Nghiên cứu một số ứng dụng của biến đổi laplace vào giải một số loại phương trình vi phân, tích phân

Lời cảm ơnTrong quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học với đề tài: “Nghiên cứu một sốứng dụng của biến đổi Laplace vào giải một số loại phương trình vi phân, tích phân.”bên cạnh sự nỗ l

Mục lục

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 7

1.2 Sự hội tụ 8

1.3 Điều kiện hội tụ 9

1.4 Phép biến đổi Laplace ngược 15

1.4.1 Công thức Mellin 16

1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc 17

1.4.3 Tính tích phân Mellin 18

1.4.4 Một số ví dụ 20

2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 22 2.0.5 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 22

2.0.6 Tính chất tuyến tính 22

2.0.7 Tính chất đồng dạng 24

2.0.8 Các định lý dịch chuyển 25

2.0.9 Hàm Gamma 27

2.0.10 Ảnh của hàm tuần hoàn 29

2.1 Đạo hàm 30

2.2 Tích phân 34

2.2.1 Định lý về tích phân gốc 34

2.2.2 Định lý về tích phân ảnh 35

2.3 Tính chập các hàm 36

2.3.1 Các tính chất cơ bản của phép tính chập 37

2.4 Tích phân Duhamel 40

3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân 42 3.1 Phương trình vi phân 42

3.1.1 Phương pháp chung 42

3.1.2 Phương pháp chung 43

3.1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấpn với hệ số hằng 43

3.1.4 Phương trình vi phân với hệ số là đa thức 47

3.1.5 Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích phân Duhamel 48

3.1.6 Hệ phương trình vi phân 49

3.2 Phương trình vi phân 50

Lời cảm ơnTrong quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học với đề tài: “Nghiên cứu một sốứng dụng của biến đổi Laplace vào giải một số loại phương trình vi phân, tích phân.”bên cạnh sự nỗ lực và cố gắng của nhóm, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ, hướngdẫn và chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô cùng với sự quan tâm, động viên từ phíangười thân, gia đình và bạn bè.

Để hoàn thành được đề tài này, trước tiên chúng tôi xin được gửi lời cảm ơnchân thành và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo, TS Vũ Việt Hùng đã hướngdẫn, chỉ bảo tận tình cho chúng tôi trong suốt quá trình hoàn thành nghiên cứu.Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –

Lý – Tin, thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho sinhviên những hệ thống kiến thức bổ ích, chuyên sâu, tạo điều kiện và giúp đỡ chúngtôi hoàn thành đề tài nghiên cứu Cuối cùng, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn củamình đến gia đình, bạn bè, đây là nguồn động lực lớn đối với chúng tôi, họ đã luônbên cạnh, động viên, quan tâm đến chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện nghiêncứu khoa học

Đối với chúng tôi bản báo cáo là một thành quả đáng khích lệ cho sự cố gắng củabản thân sau thời gian học tập và nghiên cứu Nhưng vì thời gian và kinh nghiệmcòn hạn chế cho nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, chúngtôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn vànhững người quan tâm đến đề tài này Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2018Sinh viên thực hiện: Kiều Thúy Hoan

Kiều Thị Thanh Huyền

Vũ Thị Ngoan

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân quan trọng Ứng dụng lớn nhất của

nó là để giải các phương trình vi phân, tích phân và các bài toán liên quan, chẳnghạn bài toán giá trị biên và bài toán điều kiện đầu Nguồn gốc của ứng dụng này

là ở chỗ biến đổi Lalace cho phép chuyển từ phép tính tích phân trên hàm sang cácphép tính đại số trên ảnh của hàm qua biến đổi Laplace Các phép biến đổi nhưvậy gọi chung là phép tính toán từ Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhàtoán học và thiên văn học nổi tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827).Laplace nghiên cứu vấn đề này đầu tiên vào năm 1782 Tuy nhiên tính hữu dụngcủa phương pháp này không được công nhận Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổiLaplace rất hiệu quả như hiện nay được phát triển khoảng 100 năm sau bởi kỹ sưđiện người Anh là Oliver Heaviside (1850-1925) Vì vậy biến đổi Laplace cũng cònđược gọi là phép tính Heaviside Việc tìm hiểu lí thuyết về Laplace và một số ứngdụng của nó là một trong những đề tài có ý nghĩa cho sinh viên Như vậy có thể nóiviệc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến biến đổi Laplace giúp cho sinh viên có

sự hiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần với những nội dungkiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếp theo về vấn đề này.Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài: Nghiêncứu một số ứng dụng của biến đổi Laplace vào giải một số loại phương trình vi phân,tích phân Chúng tôi hy vọng rằng, việc trình bày các vấn đề nêu ra sẽ đóng gópphần tìm hiểu những vấn đề cơ bản nhất về vấn đề nghiên cứu Đề tài cũng mở ra

cơ hội học tập nghiên cứu đối với chúng tôi, những sinh viên ĐHSP Toán tại KhoaToán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

-Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trong việc giải phương

trình vi phân, tích phân - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán trường đại học TâyBắc và tất cả những ai thích và quan tâm đến bộ môn giải tích

3 Đối tượng nghiên cứu

-Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phân thường -Ứngdụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường - Hệthống hóa một số kiến thức cơ bản về biến đổi Laplace và cách giải các phươngtrình vi phân thường Nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, từ đó làm cơ sở hìnhthành một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơbản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành giải tích -

Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn và Bộ môn Vì vậyphương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu,phân tích, tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề tài nghiên cứu

5 Những đóng góp của đề tài

Đề tài là một hệ thống cơ bản ban đầu về biến đổi Laplace, qua đó bước đầunghiên cứu các biến đổi Laplace này cũng như phát triển hướng nghiên cứu tiếptheo trong các chủ đề tương tự

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên Khoa Toán - Lý

- Tin trong việc học tập và nghiên cứu Từ đó góp phần nâng cao chất lượng họctập của sinh viên trong Khoa nói chung

7 Cấu trúc của đề tài

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như sau: Ngoàiphần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm

ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các vấn đề

cơ bản của biến đổi Laplace như: Định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn tại của biếnđổi Laplace và một số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh

đã cho

Chương 2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Chương này dành cho trình bày một số vấn đề về tính chất cơ bản của phép biếnđổi Laplace, các định lý dịch chuyển, tích phân và định lý về tích phân ảnh

Chương 3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình viphân và tích phân

Để có thể sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích chính trong việc giải phươngtrình vi phân thường, chúng ta cần đến biến đổi Laplace đối với đạo hàm của mộthàm cho trước Kết quả đó cũng được chúng tôi trình bày một số chi tiết trước khivận dụng nó vào mục đích chính của chương này cũng là mục đích của đề tài- sửdụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, tích phân

Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi điểm lại các kết quảnghiên cứu chính trình bày trong đề tài, sau đó trong phần Kiến nghị chúng tôimạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên cứu tiếp theo hướng phát triển của đề tàinày Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của các thầy cô

và các bạn sinh viên giúp cho đề tài được hoàn thiện hơn

Chương 1

Phép biến đổi Laplace

Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô

tả cách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điệntrong mạch điện, sự giao động của lớp màng đang rung, Các phương trình nàythường đi kèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ Một kĩ thuật rấtmạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổi phương trình viphân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp Biểu thức đại số này lại có thể đượcbiến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu Kỹ thuật này được gọi là "phép biếnđổi Laplace" Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bản củaphép biến đổi Laplace

1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử rằngf là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến(thời gian)t > 0 vàs là một tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàmf

là hội tụ Nếu giới hạn này không tồn tại, tích phân được gọi là phân kỳ vàf không

có biến đổi Laplace Ký hiệu L(f )được gọi là biến đổi Laplace của f và tích phânnày là tích phân Riemann thông thường Tham số s thuộc miền xác định nào đótrên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng phức Ta sẽ chọn sthích hợp để đảm

bảo tính hội tụ của tích phân (1.1) Về mặt toán học và kỹ thuật, miền xác địnhcủa s khá quan trọng Tuy nhiên về mặt thực hành, khi giải các phương trình viphân, miền xác định củas Thường bị bỏ qua Khis là số phức, ta sử dụng ký hiệu

s = x + iy Ký hiệu ι là biến đổi Laplace tác động lên hàm f = f (t) và sinh ramột hàm mới ,F (s) = L (f (t))

a.Hội tụ tuyệt đối

Tích phân (1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

< ε

với mọis ∈ Ω.

1.3 Điều kiện hội tụ

Chúng ta có thể tính biến đổi Laplace cho một số hàm, nhưng cũng có hàmkhông có biến đổi Laplace, ví dụ như hàm et2 Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm cóbiến đổi Laplace

Định nghĩa 1.3.1 Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàmf nếu haigiới hạn

t − 3 không liên tuc tại t = 3, nhưngt = 3cũng không

phải là điểm gián đoạn loại 1 vì lim

t→3 −f (t)v lim

t→3 +f (t) đều không tồn tại

gián đoạn tại điểm t = 0, nhưng lim

t→0 +f (t) không tồn tại, vì vậy t = 0 không phải

là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f

Định nghĩa 1.3.5 Hàmf được gọi là liên tục từng mảnh trên[0, ∞) nếu:

khi ta lấy s > 0 (hoc<(s) > 0) thì tích phân sẽ hội tụ miễn là f không tăng quánhanh.

