Dang 2. Tính thể tích các khối đa diện(VDT

có cạnh đáy bằng 4, chiều cao của khối chóp bằng chiều cao củatam giác đáy.. Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC.. Tính thể tích V c

Câu 1 [2H1-3.2-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình lập phương

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là x x 0.

Ta có AC CD ADx 2 ( Vì là đường chéo của hình vuông cạnh x )

32

Câu 2 [2H1-3.2-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho khối

chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng 4, chiều cao của khối chóp bằng chiều cao củatam giác đáy Gọi M là trung điểm của cạnh SA Thể tích của khối chóp M ABC. bằng

Câu 3 [2H1-3.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có SA=a 21, côsin góc

hợp bởi hai mặt phẳng (SAD)

Gọi cạnh hình vuông đáy là x ,góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD)

1101

1

3121

3121

311

500a .

Lời giải Chọn C

Gọi cạnh hình vuông đáy là x ,góc hợp bởi cạnh SB và (ABCD)

10

2 11

x a

1

Câu 5 [2H1-3.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có SA=a 11, côsin góc

hợp bởi hai mặt phẳng (SAB)

a x

1

Câu 6 [2H1-3.2-3] (Sở Hà Nam) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M

là trung điểm của SB , N là điểm thuộc cạnh SC sao cho SN2CN , P là điểm thuộc cạnh

SD sao cho SP3DP Mặt phẳng (MNP) cắt SA tại Q Biết khối chóp S MNPQ. có thể tíchbằng 1, khối đa diện ABCD QMNP. có thể tích bằng

Q

G H

C D

Câu 8 [2H1-3.2-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho lăng

trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB a , AC a 3, mặtphẳng A BC 

tạo với đáy một góc 30 Thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.    bằng

A.

3 312

a

3 33

a

3

3 34

a

3 34

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC, ta có BC AH BC AA H BC A H

Câu 9 [2H1-3.2-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D.     có đáy ABCD là hình

thoi có hai đường chéo AC a , BD a 3 và cạnh bên AA a 2 Thể tích V của khối hộp

đã cho là

A V  6a3 B

366

362

364

Câu 10 [2H1-3.2-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho khối chóp đều .S ABC có

cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 a Tính thể tích V của khối chóp SABC

A

3

36

1112

ABC

a

.Vậy

Câu 11 [2H1-3.2-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho khối chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 a Tính thể tích V của khối chóp SABC

A

3

36

1112

Gọi O là trọng tâm ABCđều  SOABC.

ABC

a

.Vậy

3111

3111

3211

Gọi I là trung điểm AC, suy ra BI AC.

'cot α 2 C I 2 C I' 2a

Câu 13 [2H1-3.2-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là

tam giác đều cạnh a,

32

a AA 

Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng

ABC

là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích V của khối lăng trụ đó theo a.

A

3 32

V a

323

a

V 

33

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của A lên ABC

, suy ra H là trung điểm của BC và tam

giác A AH vuông tại H

Ta có

32

a

AH 

,

2 34

a

383

a

3312

a

349

Câu 15 [2H1-3.2-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều

cạnh a, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc 60o Thểtích khối chóp S ABC bằng

A

38

a

a3√62

32

a

D

a3√63

334

Trong ABC vuông tại A có SA AB .tanSBA a  .tan 600 a 3

Khối chóp .S ABC có đáy là ABC , chiều cao SA có thể tích là:

Câu 16 [2H1-3.2-3] ( Sở Phú Thọ) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 30 Thể tích của khốichóp đã cho bằng

A

3 33

a

3

8 39

a

3 39

a

3

8 33

Vì SA(ABCD) nên SABC.

