Vấn đề 3. Phương trình đường tròn

α Quỹ tích điểm P là đường tròn nào sau đây... Suy ra Ndi động trên đường tròn đường kính OK... Tìm số tiếp tuyến của đường tròn C , biết các tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 450

Email: tc_ngduychien2006@yahoo.com

Câu 1. Cho số thực 0

4

π

α   < < α  ÷

  Góc giữa hai tiếp tuyến được vẽ từ điểm P đến đường tròn có phương trình x y2+ + − +2 4 6 9sin x y 2α + 13cos2α = 0 là 2 α Quỹ tích điểm P là đường tròn nào sau đây

A

2 2 4 6 4 0.

x y + + − + = x y B x y2+ + − + =2 4 6 9 0 x y

C. x y2+ + − − =2 4 6 9 0 x y D. x y2+ + − − =2 4 6 4 0 x y

Tác giả : Nguyễn Duy Chiến,Tên FB: Nguyễn Duy Chiến

Lời giải Chọn B

Tâm đường tròn I ( ) − 2;3 ,

Bán kính đường tròn R = + − 4 9 9sin2α − 13cos2α = 4 4cos − 2α = 2 1 cos − 2α = 2sin α

Gọi P x y ( ) , , xét tam giác IAPta có ( ) (2 )2

2sin sin

IA R

IP IP x y

α

α = = =

+ + − ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 2

4 6 9 0

x y x y

⇔ + + − + =

Email: phamvanthuan1981@gmail.com

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ − = : x y 0. Đường tròn ( ) C có bán

kính R = 10 cắt ∆ tại hai điểm A B , sao cho AB = 4 2 Các tiếp tuyến của ( ) C tại hai điểm

,

A B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy Phương trình của đường tròn ( ) C là:

A ( ) (2 )2

x − + − y =

C ( ) (2 )2

x + + − y =

Lời giải

Tác giả : Phạm Văn Thuấn,Tên FB: Pham Van Thuan

Chọn B

Giả sử đường tròn ( ) C có tâm I Gọi M là giao điểm của các tiếp tuyến tại A B , của ( ) C ,

H IM AB = ∩ Suy ra H là trung điểm của , 2 2

2

AB

AB AH = =

Vì M thuộc tia Oy nên M ( ) 0; , 0 t t ≥ Ta có 2 2 2

2 10

AM

AH = AM + AI → =

Vậy MH = MA AH2− 2 = 4 2.

2

t

MH d M = ∆ → = → = → t M

Đường thẳng IM qua M và vuông góc với ∆ nên có pt: x y + − = 8 0.

Toạ độ H là nghiệm của hpt: 0 4 ( ) 4;4

H

 + − =  =

HM

IH = IA − AH = = → IH uuur = HM uuuur → I

Vậy phương trình đường tròn ( ) C là: ( ) (2 )2

Email: slowrock321@gmail.com

Câu 3. Cho đường thẳng ( ) ∆ :3 4 x + − = y 25 0 và điểm M ∈ ∆ ( ) Trên tia OM lấy điểmN sao cho

OM ON a a = > Khi M thay đổi thì N di động trên một đường tròn cố định có tâm

( I, I)

I x y Biết 3 xI + 4 yI = 1 2 Giá trị của a là:

A

1

2

1

3

Lời giải

Tác giả : Đỗ Minh Đăng,Tên FB: Johnson Do

Chọn B

C á C h 1

+ Gọi H hc O = ( )∆ ⇒ ( ) OH : 4 3 x − = y 0

+ H = ∆ ∩ ( ) ( ) OH ⇒Tọa độ của Hlà nghiệm của hệ 3 4 25 0 3 ( ) 3,4

H

+ Gọi K OH ∈ thỏa OK OH OM ON a = = Khi đó tứ giác HKNM nội tiếp

+ Mà KHM = 900 ⇒ KNM = 900 ⇒ KNO = 900

Suy ra Ndi động trên đường tròn đường kính OK HayI x y ( I, I) là trung điểm củaOK

+ Ta có OH uuur = ( ) 3,4

+ Mặt khác OH uuur Z Z OK uuur uuur ⇒ OK = ( 3 ,4 ,( m m m ) > 0).

