qua O vẽ a’//a, b’//b

Ta có: góc(a,b) = góc(a’,b’)

a

b

b' a' O

Góc giữa đt và mp:

là góc giữa đt đó và hình chiếu của nó trên mp

Góc giữa 2 mp cắt nhau:

Để xác định góc giữa 2mp cắt nhau ta tìm giao

tuyến c của 2mp đó, tìm trong mp thứ nhất 1 đt

a  c, tìm trong mp thứ hai 1 đt b  c, góc giữa

2mp đã cho là góc giữa 2đt a và b

d

d'

O A

H

b c a

B- CÁC VÍ DỤ CƠ BẢN:

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Ví dụ 1 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o

1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông

2)Tính thể tích khối chóp SABC

a o 60

S

C

B A

Lời giải : 1) SA(ABC)SAAB &SAAC

mà BCABBC SB ( đl 3 đường) Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông 2) Ta cóSA(ABC)AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60 o ABC

 vuông cân nên BA = BC = a

2

SABC =

2

BA.BC

2  4

o a 6 SAB SA AB.t an60

2

 Vậy

ABC

Ví dụ 2 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA

vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o

Tính thể tích khối chóp SABC

o 60

M C

B A

ABC đều nên AM BCSMBC (đl 3 đường )

Vậy góc[(SBC) ;(ABC)] = SMA 60 o

SA AM tan 60

2

3 ABC

S SA

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA

vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o

1) Tính thể tích hình chóp SABCD

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

H

a

D

C B

A

S

o 60

Lời giải : 1)Ta có SA(ABCD) và

CDADCDSD ( đl 3 ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o

SAD

 vuông nên SA = AD.tan60o = a 3

3

2) Ta dựng AH SD,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AHAH(SCD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD)

SAD



Vậy AH = a 3

2

Dạng 2: Khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a

Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC

Lời giải : Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC

Ta có tam giác ABC đều nên

2a

H O

C

B A

S

AO = 2 2 a 3 a 3

AH

3 3 2  3

2

3



a 11 SO

3

3 ABC

Ví dụ 2:Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a

a O

B A

S

Lời giải:

Gọi O là tâm h.vuông ABCD

Ta có SA2 + SC2 = AC2 nên

ASC

2

a OS



3 2

Vậy

3

a 2 V

6



Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC

a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD

b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Tính thể tích khối chóp MABC

a I

H O

M

C

B

A

D

Lời giải : a.Gọi O là tâm của ABC  DO(ABC)

1

3 ABC

V  S DO,

2 3 4

ABC

a

a

ô ó :

DOC vu ng c DO DC OC

3

a



V

b.Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là

a

MABC ABC

Vậy

3

a 2 V

24



Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a

Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chóp SABCD

a H

D

C B

A

S

Lời giải:

1) Gọi H là trung điểm của AB

SAB

 đều SHAB

mà (SAB) (ABCD) SH(ABCD) Vậy H là chân đường cao của khối chóp

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =a 3

2 suy ra

3 ABCD

Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại

D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o

Tính thể tích tứ diện ABCD

o 60

a

C

B

Gọi H là trung điểm của BC

Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) ,

mà (ABC)  (BCD)  AH (BCD)

Ta có AHHDAH = AD.tan60o =a 3

& HD = AD.cot60o =a 3

3 BCD 

 BC = 2HD = 2a 3

3 suy ra

V =

3 BCD

S AH BC.HD.AH

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có

BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

b) Tính thể tích khối chóp SABC

I

J

H A

C

B

C) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên

SHmp(ABC)

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC 

SIAB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 45 o

Ta có:  SHI   SHJ  HI  HJnên BH là đường phân giác của ABCừ đó suy ra H là trung điểm của AC

b) HI = HJ = SH =

2

a

VSABC=

12

3

SH

Dạng 4: Phương pháp tỷ số thể tích tứ diện:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 ,

SA vuông góc với đáy ABC , SAa

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song

với BC cắt SB,SC lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

G

M

N

I C

B A

S

Lời giải : a)Ta có : .