Định nghĩa 1.3.6 Hàmf được goi là có bậc mũα nếu tồn tại hằng sốM > 0và

sốα sao cho với s t0 > 0,

|f (t)| 6 Meαt, t > t0.

Rõ ràng hàm mũ eαt có bậc mũ α = a, trong khi đó tn có bậc mũ α với α > 0

và n ∈ N bất kỳ Các hàm bị chặn như sint, cost, có bậc mũ 0, còn e−t cóbậc mũ -1 (xem [1]) Chú ý rằng nếu β > α thì từ bậc mũ α suy ra bậc mũ

β, vì eαt 6 eβt, t > 0. Ta thường coi bậc mũ là giá trị nhỏ nhất của α mà

Do đó tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối ( và do đó hội tụ ) với<(s) > α.2 Ta ký

hiệu nửa mặt phẳng<(s) > α làπα Để chứng minh F (s)là hàm chỉnh hình trong

nửa mặt phẳng πα ( hay F (s) = H (πα)), ta cần chứng minh rằng hàm F (s) có

đạo hàm tại điểm bất kỳ củaπα.Ta lấy điểm tùy ýs = x + iy ∈ πα, <(s) = x > α

Ta cần chứng minh rằng δ → 0 khi∆s → 0 Thật vậy, ta có

ý ) Vì ε > 0bé tùy ý nên kết luận đúng trong nửa mặt phẳng πα : <(s) > α.

Ví dụ 1.3.8 Cho f (t) = eat, a là số thực Hàm này liên tục trên [0, ∞) và có bậc

Kết quả trên cũng đúng với a là số phức và<(s) > <(a).

Ví dụ 1.3.9 Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm f (t) = t(t > 0), hàm nàyliên tục và có bậc mũ , ta được

Định nghĩa 1.3.10 LớpL là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực hoặc phức màxác định trên khoảng mở(0, ∞)và biến đổi Laplace của mỗi hàm ( được định nghĩatheo nghĩa của tích phân Riemann ) tồn tại với giá trị nào đó của s Như vậy, nếuhàm f thuộc lớp L thì:

Ta đã biết rằng nếuF (s) = L (f (t))tồn tại với giá trịs0 nào đó, thì F (s)cũngtồn tại với mọis mà <(s) > <(s0), tức là biến đổi Laplace cũng tồn tại trong nửamặt phẳng phải Theo định lý (??), các hàm liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và cóbậc mũ thì thuộc lớp L Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng

Ví dụ 1.3.11 Xét hàm f (t) = 2tet2cos(et2). Hàm này liên tục trên n [0, ∞)

nhưng không có bậc mũ Tuy nhiên, biến đổi Laplace của f (t),

khi <(s) → ∞.

Chứng minh Theo ??) ta có

x − α , (<(s) = x > α),

cho x → ∞ thu được điều cần chứng minh

Nhận xét Ta thấy nếu biến đổi Laplace tồn tại, tức là f ∈ L, thì F (s) → 0

khi <(s) → ∞ Ngược lại, mọi hàm F (s) mà F (s) 9 0 khi <(s) → ∞, ví dụnhư s − 1

s + 1 ,

es

s, hoặc s

2

không thể là biến đổi Laplace của bất kỳ hàm f nào Hội

tụ đều Các hàm f mà liên tục từng mảnh trên[0, ∞) và có bậc mũ thì tích phânLaplace hội tụ đều Thật vậy, giả sử rằng

< ε, vi t0 ≥ T.

với mọi smà <(S) ≥ x0 > α Đây chính là điều kiện cần để tích phân Laplace hội

tụ đều trong miền <(S) ≥ x0 > α.

1.4 Phép biến đổi Laplace ngược

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào các bài toán vật lý, ta cần phải nghiên cứubiến đổi Laplace ngược NếuL(F (t)) = F (s)thì phép biến đổi Laplace ngược được

Chịnε > 0 đủ bé sao chox ư α0ư ε > 0 Khi đó tích phân ở vế phải của (??) hội

tụ Điều này có nghĩa là hàmφ(t) khả tích tuyệt đối trên[0, ∞) Từ hai điều kiệnvừa chứng minh suy ra hàm φ(t) thỏa mãn mọi điều kiện để biểu diễn hàm thànhtích phân Fourier

φ(u)eiξ(tưu)dudξ.