+

OK OH OK OH = = m + m a = ⇔ = m ⇒ K   ⇒ I  

uuur uuur

+ Vậy

x + y = ⇔ × + × = ⇔ = a

C á C h 2

+ Gọi N x y ( ) , ⇒ ON uuur = ( ) x y ON , , 2 = + x2 y2

+ OM ON a OM a a 2 ON

ON ON

a

ON

⇒ uuuur = × uuur

Z Z

Suy ra

2 2

2 2

M

M

ax x

x y ay y

x y





2 2 3 4

0

⇔ + − − = Vậy 3 2 ;

50 25

a a

I  

⇒ + = ⇔ × + × = ⇔ =

Email: trAnquoCAn1980@gmAil.Com Facebook: Tran Quoc An

Câu 4. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ):( 1) ( 1) 10 C x − + −2 y 2= và đường thẳng

d x y :2 − − = 2 0 Tìm số tiếp tuyến của đường tròn( ) C , biết các tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 450

Lời giải Chọn A

• (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 Gọi n a b r = ( ; ) là VTPT của tiếp tuyến  ( a b2+ ≠2 0),

Vì ( , ) 45 · d ∆ = 0 nên

−

+

a b

a b

2 5

a b

b 3 3 a

 =

⇔  = − 

 Với a b = 3  : 3 x y c + + = 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

4

10 10

+

c

6 14

 =

⇔  = − 

 Với b = − 3 a : x y c − + = 3 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

2

10 10

− +

c 12 8

 = −

⇔  = 

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x y + + = 6 0; 3 x y + − = 14 0; x y − − = 3 8 0; x y − + = 3 12 0.

Email: trAnquoCAn1980@gmAil.Com Facebook: Tran Quoc An

Câu 5. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ):( 1) ( 1) 10 C x − + −2 y 2= và đường thẳng

d x y :2 − − = 2 0 Biết đường thẳng ( ) : ∆ ax by c + + = 0 là tiếp tuyến của đường tròn( ) C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 450,với a b , là số nguyên dương và ước chung lớn

nhất của a b , bằng 1.Tính tổng S a b c = + +

Lời giải Chọn A

• (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10và n a b r = ( ; ) là VTPT của tiếp tuyến  ( a b2+ ≠2 0),

Vì ( , ) 45 · d ∆ = 0 nên

−

+

a b

a b

2 5

a b

3 3

 =

⇔  = − 

 Với a b = 3  : 3 x y c + + = 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

4

10 10

+

c 6 14

 =

⇔  = − 

 Với b = − 3 a : x y c − + = 3 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

2

10 10

− +

⇔  =  c loai

c 8( ) 12

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 3 x y + + = 6 0; 3 x y + − = 14 0

Do đó : S = + + + + − = 3 1 6 3 1 14 0

Email: trAnquoCAn1980@gmAil.Com Facebook: Tran Quoc An

Câu 6. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ):( 1) ( 1) 10 C x − + −2 y 2= và đường thẳng

d x y :2 − − = 2 0 Tìm số tiếp tuyến của đường tròn( ) C , biết các tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 450

Lời giải Chọn A

• (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 Gọi n a b r = ( ; ) là VTPT của tiếp tuyến  ( a b2+ ≠2 0),

Vì ( , ) 45 · d ∆ = 0 nên

−

+

a b

a b

2 5

a b

b 3 3 a

 =

⇔  = − 

 Với a b = 3  : 3 x y c + + = 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

4

10 10

+

c

6 14

 =

⇔  = − 

 Với b = − 3 a : x y c − + = 3 0 Mặt khác d I ( ; ) ∆ = R

c

2

10 10

− +

c 12 8

 = −

⇔  = 

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x y + + = 6 0; 3 x y + − = 14 0; x y − − = 3 8 0; x y − + = 3 12 0.

Gmail: Yurinoh A n A 811@gm A il. C om

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I ( ) 6;6

và ngoại tiếp đường tròn tâm K ( ) 4;5 Biết đỉnh A (2;3) Biết phương trình đường thẳng BC

có dạng ax by c + + = 0, với a b , ∈ ¥ và a b , nguyên tố cùng nhau Tính tổng a b c + +

Bài Giải :

Tác giả: Nguyễn Thị Hiền,Tên FB: Hien Nguyen

Chọn A

Có IA = 5 nên phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

( ) (2 )2 ( )

Đường phân giác AK qua A và K nên có phương trình x y − + = 1 0 , dễ tìm được AK cắt (C) tại điểm thứ hai D ( ) 9;10

DCK DKC ∠ + ∠

KBD cân tại D , do đó

,

DC DK DB B C = = ⇒ thuộc đường tròn tâm D , bán kính DK = 50 Vậy B C , thỏa mãn

hệ phương trình

( ) ( ) ( ) ( )