1

3

S ABC ABC

V  S SA và SA  a

+ ABC c n câ ó :AC a 2  AB  a

2

1 2

ABC

3 2

1 1

SABC

a

b) Gọi I là trung điểm BC

G là trọng tâm,ta có : 2

3

SG

SI 

3

9

SAMN SABC

Vậy:

3

SAMN SABC

a

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và ABa Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CDa Mặt phẳng qua C vuông

góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Chứng minh CE (ABD)

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF

a

a

F

E

B

A C

D

Lời giải:

a)Tính VABCD: VABCD 1SABC.CD a3

b)Tacó:

,

AB AC ABCD  AB(ACD)  ABEC

Ta có : DB EC  EC (ABD)

C) Tính VDCEF :Ta có : DCEF (*)

DABC

Để ý DE DA  DC2

1

Tương tự:

1 3

DB  DB  DC CB 

6

DCEF DABC

V V

3 1

DCEF ABCD

a

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Một mặt phẳng ()qua A, B và trung điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng

đó

N S

O M

B

D

C

A

Lời giải:

Kẻ MN // CD (N SD)thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)

+ SANB SADB SABCD

SADB

SAND

V V

V SD

SN V

V

4

1 2

1 2

1









SABCD SBCD

SBMN SBCD

SBMN

V V

V SD

SN SC

SM V

V

8

1 4

1 4

1 2

1 2

1



Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = V SABCD

8

3

Suy ra VABMN.ABCD = V SABCD

8

5

Vậy

5

3

.



ABCD ABMN

SABMN

V V

O A

D

S

E

F M

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo

với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD,

cắt SB tại E và cắt SD tại F

a) Hãy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Lời giải:

a) Gọi I SOAM Ta có (AEMF) //BD

EF // BD

1

3

D

ABC

+ SOA có : tan 60 6

2

a

Vậy :

3

D

6 6

S ABC

a

C) Phân chia chóp tứ giác ta có

EMF

S A

V = VSAMF + VSAME =2VSAMF

.

S ABCD

V = 2VSACD = 2 VSABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

2

SM SC

SACcó trọng tâm I, EF // BD nên:

3

SI SF

SO SD

D

1

3

SAMF SAC

3

SAMF SAC SAC

a

EMF

2

S A

V

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

đáy, SAa 2 Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng

(AB’D’) cắt SC tại C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh SC(AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

S

I

O D

B

C

C' D'

B'

Lời giải :

a) Ta có :

3

.

.

a

b) Ta có BC(SAB)BC  AB' & SBAB'Suy ra :AB' (SBC) nên AB’SC Tương tự AD’SC

Vậy SC (AB’D’)

C) Tính VS A B C D ' ' ' +Tính VS AB C. ' ' : Ta có :

' ' ' '

(*)

SAB C SABC

 SACvuông cân nên ' 1

2

S C

S C 

SB  SB  SA  AB  a 

(* )

3

S A B C

S A B C

V V

' '

SAB C

V

+

3

' ' ' ' '

2 2 2

9

a

3a

C' B'

A'

C

B A

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Dạng 1: Lăng trụ đứng

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A

có cạnh BC = a 2 và biết A’B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng AA'AB

AA'BAA' A 'B AB 8a



AA ' 2a 2

Vậy V = B.h = SABC AA’ = a 2 3

Ví dụ2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh

a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

B'

A

B

C I

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC Ta có

ABC đều nên

AB 3

3 &

2

A 'I BC(dl3 )



A'BC A'BC

2S 1

AA '(ABC)AA 'AI

A 'AIAA ' A 'I AI 2

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA’= 8 3

Dạng 2: Lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o

Tính thể tích lăng trụ

o 60 a

B'

A'

C'

C B

A

Lời giải :

Ta có C'H(ABC)CH là hình chiếu của CC’ trên (ABC)

Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH60o

0 3a CHC' C'H CC'.sin 60

2



SABC =

2 3 a 4

 Vậy V = SABC.C’H =

3 3a 3 8

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60

1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ

H O

o

60

C'

A

a

B' A'

C

B

Lời giải :

C) Ta có A 'O(ABC)OA là hình chiếu của AA’ trên (ABC)

Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60 o

Ta có BB’CC’ là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

AOBC tại trung điểm H của BC nên

BCA 'H(đl 3 )

BC (AA 'H) BC AA '

nên BCBB' Vậy BB’CC’ là hình chữ nhật

2) ABC đều nên AO 2AH 2 a 3 a 3

o AOA 'A 'OAO t an60 a

 Vậy V = SABC.A’O =

3

a 3 4

C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập tự luyện được chia thành 3 đợt, mỗi đợt 5 bài, các em giải xong thì đưa lên trang web của trường để các bạn cùng tham khảo, sau đó thầy sẽ đưa bài giải

để các em đối chiếu

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ĐỢT 1 Bài 1

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB= AD =2a,

CD = a Góc giữa (SBC) và (ABCD) là 600 Gọi I là trung điểm AD, biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và  0

30

SBC  Tính thể tích khối

chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Bài 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =

4

AC

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Bài 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a, SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

Bài 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trongmặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diệnCMNP