Tìm số lớn nhất trong các số nguyên đó... 22/Tổng các chữ số của một số có 2 chữ số cho trớc cộng với bình phơng của tổng 2 chữ số ấy cho ta chính số đó.Tìm số đã cho.. 29/Tìm số tự nhiê
Trang 1Dạng 9.Số học
1) Tìm một số biết nhân số đó với 15 rồi cộng với lập phơng của số đó sẽ bằng 6 lần bình phơng của số đó cộng với 31 lần số đó?
2) Tìm một số biết nếu nhân số đó với 12 rồi thêm vào lập phơng của số đó thì kết quả bằng 6 lần bình phơng của số đó cộng với 35
3/ Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2007! Chia hết cho 7a
4/ Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc cùng một số d HD:Ta có:13511≡r(mod a)
13903≡r(mod a)
14589≡r(mod a)
⇒392≡0(mod a)
1078≡0(mod a)
686≡0(mod a)
⇒a =ƯCLN(392;1078;686) = 98
Đáp số:a = 98
5/Luỹ thừa bậc 5 của một số gồm các chữ số:1,2,3,3,7,9.Tìm số đó?
6/Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoả mãn:
a/Số tạo thành bởi 3 chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi 3 chữ số đầu 1 đơn vị
b/Là số chính phơng
7/Cho 4 số nguyên , nếu cộng ba số nguyên bất kỳ ta đợc các số là 180 , 197, 208 , 222 Tìm số lớn nhất trong các số nguyên đó
8/Cho a = 28 + 211+2n Tìm số tự nhiên n để a là số chính phơng
HD:
+Nếu n = 8 thì a = 28 + 211+28 = 5.29 Loại
+Nếu n < 8 thì a = 28(9+2n-8) với n ∈N* Loại
+Nếu n>8 thì ta có:
a = 28(9+2n-8) với n ∈N*
Vì a là số chính phơng thì 9 + 2n-8 = p2
⇒ 2n-8 = p2- 9 ,p >3
⇒ 2n-8 = (p-3)(p+3) ,p >3
Vì 2n-8 là tích của hai số có hiệu [(p+3)-(p-3)=6] và mỗi số phải là luỹ thừa của 2
3 2
p
p
+ =
− =
⇒ p =5
⇒ n =12
9/Tìm các chữ số a, b , c , d để ta có : a5 ìbcd = 7850
10/Cho biết tỷ số của 7x - 5 và y + 13 là hằng số và y = 20 khi x = 2
Hỏi khi y = 2010 thì x bằng bao nhiêu ?
11/Tìm tất cả các số tự nhiên có không quá 10 chữ số mà khi ta đa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng gấp 5 lần
12/ Biết rằng số a = 80a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 3 là lập phơng của một số tự nhiên.Hãy tìm số a
13/ Tính tổng các chữ số của số A2 biết A = 999…98 (Số A có 2007 chữ số 9)
Trang 214)Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4, Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7
15) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4, Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 , Chia 9 d 8, Chia 10 d 9
16/ Tìm số có 10 chữ số sao cho chia cho 5 d 2 , chia cho 9 d 2 , chia cho 735 d 20
17/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 123 thì đợc thơng lớn nhất là 97 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên trên
18/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 678 thì đợc thơng lớn nhất là 397 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên trên
19/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102011 thì đợc thơng lớn nhất là 2012 và số d lớn nhất.Tìm số
tự nhiên trên
20/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:222;255;249;234
Tìm số nguyên lớn nhất
21/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:4691;5568;5599;4706
Tìm số nguyên lớn nhất
22/Tổng các chữ số của một số có 2 chữ số cho trớc cộng với bình phơng của tổng 2 chữ số ấy cho ta chính số đó.Tìm số đã cho
23/Tìm x,y sao cho:62 427xy M99
24/Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98
25/Tìm một số tự nhiên biết số đó chia cho 26 thì đợc số d bằng 2 lần bình phơng của số thơng
26/Tìm 3 số nguyên tố khác nhau biết tích 3 số đó gấp 3 lần tổng của chúng
27/Chứng minh rằng luôn tìm ra đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số
28/Cho p là số nguyên tố >3 Hỏi p2+2003 là số nguyên tố hay là hợp số
29/Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại thì ta
đợc một số chính phơng
30/Chứng minh rằng :a=19k + 5k + 1995k + 1996k không là số chính phơng
31/Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
( )
2 2
1 2
abc n cba n
= −
32/Hãy xét xem số a = 1k + 9k + 19k + 1993k,k Z∈ + và k lẻ có phải là một số chính phơng không?
HD:Vì k lẻ nên:1k ≡1(mod 4)
9k ≡1k(mod 4) ≡1(mod 4)
19k ≡(-1)k(mod 4) ≡-1(mod 4)
1993k ≡1k(mod 4) ≡1(mod 4)
Vậy: a ≡2(mod 4)
⇒a không phải là số chính phơng.
33/Chứng minh rằng số b = 1 +92k + 772k + 19772k không phải là số chính phơng với k Z∈ +.
HD:Ta có:1≡1(mod 3)
92k ≡02k(mod 3) ≡0(mod 3)
772k ≡(-1)2k(mod 3) ≡1(mod 3)
19772k ≡02k(mod 3) ≡0 (mod 3)
Vậy: b ≡2 (mod 3) (Vô lý)
Trang 3⇒b kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.