 − + − =





BC x + − = ⇒ + + = − y a b c

Email : nguyenngo CD uy A kgl@gm A il. C om

Biết đường thẳng là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn và

Lời giải

Họ và tên : Nguyễn Ngọc Duy Facebook: Ngọc Duy

Chọn B

C á C h 1

Gọi , lần lượt là bán kính đường tròn và Ta có , lần lượt là

tâm đường tròn đó Vì nên hai đường tròn đã cho cắt nhau, do đó chúng

chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài Gọi là giao điểm của IJ và tiếp tuyến chung ngoài CD

của hai đường tròn

Ta có

1 4

SI IC

2 2 1

2

( ) : (C x−2) +y =16

2 2

S a= +b

12

1

1 2

4 1 4

IJ = < + = +R R

S

4SI SJuur uur r− =0 3OSuuur=4OI OJuur uuur− 10

;0 3

Giả sử tiếp tuyến CD có vectơ pháp tuyến n u v r = ( ; ) Phương trình đường thẳng CD là

.Suy ra

4

7 3

1 ( , )

3

u

u v

Kết hợp giả thiết ta có hay và Từ đó

Trong tất cả các trường hợp ta đều có

C á C h 2

( ) d tiếp xúc với ( ) C1 nên 2 2 2 2

2 10

a

a b a

a b

− −

( ) d tiếp xúc với ( ) C2 nên 2 2 2 2

2 10

a

a b a

a b

−

Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra

25

2 10 8 40



 − = +  = −

− = − −

Với a = − 3 thì ta có a b2+ = ⇔ + =2 4 a b2 2 16 Lúc này b = ± 7 (Nhận)

Với

25 3

a = − thì ta có 2 2 20 2 2 400

a b + = ⇔ + = a b Lúc này b2= − 225 9 (Loại) Vậy a b2+ =2 16

Email: B inhlt.thpttinhgi A 1@th A nhho A .e D u.vn

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( ) − 1;3 , đường tròn đi qua ba

trung điểm của các cạnh tam giác ABC có phương trình là

2

2 5 25

x + −  y  =

  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm nào sau đây?

A ( ) 3;6 . B . ( ) 5;5 . C ( ) − 5;0 D ( ) 1;2 .

Lời giải

Tác giả : Lê Thanh Bình,Tên FB: Lê Thanh Bình

10

0 3

u x + +vy=

10 10 3

u

−

2 2 16

Chọn B

Gọi M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA AB , ,

Đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC có tâm I và bán kính

R

Gọi K là trung điểm của HI

Kẻ đường kính ADcủa đường tròn ( ) I .

Ta có HBDC là hình bình hành

Suy ra M là trung điểm của HD Do đó

KM = ID = R

Tương tự ta có

1 2

KN KP = = R.

Vậy đường tròn đi qua 3 điểm M N P , , có tâm là K và bán kính là

1 2

r = R

Theo bài ra ta có

5 0;

2

K  

 ÷

  và

5 2

r =

Vì K là trung điểm của HI nên I ( ) 1;2 và R r = = 2 5

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là: ( ) ( )2 2

x − + − y = .

Vì điểm ( ) 5;5 thỏa mãn phương trình ( ) ( )2 2

x − + − y = nên chọn B.

Email: lelanqx2@gmail.com

Câu 10. Trong mặp phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I và điểm C nằm ngoài đường tròn

( ) I Từ C kẻ hai tiếp tuyến CA CB , của ( ) I (với A B , là hai tiếp điểm ) Đường tròn ( ) I cắt

IC tại K.Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A (8;12), (12;4) K và D (16;6)

thuộc đường thẳng AC

Họ và tên: Lê Thị Lan,Tên FB: Lê Lan

Bài giải:

K

D

M

C'

H

B'

A'

A

I

Ta có

0 0

90 90

CAK KAI

KAI AKI



Mặt khác,IC là phân giác góc ·ACB và K IC AK = ∩ nên K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Phương trình đường thẳng AK x y : 2 + − = 28 0

Gọi E là điểm đối xứng với D qua AK Phương trình đường thẳng DE x y : − − = 2 4 0

Gọi H AK DE = ∩ ,tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình

(12;4)

H

 − − =  =

Do H là trung điểm của DE nên E (8;2) Phương trình đường thẳng AB x : 8 0 − =

Vậy: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r d K AB = ( , ) 4 = Chọn A

D H

E

B

A

C