Mặt khác, theo giả thiết ABBC Do đó BC (SAB) nên SBBC

 Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)là góc SBA    30

a

3 26

a

3 34

a

3 38

Ta có SB SC a  , BSC   suy ra tam giác BSC đều 60  BC a

Lại có SA SC a  , ASC   suy ra tam giác ASC vuông cân tại S 90  AC a 2

Mặt khác, SA SB a  , ASB 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được:



AB SA SB  SA SB cos ASB a  AB a

Xét tam giác ABC có BC2AC2 a22a2 3a2 AB2 suy ra tam giác ABC vuông tại C

Vậy diện tích tam giác ABC là:

Xét tam giác vuông ASO vuông tại O có

Câu 18 [2H1-3.2-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hình lập phương ABCD A B C D Biết ' ' ' '

tích của khoảng cách từ điểm 'B và điểm D đến mặt phẳng D AC'  bằng 6a a 2 0

C'

B' B

ka nên ka3 27a3  k 27

Câu 19 [2H1-3.2-3] (Sở Ninh Bình Lần1)Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều .S ABCD mà

SAC là tam giác đều cạnh a

A

333

3312

334

336

I O

B'

B

D' D

a

AC a SO Mặt khác, S ABCD. là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông có AC a ,

ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A BC' 

hợp với mặt đáy ABCmột góc 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 21 [2H1-3.2-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng

a và A BC'  hợp với mặt đáy ABC một góc 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ ' ' '

 Góc giữa A BC'  và ABC bằng góc AH A H; '  AHA'30

Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên

Câu 22 [2H1-3.2-3] (THTT số 3) Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy

bằng a, góc giữa đường A C ' và mặt (ABB là ') 30 ?

A.

3 3.4

a

B.

3 64

a

3 3.2

a

D.

3 6.8

a

2 2

Câu 23 [2H1-3.2-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Tính thể tích khối tứ

diện đều có 4 đỉnh là đỉnh của khối lập phương cạnh a

A

33

a

34

a

36

a

312

Giả sử ta có khối lập phương thỏa mãn yêu cầu bài toán là ABCD A B C D.     có cạnh bằng a và

khối tứ diện đều có 4 đỉnh là đỉnh của khối lập phương là D AB C.  có cạnh bằng a 2

Khi đó, thể tích của khối tứ diệnD AB C.  là  3  3 3

Câu 25 [2H1-3.2-3] (THPT-Ngô-Quyền-Hải-Phòng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019) Cho tứ diện

ABCD có AB3, AC4, AD6, BAC60 , CAD 90

nên có phương trình:CAD: z  0

Chiều cao của tứ diện ABCD hạ từ B:    

3 2 2

Câu 26 [2H1-3.2-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình vuông ABCD Dựng khối da diện

ABCDEF , trong đó EF=2a và song song với AD Tất cả các cạnh còn lại của khối đa diện ABCDEF bằng a Tính thể tích V của khối đa diện ABCDEF

A

326

a

V =

323

a

V =

3212

a

EH =

.Suy ra

Câu 27 [2H1-3.2-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thoi

và S ABC là tứ diện đều cạnh a Thể tích V của khối chóp S ABCD là

A

322

326

324

3212

a

3312

a

334

a

38

D

A S

Gọi H là trung điểm của AB  SH ABCD

.Tam giác ABC đều nên CH  AB, mà CD/ /AB CH CD  1

3.2

Câu 29 [2H1-3.2-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại A BC , 2 2 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCC B  bằng

30 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lờigiải

Tác giả: Lưu Liên; Fb:Lưu Liên

Chọn B

C

B A

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' là

21

N

D B

Câu 31 [2H1-3.2-3] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại B , AC a , SAABC

và SB hợp với đáy một góc 60 Thể tích khối chóp S ABC.bằng

A

3 68

a

3 648

a

C

3 324

a

D

3 624

SB hợp với đáy một góc 60 nên góc SBA    60

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có,

tanSBA SA

1.3

ABC A B C , đáy là tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm AC Biết tam giác

A MB cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC

Góc giữa A Bvới mặt phẳng ABC

là 30 Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A.

3 316

a

3348

a

3 324

a

D.