( vìφ(ξ) khiξ < 0 ) Thay biểu thứcφ(t) = eưxtf (t) vào (??) ta có

f (u)e−u(x+iξ)du.

Đặt s = x + iξ, ds = idξ ta thu được

1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc

Công thức Mellin (1.2) cho phép ta tìm gốc của một hàm ảnh bất kỳ cho trước.Nhưng đối với hàm chỉnh hình bất kỳ đã cho F (s), ta không thể nào biết trước nó

có phải là hàm ảnh của một hàm nào đó hay không?

Định lý sau về điều kiện đủ để hàm biến phức F (s)là ảnh gốc f (t) nào đó.Định lý 1.4.2 ( Điều kiện đủ để tồn tại gốc ) Giả sử hàm F (s) thỏa mãn cácđiều kiện

Định lý 1.4.3 (Định lý duy nhất) Nếu hàm F (s)là ảnh của các gốcf (t)và f1(t)

thì các gốc này bằng nhau tại mọi điểm mà chúng liên tục và chúng chỉ sai khácnhau bởi các giá trị của chúng tại các điểm gián đoạn

Chứng minh Theo định lý Mellin, giá trị của gốc tại điểm t bất kỳ mà tại đó hàm

f (t) liên tục được biểu diễn qua ảnh F (s) nhờ công thức Mellin Gỉa sử f1(t) làgốc chỉ khác f (t) bởi các giá trị tại điểm gián đoạn của f (t) Khi đó theo định lýMellin, gốcf1(t) có ảnhF (s) Từ đó suy ra rằng mỗi ảnh F (s)đều tương ứng vơi

vô số gốc phân biệt nhau chỉ bởi giá trị tại các điểm gián đoạn

Tức là nếu ta chỉ xét các hàm liên tục trên [0, ∞) thì biến đổi Laplace ngược

L−1(F (s)) = f (t)

được xác định một cách duy nhất Vì rất nhiều hàm mà chúng ta quan tâm lànghiệm của các phương trình vi phân và do đó liên tục, giả thiết trên hoàn toànđược xác định

1.4.3 Tính tích phân Mellin

Trước hết, ta nhắc lại Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư và Bổ đề Jordan.Định lý 1.4.4 ( Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư ) Gỉa sử hàm f (z) chỉnhhình trong miền D ∪ ∂D ⊂ C và trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập

a1, a2, , annằm trong D ( nhưng không nằm trên∂D ) Khi đó

|z| → ∞ Khi đó 1 Nếu λ < 0 và γ1(R) là cung tròn {z : |z| = R, <(z) > δ}

trong nửa mặt phẳng bên phải<(z) > δ thì

2 Nếuλ > 0 và γ2(R) là cung tròn {z : |z| = R, <(z) < δ} trong nửa mặt phẳngbên trái <(z) < δ thì

Định lý 1.4.5 Gỉa sử hàm F (s) biến phức s thỏa mãn các điều kiện sau: 1 Hàm

F (s)được cho trong nửa mặt phẳng <(s) = x > α0 và thỏa mãn các điều kiện i-iiicủa Dịnh lý (??)là có thể thác triển giải tích ra toàn mặt phẳng phức s 2 Tháctriển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng <(s) ≤ α0 là thỏa mãn các điềukiện của Bổ đề Jordan Khi đó ta có công thức

1 2πi

<(s) = x Ta ký hiệu

γ(R) = s ∈ C : |s − x| = R, I(R) = [x − iR, x + iR], Γ(R) = γ(R) ∪ I(R).

Theo định lý Cauchy về thặng dư ta có

Qua giới hạn đẳng thức (??) khi R → ∞ và từ (??) ta thu được (??) Định lýđược chứng minh Chú ý rằng L−1 tuyến tính, tức là

L−1(aF (s) + bG(s)) = af (t) + bg(t)

nếu L(f (t)) = F (s), L(g(t)) = G(s) Điều này suy ra từ tính chất tuyến tính của

L và đúng trong miền xác định chung của F và G

1

s2(s2− 1)

... kiện cần để tích phân Laplace hội

tụ miền <(S) ≥ x0 > α.

1.4 Phép biến đổi Laplace ngược

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào toán vật...

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào toán vật lý, ta cần phải nghiên cứubiến đổi Laplace ngược NếuL(F (t)) = F (s)thì phép biến đổi Laplace ngược