34/T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 vµ chia cho 5 d 4
HD:Ta cã: a≡1(mod 2)
a≡2(mod3)
a≡3(mod 4)
a≡4(mod 5)
⇒20a≡40(mod 60)
15a≡45(mod 60)
12a≡48(mod 60)
⇒47a≡133(mod 60)≡13(mod 60)
⇒47a=60t+13
a= + = +t +
§Æt 2 3
2
q
= ⇒ = (víi t,k,u,v,p,q,l∈Z+)
⇒p=2l+l=3l
⇒v=3l+2l=5l
⇒u=5l+3l=8l
⇒k=8l+5l=13l
⇒t=3.13l-1+8l=47l-1
⇒a=47l-1+13l=60l-1
V× a lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt ⇒Chän l=1
⇒a=59
§¸p sè:a=59
Trang 435/Chứng minh rằng số
11 1 10 05 1
là số chính phơng
HD:Ta có :A =(101994+101993+ +10+1)ì(101995+5)+1
=101995 1 1995
(10 5) 1
=
2 1995
3
Mà : 2≡2 (mod 3)
101995 ≡1(mod 3)
⇒101995+2 ≡3(mod 3) ≡0(mod 3)
Chứng tỏ: 101995+2M3
Vậy A là số chính phơng
36/ Với giá trị nào của k ∈N thì:
A = + chia hết cho 4
HD:Ta có: 1995≡-1 (mod 4)
1997≡1 (mod 4)
1995 2
( 1)k 1 (mod 4)
A
Vậy : AM4 ⇔ ( 1) − k 21995 + 1 4 M ⇔k lẻ
37/Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 2933, 1799 , 2357 cho a ta đợc cùng một số d 38/Cho a = 11…1 (2n chữ số 1) và b = 44…4 ( n chữ số 4)
Chứng minh rằng:a + b + 1 là số chính phơng
39/Chứng minh rằng số:
224 99 9 10 09
là số chính phơng với n≥2
1995 số 1 1994 số 0
n-2 số 9 n số 0
Trang 540/Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n+1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số
tự nhiên,n ≥1)
Chứng minh rằng:a+b+c+8 là số chính phơng
41/ Cho số a n = 57421 35n+
Tìm n ∈ N (1000 ≤ n ≤ 2000 ) để a n có giá trị cũng là số tự nhiên.
42/Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy u n = n +20032
n
43/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102010 thì đợc thơng lớn nhất là 2010 và số d bé nhất.Tìm số
tự nhiên trên
44/ Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ chữ số 1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a , biết ớc số đó :
a/ Là lập phơng của một số tự nhiên
b/ Là bình phơng của một số tự nhiên
45/ Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142
46/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 2 3 4x y z mà chia hết cho 13
47/
a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636…đợc viết dới dạng phân số tối giản Thế thì tổng của tử và mẫu là:
b/ Mệnh đề sau đây đúng không:(0,3333…).(0,6666…) = (0,2222…)
c/ Nếu F = 0,4818181… đợc viết dới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
48/ Xét phơng trình dạng Fermat: 1 2 1n 2n n
Phát biểu bằng lời:Tìm các số có n chữ số sao cho tổng luỹ thừa bậc n của các chữ số bằng chính số ấy Trong các số sau đây số nào là nghiệm của phơng trình trên:153; 370;371; 407; 1634; 8280; 9474; 54748; 92727; 93084; 548834; 1741725; 4210818; 9800817; 9926315; 24678050; 24678051;
33467290; 55213479; 88593477; 146511208; 472335975; 534494836; 912985153; 4679307774; 6693271456
49/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều bằng 1, tức là
n3 = 111…1111 ( dấu … biểu thị các số đứng giữa).Tìm n và n3
50/Giả sử a là một số tự nhiên cho trớc
a/ Tìm hai chữ số tận cùng của a để bình phơng của a có tận cùng là 89
b/Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a mà bình phơng của nó là một số bắt đầu bằng chữ số 19 và kết thúc bằng chữ số 89
c/ Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 là một số 12 chữ số có dạng :n2 = 2525******89 (Trong đó sáu dấu * biểu thị sáu chữ số ,có thể khác nhau).Tìm các chữ số đó
51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 3 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây:
Trang 6i) Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở các vị trí tơng ứng.Chữ số còn lại của m nhỏ hơn chữ số tơng ứng của n đúng 1 đơn vị
ii) Cả hai số m và n đều là số chính phơng
51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 4 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây:
i) Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở các vị trí tơng ứng.Hai chữ số còn lại của m nhỏ hơn hai chữ số tơng ứng của n đúng 1 đơn vị
ii) Cả hai số m và n đều là số chính phơng
52/ Cho số a n = 20203 21n+
Tìm n ∈ N (1010 ≤ n ≤ 2010 ) để a n có giá trị cũng là số tự nhiên.
53/ Tìm số nhỏ nhất trong các số cosn , với n là số tự nhiên nằm trong đoạn:1 ≤ ≤n 25
54/ Tìm một số gồm 3 chữ số dạng xyzbiết tổng của 3 chữ số bằng kết quả của phép chia 1000 cho xyz 55/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đợc viết bởi các chữ số 2,3,7 và chia hết cho 9
56/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đợc viết bởi các chữ số 2,3,5và chia hết cho 9
57/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đợc viết bởi các chữ số 1,2,3 và chia hết cho 9
58/ Số 19549 là hợp số hay nguyên tố
59/ Biết số có dạng N = 1235679 4x y chia hết cho 24 Tìm tất cả các số N
60/ Tìm 9 cặp hai số tự nhiên nhỏ nhất (ký hiệu là a và b , trong đó a là số lớn , b là số nhỏ) có tổng là bội của 2004 và thơng của chúng bằng 5
61/ a) Tìm tất cả các số mà khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4
b) Có hay không các số mà khi bình phơng sẽ có tận cùng là bốn chữ số 4
62/ Có bao nhiêu số tự nhiên m là ớc số của
N = 1980.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhng không chia hết cho 900