3 38

a S

A B có hình chiếu vuông góc trên ABC là HB

Góc tạo bởi A B với mặt phẳng ABC là góc A BH (vì góc A BH là góc nhọn)

Xét tam giác A BH vuông tại H, ta có:

Câu 33 [2H1-3.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho khối lăng trụ tam

giác đều có cạnh đáy bằng a 3, đường cao bằng 2a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ trênlà

A 2 a 2 B

323

a



329

a



Lời giải

Tác giả: ; Fb: Nguyễn Đắc Điệp

Chọn C

A' C'

B'

G B

C A

Câu 34 [2H1-3.2-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi

tâm O, BD2AC4a Biết SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimặt đáy Thể tích của khối chóp S ABCD. là

A

3 153

a

3

2 153

a

3

8 103

a

3

2 103

1 .3

a



Câu 35 [2H1-3.2-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái)Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác

đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm tam

giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng

34

a Tính thể tích V của

khối lăng trụ ABC A B C.   

A

3 36

a

V 

3 324

a

V 

3 312

a

V 

3 33

B

C A

C'

B' A'

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Dễ thấy AM BC, A G BC  BCA AM 

.Gọi H là hình chiếu của M lên AA.

Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường AA và

BC bằng

34

a

MH 

3,2

Câu 36 [2H1-3.2-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam

giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên đáy ABC trùng với trung điểm I của

cạnh BC , cạnh bên AA tạo với đáy ABC góc 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

3

3 38

Câu 37 [2H1-3.2-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D.     có đáy là hình vuông,

cạnh bên AA 3a và đường chéo AC 5 a Tính thể tích V của khối hộp ABCD A B C D.    .

A V 8a3 B V a3 C V 24a3 D V 4a3

Lời giải

Tác giả: Ngô Văn Tuấn; Fb: Ngo Tuan

Chọn C

Đặt AB x 0. Ta có ACx 2 và AC2 AA2AC2  25a2 9a22x2 x2a 2.Thể tích của khối hộp ABCD A B C D.     là V AB AD AA. . 24 a3

Câu 38 [2H1-3.2-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hình chóp

a

34

a

36

a

312

x

y O

N M

C

B S

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta xem a là một đơn vị đo độ dài.

N 

 

Ta có uuurAC 1;1;0

,

20; ;13

a

V 

332

a

V 

Lời giải Chọn B

2 38

Câu 40 [2H1-3.2-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp .S ABC có

SA SB SC  , tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a , khoảng cách giữa SA và BC bằng

a

Lời giải

Tác giả: Cao Hữu Trường ; Fb: Cao Hữu Trường

Câu 41 [2H1-3.2-3] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)Cho khối tứ diện ABCD cóAB AC AD đôi một, ,

vuông góc với nhau và AB a AC , 2 ,a AD3a Các điểm M N P theo thứ tự thuộc các, ,

cạnh AB AC AD sao cho 2, , AM MB AN, 2NC AP PD,  Tính thể tích khối tứ diện

AMNP ?

A

39

a

329

a

323

a

334

V  AB AC AD   Do đó:

39

a

383

a

C.

3

8 23

a

D.

3

2 23

a

Lời giải Chọn A.

2a

2a 2a

C

D

O B

A S

Thể tích khối chóp S ABCD : D

1

.3

a

B

334

a

33

Thể tích của khối đa diện là phần chung của khối hộp ABCD A B C D    

và khối tứ diện EADD bằng

H K E

C'

C B'

D' A

A'

D B

A

427

V

2554

EDEA và

23

Cách 2: Gọi h là chiều cao của hình hộp ABCD A B C D     kẻ từ điểm B và diện tích của đáy

AA D D

S    Theo giả thiết S V S h 

Gọi H BC ED, theo định lý 3 giao tuyến suy ra ED D   BB C C   HK

trong đó//

HK CC với K BC ED   Theo định lý ta – lét, ta được:

23

EDEA và

23

ED EA .

Khi đó,

12

Câu 46 [2H1-3.2-3] (Hải Hậu Lần1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B

, AB a ,SA2a và SA(ABC).Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC Tính

thể tích hình chóp S AHK

3845

a

3815

a

345

a

3415

Câu 47 [2H1-3.2-3] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh

a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC

trùng với trọng tâm tam giác

ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng

34

a

Khi đó thể tích củakhối lăng trụ ABC A B C.    là

A

3 312

a

3 33

a

3 36

a

3 324

a

Lời giải

Chọn A

Gọi M là trung điểm BC

Câu 48 [2H1-3.2-3] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh

bằng 1 Gọi M là trung điểm cạnh BB Mặt phẳng MA D 

cắt cạnh BC tại K Thể tích của

khối đa diện A B C D MKCD    bằng:

A.

7

7

1

17.24

1 1 1

B MKD B

BM BK B

Câu 49 [2H1-3.2-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho hình hộpABCD A B C D    , đáyABCD là hình vuông

cạnh 2a và A A A B A C     2 2a Thể tích của khối tứ diện AB D C  bằng

K

M

B' A'

B

C' D'

A

A

3

4 23

a

3

4 63

a

C

343

a

3

4 33

4 64

Câu 51 [2H1-3.2-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có đáy bằng

a và ABBC Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

378

a

V 

3 64

a

V 

3 68

Gọi E là điểm đối xứng với A qua B Ta có tứ giác ABEB là hình bình hành nên//

AB BE

Mà ABBC suy ra BEBC

Xét tam giác A C E   là tam giác vuông tại C do

12

Câu 52 [2H1-3.2-3] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho

hình chóp đều S ABC . có SA a  Gọi D , E lần lượt là trung điểm của SA,

SC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết BD vuông góc với AE

A.

3 2154

a

3 312

a

3 727

a

3 2127

Câu 53 [2H1-3.2-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Nếu một hình chóp tứ giác đều có

chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

A 2 lần B 4 lần C 6 lần D 8 lần

Lời giải

Tác giả: Lê Hồng Phi; Fb: Lê Hồng Phi

Chọn D

a h

Gọi h , a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều

Thể tích của khối chóp tứ giác đều là

213

V  a h

.Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là

Câu 54 [2H1-3.2-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần

thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

Gọi h , a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều

Thể tích của khối chóp tứ giác đều là

213

V  a h

.Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là

Câu 55 [2H1-3.2-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng

1 Gọi I là trung điểm của CD Trên tia AI lấy điểm S sao cho AI 2IS

Lời giải

Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen

S

H I B

C

D A

Chọn D

Đặt V ABCD  Gọi H là trọng tâm của tam giác đều V BCD

Ta có V ABCDS V B ACSD. V B ACD. V B CSD. Do

12

13 Thể tích khối chóp S ABCD bằng

A

3212

a

33824

a

31912

a

33812

Đặt SG h Gọi . P là trung điểm DM Ta có

12 ;

a h

Câu 57 [2H1-3.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam

giác vuông cân tại ,C AC a Trên các đoạn thẳng AB A C,  có lần lượt các điểm ,M N và

A

36

a

326

a

32

a

322

Gọi h là độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng đã cho.

Vì MNPQ là tứ diện đều nên MN PQ AB'AC'.

AB AC BC SA SAB SAC Tính thể tích khối chóp S ABC

Lời giải

Tácgiả: Vũ Thị Thúy; Fb: Vu Thi Thuy

Chọn D

Cách 1:

Ta có SB2 SA2AB2 2 .SA AB.cos30  SB2 16 SB4

Tương tự ta cũng có SC  4 SBC là tam giác cân đỉnh S

Gọi M là trung điểm của BC Suy ra BCSM và BCAM

Câu 59 [2H1-3.2-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hình hộp ABCD A B C D.     có đáy là hình

chữ nhật, các cạnh AB a , AD2a, AA 6a , góc giữa AA và mặt phẳng ABCD

là 30

Thể tích của khối tứ diện ACB D  là